《抛物线》复习

1、1.(文)了解抛物线的定义、几何图形和标准方程及 简单几何性质 (理)理解抛物线的定义、几何图形和标准方程， 知道它的简单几何性质 2理解数形结合的思想，了解抛物线的简单应 用,1抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l的距离 的点的轨 迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的 ，直线l叫做抛物 线的 ，定点F不在定直线l上,相等,焦点,准线,思考探究 当定点F在定直线l上时，动点的轨迹是什么图形？,提示：当定点F在定直线l上时，动点的轨迹是过点F且与直线l垂直的直线,2抛物线的标准方程和几何性质,x,2抛物线的标准方程和几何性质,x轴,x轴,x,x0,x0,x0,x0,原点(0,0),e1,y,

2、y轴,y轴,y,y0,y0,y 0,y 0,原点(0,0),e1,1已知抛物线的方程为标准方程，焦点在x轴上，其上点 P(3，m)到焦点F的距离为5，则抛物线方程为 () Ay28x By28x Cy24x Dy24x,解析：设抛物线方程为y22px(p0)， 由抛物线定义知，| 3|5，解得p4， 抛物线方程为y28x.,答案：B,2抛物线yax2的准线方程是y2，则a的值为 () A. B C8 D8,解析：方程yax2化为x2 y， 准线方程为 2，a .,答案：B,3(2009湖南高考)抛物线y28x的焦点坐标是 () A(2,0) B(2,0) C(4,0) D(4,0),解析：由抛

3、物线方程y28x得2p8， 2， 从而抛物线的焦点为(2,0),答案：B,4(2010泰州模拟)若直线axy10经过抛物线y24x 的焦点，则实数a_.,解析：由题意知抛物线y24x的焦点F(1,0)在直线axy10上，a10，a1.,答案：1,5过抛物线x24y的焦点F作直线l，交抛物线于A(x1，y1)， B(x2，y2)两点，若y1y26，则|AB|等于_,解析：|AB|y1y2p628.,答案：8,1.抛物线的离心率e1，体现了抛物线上的点到焦点的 距离等于到准线的距离，因此，涉及抛物线的焦半径、 焦点弦问题，可优先考虑利用抛物线的定义转化为点 到准线之间的距离，这样就可以使问题简单化

4、,2焦半径|PF|x| 或|PF|y| ，它们在解 题中有重要作用，注意灵活运用,(1)在抛物线y24x上找一点M，使|MA|MF|最小，其中A(3,2)，F(1,0)，求M点的坐标及此时的最小值 (2)已知抛物线y22x和定点A(3， )，抛物线上有动点P，P到定点A的距离为d1，P到抛物线准线的距离为d2，求d1d2的最小值及此时P点的坐标,思路点拨,课堂笔记(1)如图(1)，点A在抛物线y24x的内部，由抛物线的定义可知， |MA|MF|MA|MH|， 其中|MH|为M到抛物线的准线的距离 过A作抛物线准线的垂线交抛物线于M1，垂足为B，则 |MA|MF|MA|MH|AB|4， 当且仅当

5、点M在M1的位置时等号成立 此时M1点的坐标为(1,2),(2)如图(2)，点A(3， )在抛物线y22x的外部，由抛物线的定义可知，d1d2|PA|PF|AF| (其中F为抛物线的焦点)此时P点的坐标为(2,2),由例1，(1)条件中，求点P到点A(1,1)的距离与点P到直线x1的距离之和的最小值,解：如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x1，由抛物线的定义知： 点P到直线x1的距离 等于点P到焦点F的距离.,于是，问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到点A (1，1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小 显然，连AF交曲线于P点时有最小值为 ，即 .,1.求抛物线的标准方程常采

6、用待定系数法利用题中已知 条件确定抛物线的焦点到准线的距离p的值 2对于和抛物线有两个交点的直线问题，“点差法”是常 用方法如若A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y22px上两 点，则直线AB的斜率kAB与y1y2可得如下等式：由 2px1； 2px2.得 2p(x2x1)， ， kAB .,特别警示抛物线标准方程中参数p的几何意义是焦点到准线的距离，焦点的非零坐标是一次项系数的 .,(1)(2010合肥二检)直线l过抛物线y22px(p0)的焦点，且与抛物线交于A、B两点，若线段AB的长是8，AB的中点到y轴的距离是2，则此抛物线的方程是 () Ay212x By28x Cy26x

7、Dy24x,(2)(2008全国卷)已知F是抛物线C：y24x的焦点，A、B是C上的两个点，线段AB的中点为M(2,2)，则ABF的面积等于_,思路点拨,课堂笔记(1)如图，分别过点A、 B作抛物线准线的垂线，垂足分别 为M、N，由抛物线的定义知，|A M|BN|AF|BF|AB|8， 又四边形AMNB为直角梯形，故AB中点到准线的距离即为梯形的中位线的长度4，而抛物线的准线方程为x ， 所以42 p4，故抛物线的方程为y28x.,(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (y1y2)(y1y2)4(x1x2) 1. 线段AB所在直线方程为y2x2，即yx. x24x0 x0，x4. A

8、(0,0)，B(4,4),|AB| 4 . F(1,0)，F到线段AB的距离d . SABF |AB|d2.,答案(1)B(2)2,1.直线与抛物线的位置关系 设抛物线方程为y22px(p0)，直线AxByC0，将 直线方程与抛物线方程联立，消去x得到关于y的方程 my2nyq0， (1)若m0，当0时，直线与抛物线有两个公共点； 当0时，直线与抛物线只有一个公共点； 当0时，直线与抛物线没有公共点,(2)若m0，直线与抛物线只有一个公共点，此时直线与 抛物线的对称轴平行 2焦点弦问题 已知AB是过抛物线y22px(p0)的焦点的弦，F为抛物 线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

9、(1)y1y2p2，x1x2 ； (2)|AB|x1x2p (为直线AB的倾斜角)； (3)SAOB ； (4)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切,过抛物线y22px的焦点F的 直线和抛物线相交于A，B两点，如 图所示 (1)若A，B的纵坐标分别为y1，y2， 求证：y1y2p2； (2)若直线AO与抛物线的准线相交于点C. 求证：BCx轴,思路点拨,课堂笔记(1)法一：由抛物线的方程可得焦点的坐标为F .设过焦点F的直线交抛物线于A，B两点的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2) 当斜率存在时，过焦点的直线方程可设为 yk ， 由 消去x，得ky22pykp20. (*),当k0时，方程(

10、*)只有一解，k0， 由根与系数的关系，得y1y2p2； 当斜率不存在时，得两交点坐标为 y1y2p2. 综合两种情况，总有y1y2p2. 法二：由抛物线方程可得焦点F ， 设直线AB的方程为xky ， 并设A(x1，y1)，B(x2，y2)，,则A、B坐标满足 消去x，可得y22p ， 整理，得y22pkyp20， y1y2p2. (2)直线AC的方程为y x， 点C坐标为 ，yc .,点A(x1，y1)在抛物线上， 2px1.又由(1)知，y1y2p2， yc y2，BCx轴,抛物线在高考中一般以选择题或填空题的形式考查学生对抛物线的定义、标准方程以及几何性质等基础知识的掌握情况，而以解答

11、题的形式出现时，常常将解析几何中的方法、技巧与思想集于一身，与其他圆锥曲线或其他章节的内容相结合，考查学生分析解决综合问题的能力,考题印证 (2009浙江高考)(14分) 已知椭圆C1： 1(ab 0)的右顶点为A(1,0)，过C1的 焦点且垂直长轴的弦长为1. (1)求椭圆C1的方程； (2)设点P在抛物线C2：yx2h(hR)上，C2在点P处的切线与C1交于点M，N.当线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时，求h的最小值,【解】(1)由题意，得 从而 因此，所求的椭圆方程为 x21. (4分) (2)如图，设M(x1，y1)，N(x2， y2)，P(t，t2h)，则抛物线C2在点 P处的

12、切线斜率为y|xt2t，直 线MN的方程为：y2txt2h. (6分),将上式代入椭圆C1的方程中，得4x2(2txt2h)240. 即4(1t2)x24t(t2h)x(t2h)240.(8分) 因为直线MN与椭圆C1有两个不同的交点， 所以式中的116t42(h2)t2h240. 设线段MN的中点的横坐标是x3，,则x3 . 设线段PA的中点的横坐标是x4，则x4 . 由题意，得x3x4，(10分) 即t2(1h)t10. 由式中的2(1h)240，得h1或h3. 当h3时，h20,4h20，,则不等式不成立，所以h1.(12分) 当h1时，代入方程得t1， 将h1，t1代入不等式，检验成立

13、 所以，h的最小值为1.(14分),自主体验 (2010宣武月考)已知F1、F2分别是椭圆 1的左、右焦点，曲线C是以坐标原点为顶点，以F2为焦点的抛物线，自点F1引直线交曲线C于P、Q两个不同的交点，点P关于x轴的对称点记为M.设 . (1)求曲线C的方程； (2)证明： ； (3)若2,3，求|PQ|的取值范围,解：(1)椭圆 1的右焦点F2的坐标为(1,0)， 可设曲线C的方程为y22px(p0)， p2，曲线C的方程为y24x. (2)证明：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x1，y1) ，x11(x21)， y1y2， 2 . 4x1， 4x2，x12x2. ,代入得2x21

14、x2， x2(1)1. 1，x2 ，x1， (x11，y1) 由知，y1y2， (x21，y2) ， 故 .,(3)由(2)知x2 ，x1，得x1x21， 16x1x216. y1y20，y1y24， 则|PQ|2(x1x2)2(y1y2)2, 2(x1x2y1y2) 16. 2,3， ， |PQ|2 ，得|PQ| .,1若抛物线y22px的焦点与椭圆 1的右焦点 重合，则p的值为 () A2B2 C4 D4,解析：椭圆的右焦点是(2,0)， 2，p4.,答案：D,2若点P到点F(0,2)的距离比它到直线y40的距离小2， 则P的轨迹方程为 () Ay28x By28x Cx28y Dx28y

15、,解析：由题意知，点P到点F(0,2)的距离与它到直线y20的距离相等，由抛物线定义知点P的轨迹是抛物线，其方程为x28y.,答案：C,3若双曲线 1的左焦点在抛物线y22px的准 线上，则p的值为 () A2 B3 C4 D4,解析：双曲线的左焦点( ，0)， 抛物线的准线x ， p216， 由题意知p0，p4.,答案：C,4如果直线l过定点M(1,2)，且与抛物线y2x2有且仅有 一个公共点，那么直线l的方程为_,解析：点M在抛物线上，由题意知直线l与抛物线相切于点M(1,2)，y|x14，直线l的方程为y24(x1)，即4xy20.当l与抛物线相交时，l的方程为x1.,答案：4xy20，x1,5已知抛物线C：y28x的焦点为F，准线与x轴的交点为 K，点A在C上且|AK| |AF|，则AFK的面积为 _,解析：抛物线y28x的焦点为 F(2,0)，准线为x2， K(2,0)设A(x0，y0)，过A点 向准线作垂线AB，如图， 则B(2，y0)， |AK| |AF| |AB| (x02)，,由|BK|2|AK|2|AB|