函数的概念及其表示法――老师用

1、1.2函数及其表示1.2.1函数的概念一、复习提问初中学习的（传统）的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？回答设在一个变化过程中有两个变量和，如果对于的每一个值，都有唯一的值与它对应，那么就说是自变量，是的函数，并将自变量取值的集合叫做函数的定义域，和自变量的值对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域，这种用变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统定义。讲述初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等。提问问题1：=1（）是函数吗？问题2：=与=是同一函数吗？投影观察对应：分析观察分析集合A与B之间的元素有什么对应关系？二、讲授新课 函数的概念（一）函数与映射投影函数：设A，

2、B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称：AB为从集合A到集合B的一个函数，记作=，A。其中叫自变量，的取值范围A叫做函数=的定义域；与的值相对应的的值叫做函数值，函数值的集合|A，叫做函数=的值域。函数符号=表示“是的函数”，有时简记作函数。函数的三要素：对应法则、定义域A、值域|A注：只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数。映射：设是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系,使对于集合中的任意一个元素,在集合中都有唯一确定的元素与之对应,那么就称对应为从集合到集合的一个映射.如果集合中的元素对应集合中元

3、素,那么集合中的元素叫集合中元素的原象,集合中元素叫合中的元素的象.映射概念的理解(1)映射包含三个要素:原像集合A,像集合B(或B的子集)以及从集合A到集合B的对应法则.两个集合A,B可以是数集,也可以是点集或其他集合.对应法则可用文字表述,也可以用符号表示.映射是一种特殊的对应关系,它具有:(1)方向性:映射是有次序的,一般地从A到B的映射与从B到A的映射是不同的;(2)任意性:集合A中的任意一个元素都有像,但不要求B中的每一个元素都有原像;(3)唯一性:集合A中元素的像是唯一的,即不允许“一对多”,但可以“多对一”.函数与映射的关系函数是一种特殊的映射.映射与函数概念间的关系可由下表给出

4、.映射函数集合A,B可为任何集合,其元素可以是物,人,数等函数的定义域和值域均为非空的数集对于集合A中任一元素,在集合B中都有唯一确定的像对函数的定义域中每一个,值域中都有唯一确定的值与之对应对集合B中任一元素,在集合A中不一定有原像对值域中每一个函数值,在定义域中都有确定的自变量的值与之对应函数是特殊的映射,映射是函数的推广.注意（1）函数实际上就是集合A到集合B的一个特殊对应：AB。这里A，B为非空的数集。（2）A：定义域，原象的集合；|A：值域，象的集合，其中|AB；：对应法则，A，B（3）函数符号：=，是的函数，简记回顾（二）已学函数的定义域和值域：1、一次函数=(0)：定义域，值域2

5、、反比例函数=(0)：定义域|0，值域y | y03、二次函数=2(0)：定义域，值域：当0时，|；当0时，|。（三）函数的值：关于函数值例析：若=231，求。解：=22321=11注意（1）在=中表示对应法则，不同的函数其含义不一样； （2）不一定是解析式，有时可能是“列表”、“图象”； （3）与是不同的，前者为变数，后者为常数，是的一个特殊值。（四）区间的概念投影设、是两个实数，而且，我们规定：（1）满足不等式的实数的集合叫做闭区间，表示为,；（2）满足不等式的实数的集合叫做开区间，表示为（,）；（3）满足不等式或者的实数的集合叫做半开半闭区间，表示为、；（4）实数集可以用区间表示为（,）

6、；满足不等式，的实数的集合可以分别表示为,，（,），（,，（,）。注意注意集合与区间之间的关系：区间是数集，表示区间端点的两个实数不能相等，但数集中不等式两端的两个实数可以相等，如。三、实例提升例析例1、设集合M=|02，N=|02，从M到N有4种对应如下图所示： 其中能表示为M到N的函数关系的有 。解析根据对应的含义和函数的概念，可以看出能表示M到N的函数关系。例析例2、求下列函数的定义域：； =； =解析函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果只给出解析式=，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合。解：2=0，即=2时，分式无意义，而2时，分式有意义这

7、个函数的定义域是|2。320，即时，根式无意义而320，即时，根式才有意义这个函数的定义域是|。当10且20，即1且2时，根式和分式同时有意义这个函数的定义域是|1且2另解：要使函数有意义，必须：10且201且2 这个函数的定义域是：|1且2强调解题时要注意书写过程，注意紧扣函数定义域的含义。由本例可知，求函数的定义域就是根据使函数式有意义的条件，布列自变量应满足的不等式或不等式组，解不等式或不等式组就得到所求的函数的定义域。求函数的定义域的常见类型：（1）当为整式时，定义域为；（2）当为分式时，定义域为使分母不为0的的集合；（3）当为n次根式中的偶次根式时，定义域为使被开方式非负的的集合；（

8、4）当是由几个式子组成时，定义域是使各个式子都有意义的的取值的集合。例析例3、已知函数=3252，求，。解析解：(3)=332532=14；=3()25()2=85；=3(1)25(1)+2=32。例析例4、下列函数中哪个与函数=是同一个函数？（1）； （2）； （3）解析解：（1）=，0，0，定义域不同且值域不同，不是同一个函数；（2）=，定义域值域都相同，是同一个函数；（3）=|=，0；值域不同，不是同一个函数。例析例5、下列各组中的两个函数是否为相同的函数？（1） （定义域不同）（2） （定义域不同）（3） （定义域、值域都不同）注意两个函数相同即它们的定义域和对应法则完全相同。四、演练

9、反馈1、函数的定义域是（ ）A B C D2、下列各组，函数与表示同一个函数的是（ ） A=1，=0 B=0 ，=C=2， = D=3，=3、已知函数=23，求：（1），；（2）；（3）若0，1，2，3，求函数的值域。4、若，则到的映射有 个，到的映射有 个，到的函数有 个演练反馈答案：1、B 2、D 3、（1）=3，=1，=7； （2）=49；（3）值域为3，1，1，3 4、81,64,81 函数及其表示一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）.1下列四种说法正确的一个是（ ）A表示的是含有的代数式 B函数的值

10、域也就是其定义中的数集BC函数是一种特殊的映射 D映射是一种特殊的函数2已知f满足f(ab)=f(a)+ f(b)，且f(2)=，那么等于（ ）ABCD3下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）A BC D 4已知函数的定义域为（ ）AB C D 5设，则（ ）A B0 C D6下列图中，画在同一坐标系中，函数与函数的图象只可能是（ ）xyAxyBxyCxyD*7设函数，则的表达式为（ ）AB C D8已知二次函数，若，则的值为（ ）A正数 B负数 C0 D符号与a有关 9已知在克的盐水中，加入克的盐水，浓度变为，将y表示成x的函数关系式（ ）A BCD10已知的定义域为，则的定义域为（ ）A

11、B C D二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）.11已知，则= .*12若记号“*”表示的是，则用两边含有“*”和“+”的运算对于任意三个实数“a，b，c”成立一个恒等式 .13集合A 中含有2个元素，集合A到集合A可构成 个不同的映射.*14从盛满20升纯酒精的容器里倒出1升，然后用水加满，再倒出1升混合溶液，再用水加满. 这样继续下去，建立所倒次数和酒精残留量之间的函数关系式 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分).15（12分）求函数的定义域；*求函数的值域；*求函数的值域.16（12分）在同一坐标系中绘制函数，得图象.*17（12分）已知

12、函数，其中，求函数解析式.*18（12分）设是抛物线，并且当点在抛物线图象上时，点在函数的图象上，求的解析式.19（14分）动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点出发顺次经过B、C、D再回到A；设表示P点的行程，表示PA的长，求关于的函数解析式.*20（14分）已知函数，同时满足：；，求的值.函数的概念及其表示法练习题答案一、CBCDA BCABC二、111； 12； 134； 14 ；三、15 解：因为的函数值一定大于0，且无论取什么数三次方根一定有意义，故其值域为R；令，原式等于，故。把原式化为以为未知数的方程，当时，得；当时，方程无解；所以函数的值域为.16题示：对于第一个函数可以依据初中学习的知识借助顶点坐标，开口方向，与坐标轴交点坐标可得；第二个函数的图象，一种方法是将其化归成