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1、2009-2010学年第一学期硕士研究生矩阵分析考试试卷(A)答案专业 班级 学号 姓名 题号一二三四五六七总分得分一 （12分）表示由次数小于3的多项式组成的线性空间。在中取两个基：；。（1） 求基到基的过度矩阵；（2） 求在基下的坐标。解：对于基， ，其中，。 - 3分因此，过渡矩阵 - 8分 - 12分二 （16分）设是由次数小于3的所有实系数多项式组成的线性空间，中的线性映射满足：对任意 ， ，（1）求的核基和维数；（2）求值域的基和维数；（3）求的一个基使得在该基下的矩阵表示为对角矩阵。解：对于基， ； -3分，因此的基础解系是，的基为，维数1. -7分，, 是的极大无关组，因此的基

2、是，维数2。 -10分设基，则，。 -12分，特征值为0，-1，3， -14分求出，。 -16分三 （12分）设， 。计算。答案：，每个3分。四（8分）求矩阵的满秩分解。 答案：五 （12分）求矩阵的三角正交分解，其中是酉矩阵， 是正线下三角矩阵。 答案： 六 （20分）证明题：1 设是阶正规矩阵，证明是酉矩阵的充要条件是的特征值的绝对值等于1。2设半正定Hermite矩阵且，证明：。3设是正规矩阵， 证明：，其中是的第个特征值。证明：1. 书上定理3.5.4 2. 证明： 存在酉矩阵，使得 。由于半正定且，则全都大于等于零，且至少由一个不为零，因此。3. ，所以 ，因此，=。七 （20分） 设。（1）求的Smith标准形；（2）写出的最小多项式， 的初等因子和Jordan标准形； （3）求

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