高中数学 第一章 立体几何初步 1.7 简单几何体的面积和体积 1.7.1 柱、锥、台的侧面展开与面积学案 北师大版必修2

1、7.1柱、锥、台的侧面展开与面积1.通过对简单几何体侧面展开图的探究，了解侧面积公式的由来.2.准确掌握简单几何体的侧面积公式及推导方法.(重点)3.掌握简单组合体侧面积的计算.(难点)基础初探教材整理1圆柱、圆锥、圆台的侧面积阅读教材P44“二、直棱柱、正棱锥、正棱台”以上部分，完成下列问题.几何体侧面展开图侧面积公式圆柱S圆柱侧2rlr为底面半径l为侧面母线长圆锥S圆锥侧rlr为底面半径l为侧面母线长圆台S圆台侧(r1r2)lr1为上底面半径r2为下底面半径l为侧面母线长圆台的上、下底面半径分别是3和4，母线长为6，则其侧面积等于()A.72 B.42C.67 D.72【解析】S圆台侧l(

2、r1r2)6(34)42.【答案】B教材整理2直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积阅读教材P44“二、直棱柱、正棱锥、正棱台”以下至P45“例1”以上部分，完成下列问题.几何体侧面展开图侧面积公式直棱柱S直棱柱侧chc为底面周长h为高正棱锥S正棱锥侧chc为底面周长h为斜高，即侧面等腰三角形的高正棱台S正棱台侧(cc)hc为上底面周长c为下底面周长h为斜高，即侧面等腰梯形的高正三棱台的两个底面边长分别等于8 cm和18 cm，侧棱长为13 cm.求它的侧面积.【解】正三棱台的三个侧面是全等的等腰梯形，梯形的高h12 cm，所以S侧(31838)12468 cm2.小组合作型圆柱、圆锥、圆台的侧面积与

3、表面积如图171所示，已知直角梯形ABCD，BCAD，ABC90，AB5 cm，BC16 cm，AD4 cm.求以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积. 【导学号：39292045】图171【精彩点拨】【自主解答】以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆台，其上底半径是4 cm，下底半径是16 cm，母线DC13(cm)，该几何体的表面积为(416)1342162532(cm2).1.圆柱、圆锥、圆台的相关几何量都集中体现在轴截面上，因此准确把握轴截面中的相关量及其关系是求解旋转体表面积的关键.2.求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本的柱、锥、台，再通过这些柱、锥、台的表面积，

4、进行求和或作差，从而求得几何体的表面积.再练一题1.圆柱的底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是()A.4S B.2SC.S D.S【解析】设底面半径为r，则Sr2，则r，所以底面周长为2r2，又侧面展开图为一个正方形，故母线长为2r2，S侧2rl(2r)242r2424S.【答案】A直棱柱、正棱锥、正棱台的表面积 正三棱锥SABC的侧面积是底面积的2倍，它的高SO3，求此正三棱锥的表面积.【精彩点拨】在由高、斜高构成的直角三角形中应用勾股定理，求出底面边长和斜高，从而求其侧面积，然后求表面积.【自主解答】设正三棱锥底面边长为a，斜高为h，如图所示，过O作OEAB，连接SE

5、，则SEAB，且SEh.因为S侧2S底，所以3aha22，所以ah.因为SOOE，所以SO2OE2SE2，所以32h2，所以h2，所以ah6，所以S底a2629，所以S侧2S底18，则S表S侧S底27.1.正棱锥和正棱台的侧面分别是等腰三角形和等腰梯形，只要弄清楚相对应的元素，求解就会很简单.2.多面体的表面积等于各侧面与底面的面积之和.对于正棱锥中的计算问题，往往要构造直角三角形来求解，而对正棱台，则需要构造直角梯形或等腰梯形来求解.再练一题2.已知正四棱台上底面边长为4 cm，侧棱和下底面边长都是8 cm，求它的侧面积.【解】法一：在RtB1FB中，B1Fh，BF(84)2(cm)，B1B

6、8(cm)，B1F2(cm)，hB1F2(cm)，S正棱台侧4(48)248(cm2).法二：延长正四棱台的侧棱交于点P，如图，设PB1x(cm)，则，得x8(cm)，PB1B1B8(cm)，E1为PE的中点，PE12(cm).PE2PE14(cm)，S正棱台侧S大正棱锥侧S小正棱锥侧48PE44PE148444248(cm2).探究共研型组合体的表面积探究1如图172所示，一个正方体的棱长为2，以相对两个面的中心连线为轴，钻一个底面直径为1的圆柱形孔，求所得几何体的表面积.图172【提示】几何体的表面积为S6220.52220.52240.52241.5.探究2一个正方体，以其相对的两个面的

7、中心连线为轴钻一个圆柱形的孔，问所得到的几何体的表面积与原正方体的表面积相比，有何变化？【提示】设正方体的棱长为a，圆柱的底面半径为R，则正方体的表面积为S16a2，所得到的几何体的表面积为S26a22R22Ra.所以S1S22R22Ra2R(Ra)，又因为Ra，所以S1S20，所以S1S2.已知梯形ABCD中，ADBC，ABC90，ADa，BC2a，DCB60，在平面ABCD内，过点C作lCB，以l为轴将梯形ABCD旋转一周，求旋转体的表面积.图173【精彩点拨】该组合体为一个圆柱在中间挖去了一个等高的圆锥，分别计算各部分的表面积即可.【自主解答】如题图所示，所得几何体为一个圆柱除去一个圆锥

8、.在直角梯形ABCD中，ADa，BC2a，AB(2aa)tan 60a，DC2a.又DDDC2a，S表S圆环S圆柱侧S圆CS圆锥侧(2a)2a222aa(2a)2a2a(94)a2.1.求组合体的表面积的三个基本步骤：(1)弄清楚它是由哪些基本几何体构成的，组成形式是什么.(2)根据组合体的组成形式设计计算思路.(3)根据公式计算求值.2.求组合体的表面积的解题策略：(1)对于由基本几何体拼接成的组合体，要注意拼接面的重合对组合体表面积的影响.(2)对于从基本几何体中通过切挖得到的组合体，要注意新产生的截面和原几何体表面的变化.再练一题3.如图174ABC中，AC3，BC4，AB5，以AB所在

9、直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得到的旋转体的表面积.图174【解】过C点作CDAB于点D.如图所示，ABC以AB所在直线为轴旋转一周，所得到的旋转体是两个底面重合的圆锥，这两个圆锥的高的和为AB5，底面半径DC，故S表DC(BCAC).1.已知正四棱锥底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的侧面积为()A.6B.12C.24D.48【解析】正四棱锥的斜高h4，S侧46448.【答案】D2.若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的表面积是() 【导学号：39292046】A.3B.3C.6D.9【解析】根据轴截面面积是，可得圆锥的母线长为2，底面半径为1，所以Sr2rl23.【答案】A3.圆锥的侧面展开图是半径为R的半圆，则圆锥的高是_.【解析】设底面半径是r，则2rR，r，圆锥的高hR.【答案】R4.若一个底面是正三角形的三棱柱的主视图如图175所示，则其表面积等于_.图175【解析】根据题意可知，该棱柱的底面边长为2，高为1，侧棱和底面垂直，故其表面积S22221362.【答案】625.如图176是一建筑物的三视图(单位：m)，现需将其外壁用油漆粉刷一遍，已知每平方米用漆0.2 kg，问需要油漆多少千克？(无需求近似值)图176【解】由三视图知，建筑物为一组合体，自上而下分别是圆锥和正四棱