高中数学 第一讲 坐标系 四 柱坐标系与球坐标系简介 2 球坐标系学案（含解析）新人教A版选修4-4

1、2球坐标系球坐标系(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz，设P是空间任意一点，连接OP，记|OP|r，OP与Oz轴正向所夹的角为.设P在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为.这样点P的位置就可以用有序数组(r，)表示这样，空间的点与有序数组(r，)之间建立了一种对应关系把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r，)叫做点P的球坐标，记作P(r，)，其中r0,0，02.(2)空间点P的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，)之间的变换关系为将点的球坐标化为直角坐标已知点P的球坐标为，求它的直角坐标直接套用变换公式求解由变换公式，得xr

2、sin cos 4sincos2.yrsin sin 4sinsin2.zrcos 4cos2.它的直角坐标为(2,2，2)已知球坐标求直角坐标，可根据变换公式直接求得，但要分清哪个角是，哪个角是.1求下列各点的直角坐标：(1)M；(2)N.解：(1)由变换公式，得xrsin cos 2sincos，yrsin sin 2sinsin，zrcos 2cos.它的直角坐标是.(2)由变换公式，得xrsin cos 2sincos.yrsin sin 2sinsin.zrcos 2cos.它的直角坐标为.2将点M的球坐标(，)化成直角坐标解：(r，)(，)，xrsin cos 0，yrsin si

3、n 0，zrcos .点M的直角坐标为(0,0，).将点的直角坐标化为球坐标设点M的直角坐标为(1,1，)，求它的球坐标直接套用坐标变换公式求解由坐标变换公式，可得r2.由rcos z，得cos ，.又tan 1，(M在第一象限)，从而知M点的球坐标为.由直角坐标化为球坐标时，我们可以先设点M的球坐标为(r，)，再利用变换公式求出r，代入点的球坐标即可；也可以利用r2x2y2z2，tan ，cos .特别注意由直角坐标求球坐标时，和的取值应首先看清点所在的象限，准确取值，才能无误3求下列各点的球坐标：(1)M(1，2)；(2)N(1,1，)解：(1)r 2，由zrcos ，得cos .，又ta

4、n ，x0，y0，它的球坐标为.(2)由变换公式，得r 2.由zrcos ，得cos .又tan 1，x0，y0，.它的球坐标为.课时跟踪检测(六)一、选择题1已知一个点的球坐标为，则它的方位角为()A. B. C. D.解析：选A由球坐标的定义可知选A.2设点M的柱坐标为，则它的球坐标为()A. B. C. D.解析：选B设点M的直角坐标为(x，y，z)，故设点M的球坐标为(，)则2，由2cos 知.又tan 1，故，故点M的球坐标为.3点P的球坐标为，则它的直角坐标为()A(1,0,0) B(1，1,0) C(0，1,0) D(1,0,0)解析：选Dxrsin cos 1sincos 1，

5、yrsin sin 1sinsin 0，zrcos 1cos0.它的直角坐标为(1,0,0)4设点M的直角坐标为(1，1，)，则它的球坐标为()A. B. C. D.解析：选B由坐标变换公式，得r2，cos ，.tan 1，.M的球坐标为.二、填空题5已知点M的球坐标为，则它的直角坐标为_，它的柱坐标是_解析：由坐标变换公式直接得直角坐标和柱坐标答案：(2,2,2)6在球坐标系中，方程r1表示_解析：数形结合，根据球坐标的定义判断形状答案：球心在原点，半径为1的球面7在球坐标系中A和B的距离为_解析：A，B两点化为直角坐标分别为：A(1,1，)，B(1,1，)|AB|2.答案：2三、解答题8将下列各点的球坐标化为直角坐标(1)；(2).解：(1)x4sincos2，y4sinsin2，z4cos0，它的直角坐标为(2，2，0)(2)x8sincos 4，y8sinsin 0，z8cos4，它的直角坐标为(4，0，4)9如图，请你说出点M的球坐标解：由球坐标的定义，记|OM|R，OM与z轴正向所夹的角为，设M在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为.这样点M的位置就可以用有序数组(R，)表示点