高三数学解析几何知识整理[共11页]

1、江苏省启东中学高三数学回归书本知识整理(解析几何)直线部分一、直线的倾斜角和斜率：（1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角。注意：规定当直线和轴平行或重合时，其倾斜角为，所以直线的倾斜角的范围是；（2）直线的斜率：倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，斜率是用来表示倾斜角不等于的直线对于轴的倾斜程度的。每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率（直线垂直于轴时，其斜率不存在)，这就决定了我们在研究直线的有关问题时，应考虑到斜率的存在与不存在这两种情况，否

2、则会产生漏解。 斜率计算公式：设经过和两点的直线的斜率为，则当时，；当时，；斜率不存在；二、直线方程的几种形式：（1）点斜式：过已知点，且斜率为的直线方程：；注意：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为；表示：直线上除去的图形 。（2）斜截式：若已知直线在轴上的截距为，斜率为，则直线方程：；注意：正确理解“截距”这一概念，它具有方向性，有正负之分，与“距离”有区别。（3）两点式：若已知直线经过和两点，且（），则直线的方程：；注意：不能表示与轴和轴垂直的直线；当两点式方程写成如下形式时，方程可以适应在于任何一条直线。（4）截距式：若已知直线在轴，轴上的截距分别是，（）则直线方程：；注意

3、：不能表示与轴垂直的直线，也不能表示与轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线，要谨慎使用。（5）参数式：（为参数）其中方向向量为，； ；点对应的参数为，则；（为参数）其中方向向量为， 的几何意义为；斜率为；倾斜角为。（6）一般式：任何一条直线方程均可写成一般式：；（不同时为零）；反之，任何一个二元一次方程都表示一条直线。注意：直线方程的特殊形式，都可以化为直线方程的一般式，但一般式不一定都能化为特殊形式，这要看系数是否为0才能确定。指出此时直线的方向向量：， （单位向量）；直线的法向量：；（与直线垂直的向量）三、两直线的位置关系：位置关系平行，且重合，且相交垂直设两直线的方程分别为：或；当或

4、时它们相交，交点坐标为方程组或解；注意：对于平行和重合，即它们的方向向量（法向量）平行；如：对于垂直，即它们的方向向量（法向量）垂直；如若两直线的斜率都不存在，则两直线 平行 ；若一条直线的斜率不存在，另一直线的斜率为 0 ，则两直线垂直。对于来说，无论直线的斜率存在与否，该式都成立。因此，此公式使用起来更方便斜率相等时，两直线平行(重合)；但两直线平行(重合)时，斜率不一定相等，因为斜率有可能不存在。四、两直线的交角（1）到的角：把直线依逆时针方向旋转到与重合时所转的角；它是有向角，其范围是； 注意：到的角与到的角是不一样的；旋转的方向是逆时针方向；绕“定点”是指两直线的交点。（2）直线与的

5、夹角：是指由与相交所成的四个角的最小角(或不大于直角的角)，它的取值范围是；（3）设两直线方程分别为： 或若为到的角，或；若为和的夹角，则或；当或时，；注意：上述与有关的公式中，其前提是两直线斜率都存在，而且两直线互不垂直；当有一条直线斜率不存在时，用数形结合法处理。直线到的角与和的夹角：或；五、点到直线的距离公式：设点和直线，点到的距离为：；两平行线，的距离为：；六、直线系：（1）设直线，经过的交点的直线方程为（除去）；如：，即也就是过与的交点除去 的直线方程。直线恒过一个定点 。注意：推广到过曲线与的交点的方程为：；（2）与平行的直线为；（3）与垂直的直线为；七、对称问题：（1）中心对称：

6、点关于点的对称：该点是两个对称点的中点，用中点坐标公式求解，点关于的对称点直线关于点的对称：、在已知直线上取两点，利用中点公式求出它们关于已知点对称的两点的坐标，再由两点式求出直线方程；、求出一个对称点，在利用由点斜式得出直线方程；、利用点到直线的距离相等。求出直线方程。如：求与已知直线关于点对称的直线的方程。（2）轴对称：点关于直线对称：、点与对称点的中点在已知直线上，点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数。、求出过该点与已知直线垂直的直线方程，然后解方程组求出直线的交点，在利用中点坐标公式求解。如：求点关于直线对称的坐标。直线关于直线对称：（设关于对称）、若相交，则到的角等于到的角；若，

7、则，且与的距离相等。、求出上两个点关于的对称点，在由两点式求出直线的方程。、设为所求直线直线上的任意一点，则关于的对称点的坐标适合的方程。如：求直线关于对称的直线的方程。八、简单的线性规划：（1）设点和直线， 若点在直线上，则；若点在直线的上方，则；若点在直线的下方，则；（2）二元一次不等式表示平面区域：对于任意的二元一次不等式，当时，则表示直线上方的区域；表示直线下方的区域；当时，则表示直线下方的区域；表示直线上方的区域；注意：通常情况下将原点代入直线中，根据或来表示二元一次不等式表示平面区域。（3）线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。满足线性

8、约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题。注意：当时，将直线向上平移，则的值越来越大； 直线向下平移，则的值越来越小；当时，将直线向上平移，则的值越来越小； 直线向下平移，则的值越来越大；xyOA(1,1)B(5,1)C(4,2)如：在如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括周界），目标函数取得最小值的最优解有无数个，则为 ；圆部分一、曲线和方程：在直角坐标系中，如果某曲线上的点与一个二元方程的实数解建立了：曲线上的点的坐标都是这个方程的解；（纯粹性）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点；（完备性）那么这个方程叫做曲线方程，这

9、条曲线叫做方程的曲线。二、圆的定义及其方程（1）圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)叫做圆，定点叫做圆心，定长就是半径；（圆心是定位条件，半径是定型条件）（2）圆的标准方程：；圆心，半径为；圆的参数方程：为参数)；理解的含义；圆的一般方程：；圆心，半径为；一般方程的特点：和的系数相同，且不等于零；没有这样的二次项；特别地，圆心在坐标原点，半径为r的半圆的方程是；若，则以线段为直径的圆的方程是：；三、点与圆的位置关系（仅以标准方程为例，其他形式，则可化为标准式后按同样方法处理）设与圆；若到圆心之距为；在在圆外；在在圆内； 在在圆上；四、直线与圆的位置关系：设直线和圆，圆心到直线之

10、距为，由直线和圆联立方程组消去（或）后，所得一元二次方程的判别式为，则它们的位置关系如下：相离；相切；相交；注意：这里用与的关系来判定，称为几何法，只有对圆才实用，也是最简便的方法；利用判定称为代数法，对讨论直线和二次曲线的位置关系都适应。五、两圆的位置关系：（1）代数法：解两个圆的方程所组成的二元二次方程组；若方程组有两组不同的实数解，则两圆相交；若方程组有两组相同的实数解，则两圆相切；若无实数解，两圆相离。（2）几何法：设圆的半径为，圆的半径为两圆外离； 两圆外切；两圆相交；两圆内切；两圆内含；六、与圆的切线有关的问题：（1）若点在圆；则过点点的切线方程为：；若点在圆；则过点点的切线方程为

11、：；若点在圆；则过点点的切线方程为：；（2）斜率为且与圆相切的切线方程为：；斜率为且与圆 相切的切线方程的求法，可设切线为，然后利用圆心到切线的距离等于半径列出方程求；（3）当点在圆外面时，可设切方程为，利用圆心到直线之距等于半径即，求出即可，或利用，求出，若求得只有一值，则还应该有一条斜率不存在的直线，此时应补上。（4）当直线和圆相切时，切点的坐标为的方程和圆的方程联立的方程组的解，或过圆心与切线垂直的直线与切线联立的方程组的解。（5）若点在圆外一点；则过点点的切线的切点弦方程为：；若点在圆；则过点点的切线的切点弦方程为：； 七、圆的弦长的求法：（1）几何法：当直线和圆相交时，设弦长为，弦心

12、距为，半径为，则有：；（2）代数法：设的斜率为，与圆交点分别为，则（其中的求法是将直线和圆的方程联立消去或，利用韦达定理求解。）八、圆系方程：（1）经过两个圆与 的交点的圆系方程是；当时，表示过两个圆交点的直线；（2）经过直线与圆的交点的圆系方程是；圆锥曲线部分一、椭圆：（1）椭圆的定义：平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹。第二定义：平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数的点的轨迹。其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距；定直线叫做准线。常数叫做离心率。注意：表示椭圆；表示线段；没有轨迹；（2）椭圆的标准方程、图象及几何性质：中心在原点，焦点在轴上中

13、心在原点，焦点在轴上标准方程参数方程为参数)为参数)图 形xOF1F2PyA2A1B1B2A1xOF1F2PyA2B2B1顶 点对称轴轴，轴；短轴为，长轴为焦 点焦 距 离心率（离心率越大，椭圆越扁）准 线通 径（为焦准距）焦半径焦点弦仅与它的中点的横坐标有关仅与它的中点的纵坐标有关焦准距二、双曲线：（1）双曲线的定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹。第二定义：平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数的点的轨迹。其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距；定直线叫做准线。常数叫做离心率。注意：与（）表示双曲线的一支。表示两条射线；没有轨迹；（

14、2）双曲线的标准方程、图象及几何性质：中心在原点，焦点在轴上中心在原点，焦点在轴上标准方程图 形xOF1F2PyA2A1yxOF1PB2B1F2顶 点对称轴轴，轴；虚轴为，实轴为焦 点焦 距 离心率（离心率越大，开口越大）准 线渐近线通 径（为焦准距）焦半径在左支在右支在下支在上支焦准距（3）双曲线的渐近线：求双曲线的渐近线，可令其右边的1为0，即得，因式分解得到。与双曲线共渐近线的双曲线系方程是；（4）等轴双曲线为，其离心率为三、抛物线：（1）抛物线的定义：平面内与一个定点的距离等于到一条定直线的距离点的轨迹。其中：定点为抛物线的焦点，定直线叫做准线。（2）抛物线的标准方程、图象及几何性质：

15、焦点在轴上，开口向右焦点在轴上，开口向左焦点在轴上，开口向上焦点在轴上，开口向下标准方程图 形xOFPyOFPyxOFPyxOFPyx顶 点对称轴轴轴焦 点离心率准 线通 径焦半径焦点弦（当时，为通径）焦准距如：是过抛物线焦点的弦，是的 中点，是抛物线的准线，为垂足，为垂足，求证：xOFAyBNDMEQH（1）； （2）； （3）；（4）设交抛物线于，则平分；（5）设，则，；（6）； （7）三点在一条直线上（8）过作，交轴于，求证：，；四、圆锥曲线的统一定义：若平面内一个动点到一个定点和一条定直线的距离之比等于一个常数，则动点的轨迹为圆锥曲线。其中定点为焦点，定直线为准线，为离心率。当时，轨迹

16、为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线。五、轨迹方程的求法：（1）直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只需把这种关系“翻译”成含的等式就得到曲线的轨迹方程。 如：已知底边的长为8，两底角之和为，求顶点且的轨迹方程。（2）定义法：其动点的轨迹符合某一基本轨迹的定义，则根据定义直接求出动点的轨迹方程。如：已知圆，定点，若是圆上的动点，的垂直平分线交 于，求的轨迹方程。（3）几何法：若所求的轨迹满足某些几何性质（如线段的垂直平分线，角平分线的性质等），可以用几何法，列出几何式，再代人点的坐标较简单。如：是的直径，且，为圆上一动点，

17、作，垂足为，在上取点，使，求点的轨迹。（4）相关点法（代人法）：有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点（称之为相关点）而运动的；如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程。 如：在双曲线的两条渐近线上分别取点和，使（其中为坐标原点，为双曲线的半焦距），求中点的轨迹。（5）交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常通过解方程组得出交点(含参数)的坐标，再消去参数得出所求轨迹的方程。常与参数法并用。如：己知两点，以及一直线，设长为的线段在直线上运动，求直线和的

18、交点的轨迹方程。（6）整体法（设而不求法）：当探求的轨迹较复杂时，可扩大考察视角，将问题中的条件、结论的各种关系看成一个整体，从整体出发运用整体思想，注重整体结构的挖掘和分析。如：以为圆心的圆与椭圆交于两点，求中点的轨迹方程。（7）参数法：有时求动点应满足的几何条件不易得出，也无明显的相关点，但却较易发现（或经分析可发现）这个动点的运动常常受到另一个变量（角度、斜率、比值、截距或时间等）的制约，即动点坐标中的分别随另一变量的变化而变化，称这个变量为参数，建立轨迹的参数方程，这种方法叫参数法，如果需要得到轨迹的普通方程，只要消去参数即可；在选择参数时，选用的参变量要以具有某种物理或几何的性质，如时间、速度、距离、角度，有向