函数零点的判定

1、14、通过研究函数f（x）=2x4-10x2+2x-1在实数范围内的零点个数，进一步研究可得g（x）=2xn+10x2-2x-1（n3，nN）在实数范围内的零点个数为 考点：函数零点的判定定理专题：探究型分析：对函数f（x）=2x4-10x2+2x-1进行求导，求得函数的极值，单调性，判断零点个数，对于函数g（x）=2xn+10x2-2x-1（n3，nN）用同样的方法可得，注意计算时整体代换解答：解：函数f（x）=2x4-10x2+2x-1，f（x）=8x3-20x+2=2（4x3-10x+1）在f（x）=0时，f（x）=2x4-10x2+2x-1，=2x4-5x2+ x-5x2+ x-1，=

2、 （4x3-10x+1）-5x2+ x-1=-5x2+ x-1，由于判别式0，所以，f（x）的所有极值均是负数又因为当x趋向于负无穷和正无穷时均为无穷大，所以，零点有两个对任意g（x）=2xn+10x2-2x-1（n3，nN）也有，g（x）=0时有，g（x）=（ -10）x2+（2- ）x-1可知n3时，其判别式0所以，当n为偶数时，有两个零点n为奇数时，有3个零点，故答案为 已知函数f（x）=ex+ax，g（x）=exlnx（e是自然对数的底数）（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线也是抛物线y2=4（x-1）切线，求a的值；（2）若对于任意xR，f（x）0恒成立，试确定实数a的取值范围；

3、（3）当a=-1时，是否存在x0（0，+），使曲线C：y=g（x）-f（x）在点x=x0处的切线斜率与f（x）在R上的最小值相等？若存在，求符合条件的x0的个数；若不存在，请说明理由考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用专题：综合题分析：（1）求出f（x）的导函数，把c=1代入导函数中求出的导函数值即为切线方程的斜率，把x=1代入f（x）求出切点的纵坐标，根据切点坐标和斜率写出切线的方程，把切线方程与抛物线联立，消去y得到关于x的一元二次方程，根据直线与抛物线相切，得到方程的根的判别式等于0，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值；（2）求出f（x）的导函

4、数，分a大于0，a=0和a小于0三种情况考虑，当a大于0时，导函数大于0，即函数为增函数，利用极限的思想得到函数恒大于0不成立；当a=0时，得到函数恒大于0，满足题意；当a小于0时，令导函数等于0，求出x的值，由x的值分区间讨论导函数的正负，得到函数的单调区间，进而得到f（x）的最小值，让最小值大于0，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范围，综上，得到满足题意的a的取值范围；（3）把a=-1代入到（2）中求出的f（x）的最小值中，确定出f（x）的最小值，设h（x）=g（x）-f（x），把g（x）和f（x）的解析式代入确定出h（x），求出h（x）的导函数，假如存在x0（0，+）

5、，使曲线C：y=g（x）-f（x）在点x=x0处的切线斜率与f（x）在R上的最小值相等，令h（x）导函数等于f（x）的最小值，得到 ，设（x）等于等式的右边，求出（x）的导函数，利用导函数的正负确定出（x）的最小值为（1）等于0，得到方程有唯一的解，且唯一的解为f（x）的最小值解答：解：（1）f（x）=ex+a，把x=1代入得：f（1）=e+a，把x=1代入f（x）得：f（1）=e+a，所以切点坐标为（1，e+a），则在x=1处的切线为y-（e+a）=（e+a）（x-1）即：y=（e+a）x，与y2=4（x-1）联立，消去得（e+a）2x2-4x+4=0，由=0知，a=1-e或a=-1-e；（

6、4分）（2）f（x）=ex+a，当a0时，f（x）0，f（x）在R上单调递增，且当x-时，ex0，ax-，f（x）-，故f（x）0不恒成立，所以a0不合题意；（6分）当a=0时，f（x）=ex0对xR恒成立，所以a=0符合题意；当a0时令f（x）=ex+a=0，得x=ln（-a），当x（-，ln（-a）时，f（x）0，当x（ln（-a），+）时，f（x）0，故f（x）在（-，ln（-a）上是单调递减，在（ln（-a），+）上是单调递增，所以f（x）min=f（ln（-a）=-a+aln（-a）0，解得a-e，又a0，a（-e，0），综上：a（-e，0（10分）（3）当a=-1时，由（2）知f（x）min=f（ln（-a）=-a+aln（-a）=1，设h（x）=g（x）-f（x）=exlnx-ex+x，则 ，假设存在实数x0（0，+），使曲线C：y=g（x）-f（x）在点x=x0处的切线斜率与f（x）在R上的最小值相等，x0即为方程的解，（13分）令h（x）=1得： ，因为ex0，所以 令 ，则 ，当0x1是（x）0，当x1时（x）0，所以 在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增，（x）（1