高中数学 第一章 导数及其应用 1.5 定积分的概念学案 新人教A版选修2-2

1、1.5 定积分的概念核心必知1预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P38P47的内容，回答下列问题观察教材图1.52，阴影部分是由抛物线yx2与直线x1，y0所围成的平面图形(1)通常称这样的平面图形为什么图形？提示：曲边梯形(2)如何求出所给平面图形的面积近似值？提示：把平面图形分成多个小曲边梯形，求这些小曲边梯形的面积和(3)如何更精确地求出阴影部分的面积S?提示：分割的曲边梯形数目越多，所求得面积越精确2归纳总结，核心必记(1)连续函数如果函数yf(x)在某个区间I上的图象是一条连续不断的曲线，那么我们就把它称为区间I上的连续函数(2)曲边梯形的面积曲边梯形：由直线xa，xb(ab)

2、，y0和曲线yf(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图)求曲边梯形面积的方法与步骤：()分割：把区间a，b分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如图)；()近似代替：对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值(如图)；()求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和；()取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值，即为曲边梯形的面积(3)求变速直线运动的位移(路程)如果物体做变速直线运动，速度函数为vv(t)，那么我们也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，求出它在atb内所作的

3、位移s.(4)定积分定积分的概念如果函数f(x)在某个区间a，b上连续，用分点a= 当n时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间a，b上的定积分，记作f(x)dx，其中a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间a，b叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式定积分的几何意义如果在区间a，b上函数f(x)连续且恒有f(x)0，那么定积分f(x)dx表示由直线xa，xb(ab)，y0和曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积这就是定积分f(x)dx的几何意义定积分的基本性质()kf(x)dxkf(x)dx(k为常数)；()f1(x)f2(x)dxf1

4、(x)dxf2(x)dx；()f(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中acb)问题思考(1)曲边梯形与“直边图形”的主要区别是什么？提示：前者有一边是曲线段，而“直边图形”的所有边都是直线段(2)求曲边梯形面积时，能否直接对整个曲边梯形进行“以直代曲”呢？怎样才能减小误差？提示：不能直接对整个曲边梯形进行“以直代曲”，否则误差太大，为了减小近似代替的误差，需要先分割再分别对每个小曲边梯形“以直代曲”，而且分割的曲边梯形数目越多，得到面积的误差越小(3)在“近似代替”中，如果取任意i处的函数值f(i)作为近似值，求出的S有变化吗？提示：没有变化(4)求曲边梯形的面积与求变速直线运动的路程有哪些

5、共同点？提示：求曲边梯形的面积与求变速直线运动的路程的共同本质是“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法(5)f(x)dx是一个常数还是一个变量？f(x)dx与积分变量有关系吗？提示：由定义可得定积分f(x)dx是一个常数，它的值仅取决于被积函数与积分上、下限，而与积分变量没有关系，即f(x)dxf(t)dtf(u)du.(6)在定积分的几何意义中f(x)0，如果f(x)0，f(x)dx表示什么？提示：如果在区间a，b上，函数f(x)0，f(i)0，故f(i)xi0，从而定积分f(x)dxS2 DS1S2.9已知x2dx，x2dx，1dx2，则(x21)dx_.解析：由定积分的性质可知(x21)

6、dxx2dx1dxx2dxx2dx22.答案：10用定积分的几何意义计算下列定积分： 而S，(2)令y2，则y2表示以(0,2)为圆心，2为半径的圆的上半圆， 能力提升综合练1若f(x)dx1，g(x)dx3，则2f(x)g(x)dx()A2 B3 C1 D4解析：选C2f(x)g(x)dx2f(x)dxg(x)dx2131.2若f(x)为偶函数，且f(x)dx8，则等于()A0 B4 C8 D16解析：选D被积函数f(x)为偶函数，在y轴两侧的函数图象对称，从而对应的曲边梯形面积相等3定积分(3)dx等于()A6 B6 C3 D3解析：选A3dx表示图中阴影部分的面积S326，(3)dx3dx6.又ysin x与y2x都是奇函数，故所求定积分为0.答案：0解析：由y可知x2y24(y0)，其图象如图等于圆心角为60的弓形CD的面积与矩形ABCD的面积之和S弓形2222sin .S矩形A