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文档简介

1、一、分4块的矩阵求逆对于分块矩阵 A B 求其逆在计量经济学，马尔科夫链等科目中常常遇到，本文综合了C D， 格林等文件，提供一个一般的汇总性文件，方便查阅。本文采用初等变化法求逆，假设先对矩阵进行了合适的分块并且灰色部分的逆存在：A B | I 0C D | 0 I第1行左乘-CA-1并加到第2行有：A B | I 0 0 D-CA-1B | -CA-1 I 第2行左乘-B(D-CA-1B)-1并加到第1行有：A 0 | I+ B(D-CA-1B)-1 CA-1 -B(D-CA-1B)-10 D-CA-1B| -CA-1 I第1行左乘A-1，第2行左乘(D-CA-1B)-1后，右边的矩阵为原

2、始矩阵的逆：A-1+A-1 B(D-CA-1B)-1 CA-1 -A-1B(D-CA-1B)-1-(D-CA-1B)-1 CA-1 (D-CA-1B)-1注意是左乘，右乘不行，因为右乘副对角线上的矩阵可能没法做矩阵乘法。二、分9块的矩阵求逆对于分9块的矩阵A=A B C;D E F;G H K求逆，可先把矩阵进行适当划分，使得以下各灰色部分可逆，然后分别左乘矩阵P和右乘矩阵Q，P、Q如下所示，易见P、Q均可逆。 P A QI 0 0 | A B C | I -A-1B -A-1C-DA-1 I 0 | D E F | 0 I 0 = B(具体见下三行)-GA-1 0 I | G H K| 0

3、0 IA 0 00 E-DA-1B F-DA-1C (K-GA-1C)-(H-GA-1B)(E-DA-1B)-1(F-DA-1C)0 H-GA-1B K-GA-1C 要求各灰色部分可逆可见大矩阵B的逆主要是求其右下角的逆，而这是个分四块矩阵，用第一部分方法即可求得。因为PAQ=B，所以A=P-1BQ-1，A1=QB-1P，经过最终计算，A1表示如下:A-1+A-1(BMD+CRD)A-1+A-1(BNG+CSG)A-1 -A-1(BM+CR) -A-1(BN+CS)-(MD+NG)A-1 M N-(RD+SG)A-1 R S其中：M=(E-DA-1B)-1+(E-DA-1B)-1(F-DA-1C)(K-GA-1C)-(H-GA-1B)(E-DA-1B)-1(F-DA-1C)-1 (H-GA-1B)(E-DA-1B)-1N=-(E-DA-1B)-1(F-DA-1C)(K-GA-1C)-(H-GA-1B)(E-DA-1B)-1(F-DA-1C)-1R=-(K-GA-1C)-(H-GA-1B)(E-DA-1B)-1(F-DA-1C)-1 (H-GA-1B)(E-DA-1B)-1S=(K-GA-1

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