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1、函数的奇偶性知识点分析 提出问题 如图所示,观察下列函数的图象,总结各函数之间的共性.对于函数定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x).定义:1偶函数:一般地,对于函数的定义域内的任意一个,都有,那么就叫做偶函数2奇函数:一般地,对于函数的定义域的任意一个,都有,那么就叫做奇函数1、如果函数是奇函数或偶函数,我们就说函数具有奇偶性;函数的奇偶性是函数的整体性质;2、根据奇偶性可将函数分为四类:奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、既不是奇函数也不是偶函数;3、由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个,则也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称
2、)如果一个函数的定义域不关于“0”(原点)对称,则该函数既不是奇函数也不是偶函数;4、偶函数的图象关于y轴对称, 反过来,如果一个函数的图象关于y轴对称,那么这个函数为偶函数 且。奇函数的图象关于原点对称;反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数为奇函数.且f(0)=05、可以利用图象判断函数的奇偶性,这种方法称为图象法,也可以利用奇偶函数的定义判断函数的奇偶性,这种方法称为定义法 用定义判断函数奇偶性的步骤是(1)、先求定义域,看是否关于原点对称;(2)、再判断 或 是否恒成立;(3)、作出相应结论.若;若 例判断下列函数的奇偶性(1) 为非奇非偶函数;(2)为非奇非偶函数(3)
3、 奇函数;(4) (5)f(x) =x+; 奇函数;(6) 奇函数(7) 既是奇函数又是偶函数 (8) 为非奇非偶函数常用结论:(1) . 两个偶函数相加所得的和为偶函数. (2) . 两个奇函数相加所得的和为奇函数. (3) . 一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数. (4) . 两个偶函数相乘所得的积为偶函数. (5) . 两个奇函数相乘所得的积为偶函数. (6) . 一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数.一分段函数奇偶性的判断例1.判断函数的奇偶性:解:当0时,0,于是当0时,0,于是综上可知, 是奇函数练习:1.证明,是奇函数.例2.为R上的偶函数,且当时,则当时,x(x+1) 若f(x)是奇函数呢?二已知函数的奇偶性求参数值:例3、已知函数是偶函数,求实数的值解:是偶函数,恒成立,即恒成立,恒成立,即练习:1. 如果二次函数是偶函数,则02已知函数f(x)ax2bx3ab是偶函数,且其定义域为a1,2a,则a= b= 0 三构造奇偶函数求值 例4、已知函数,若,求的值。【解】方法一:由题意得 得,方法二:构造函数,则一定是奇函数,又 因此 所以,即练习 1.已知f(x)x7ax5bx5,且
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