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1、1.2函数及其表示1.2.1函数的概念一、复习提问初中学习的(传统)的函数的定义是什么?初中学过哪些函数?回答设在一个变化过程中有两个变量和,如果对于的每一个值,都有唯一的值与它对应,那么就说是自变量,是的函数,并将自变量取值的集合叫做函数的定义域,和自变量的值对应的值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域,这种用变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统定义。讲述初中已经学过:正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等。提问问题1:=1()是函数吗?问题2:=与=是同一函数吗?投影观察对应:分析观察分析集合A与B之间的元素有什么对应关系?二、讲授新课 函数的概念(一)函数与映射投影函数:设A,

2、B是非空的数集,如果按某个确定的对应关系,使对于集合A中的任意一个数,在集合B中都有唯一确定的数和它对应,那么就称:AB为从集合A到集合B的一个函数,记作=,A。其中叫自变量,的取值范围A叫做函数=的定义域;与的值相对应的的值叫做函数值,函数值的集合|A,叫做函数=的值域。函数符号=表示“是的函数”,有时简记作函数。函数的三要素:对应法则、定义域A、值域|A注:只有当这三要素完全相同时,两个函数才能称为同一函数。映射:设是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系,使对于集合中的任意一个元素,在集合中都有唯一确定的元素与之对应,那么就称对应为从集合到集合的一个映射.如果集合中的元素对应集合中元

3、素,那么集合中的元素叫集合中元素的原象,集合中元素叫合中的元素的象.映射概念的理解(1)映射包含三个要素:原像集合A,像集合B(或B的子集)以及从集合A到集合B的对应法则.两个集合A,B可以是数集,也可以是点集或其他集合.对应法则可用文字表述,也可以用符号表示.映射是一种特殊的对应关系,它具有:(1)方向性:映射是有次序的,一般地从A到B的映射与从B到A的映射是不同的;(2)任意性:集合A中的任意一个元素都有像,但不要求B中的每一个元素都有原像;(3)唯一性:集合A中元素的像是唯一的,即不允许“一对多”,但可以“多对一”.函数与映射的关系函数是一种特殊的映射.映射与函数概念间的关系可由下表给出

4、.映射函数集合A,B可为任何集合,其元素可以是物,人,数等函数的定义域和值域均为非空的数集对于集合A中任一元素,在集合B中都有唯一确定的像对函数的定义域中每一个,值域中都有唯一确定的值与之对应对集合B中任一元素,在集合A中不一定有原像对值域中每一个函数值,在定义域中都有确定的自变量的值与之对应函数是特殊的映射,映射是函数的推广.注意(1)函数实际上就是集合A到集合B的一个特殊对应:AB。这里A,B为非空的数集。(2)A:定义域,原象的集合;|A:值域,象的集合,其中|AB;:对应法则,A,B(3)函数符号:=,是的函数,简记回顾(二)已学函数的定义域和值域:1、一次函数=(0):定义域,值域2

5、、反比例函数=(0):定义域|0,值域y | y03、二次函数=2(0):定义域,值域:当0时,|;当0时,|。(三)函数的值:关于函数值例析:若=231,求。解:=22321=11注意(1)在=中表示对应法则,不同的函数其含义不一样; (2)不一定是解析式,有时可能是“列表”、“图象”; (3)与是不同的,前者为变数,后者为常数,是的一个特殊值。(四)区间的概念投影设、是两个实数,而且,我们规定:(1)满足不等式的实数的集合叫做闭区间,表示为,;(2)满足不等式的实数的集合叫做开区间,表示为(,);(3)满足不等式或者的实数的集合叫做半开半闭区间,表示为、;(4)实数集可以用区间表示为(,)

6、;满足不等式,的实数的集合可以分别表示为,,(,),(,,(,)。注意注意集合与区间之间的关系:区间是数集,表示区间端点的两个实数不能相等,但数集中不等式两端的两个实数可以相等,如。三、实例提升例析例1、设集合M=|02,N=|02,从M到N有4种对应如下图所示: 其中能表示为M到N的函数关系的有 。解析根据对应的含义和函数的概念,可以看出能表示M到N的函数关系。例析例2、求下列函数的定义域:; =; =解析函数的定义域通常由问题的实际背景确定,如果只给出解析式=,而没有指明它的定义域,那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合。解:2=0,即=2时,分式无意义,而2时,分式有意义这

7、个函数的定义域是|2。320,即时,根式无意义而320,即时,根式才有意义这个函数的定义域是|。当10且20,即1且2时,根式和分式同时有意义这个函数的定义域是|1且2另解:要使函数有意义,必须:10且201且2 这个函数的定义域是:|1且2强调解题时要注意书写过程,注意紧扣函数定义域的含义。由本例可知,求函数的定义域就是根据使函数式有意义的条件,布列自变量应满足的不等式或不等式组,解不等式或不等式组就得到所求的函数的定义域。求函数的定义域的常见类型:(1)当为整式时,定义域为;(2)当为分式时,定义域为使分母不为0的的集合;(3)当为n次根式中的偶次根式时,定义域为使被开方式非负的的集合;(

8、4)当是由几个式子组成时,定义域是使各个式子都有意义的的取值的集合。例析例3、已知函数=3252,求,。解析解:(3)=332532=14;=3()25()2=85;=3(1)25(1)+2=32。例析例4、下列函数中哪个与函数=是同一个函数?(1); (2); (3)解析解:(1)=,0,0,定义域不同且值域不同,不是同一个函数;(2)=,定义域值域都相同,是同一个函数;(3)=|=,0;值域不同,不是同一个函数。例析例5、下列各组中的两个函数是否为相同的函数?(1) (定义域不同)(2) (定义域不同)(3) (定义域、值域都不同)注意两个函数相同即它们的定义域和对应法则完全相同。四、演练

9、反馈1、函数的定义域是( )A B C D2、下列各组,函数与表示同一个函数的是( ) A=1,=0 B=0 ,=C=2, = D=3,=3、已知函数=23,求:(1),;(2);(3)若0,1,2,3,求函数的值域。4、若,则到的映射有 个,到的映射有 个,到的函数有 个演练反馈答案:1、B 2、D 3、(1)=3,=1,=7; (2)=49;(3)值域为3,1,1,3 4、81,64,81 函数及其表示一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代号填在题后的括号内(每小题5分,共50分).1下列四种说法正确的一个是( )A表示的是含有的代数式 B函数的值

10、域也就是其定义中的数集BC函数是一种特殊的映射 D映射是一种特殊的函数2已知f满足f(ab)=f(a)+ f(b),且f(2)=,那么等于( )ABCD3下列各组函数中,表示同一函数的是( )A BC D 4已知函数的定义域为( )AB C D 5设,则( )A B0 C D6下列图中,画在同一坐标系中,函数与函数的图象只可能是( )xyAxyBxyCxyD*7设函数,则的表达式为( )AB C D8已知二次函数,若,则的值为( )A正数 B负数 C0 D符号与a有关 9已知在克的盐水中,加入克的盐水,浓度变为,将y表示成x的函数关系式( )A BCD10已知的定义域为,则的定义域为( )A

11、B C D二、填空题:请把答案填在题中横线上(每小题6分,共24分).11已知,则= .*12若记号“*”表示的是,则用两边含有“*”和“+”的运算对于任意三个实数“a,b,c”成立一个恒等式 .13集合A 中含有2个元素,集合A到集合A可构成 个不同的映射.*14从盛满20升纯酒精的容器里倒出1升,然后用水加满,再倒出1升混合溶液,再用水加满. 这样继续下去,建立所倒次数和酒精残留量之间的函数关系式 .三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分).15(12分)求函数的定义域;*求函数的值域;*求函数的值域.16(12分)在同一坐标系中绘制函数,得图象.*17(12分)已知

12、函数,其中,求函数解析式.*18(12分)设是抛物线,并且当点在抛物线图象上时,点在函数的图象上,求的解析式.19(14分)动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点出发顺次经过B、C、D再回到A;设表示P点的行程,表示PA的长,求关于的函数解析式.*20(14分)已知函数,同时满足:;,求的值.函数的概念及其表示法练习题答案一、CBCDA BCABC二、111; 12; 134; 14 ;三、15 解:因为的函数值一定大于0,且无论取什么数三次方根一定有意义,故其值域为R;令,原式等于,故。把原式化为以为未知数的方程,当时,得;当时,方程无解;所以函数的值域为.16题示:对于第一个函数可以依据初中学习的知识借助顶点坐标,开口方向,与坐标轴交点坐标可得;第二个函数的图象,一种方法是将其化归成

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