参数方程与齐次化方法在解析几何问题中的应用探究

1、参数方程与齐次化方法在解析几何问题中的应用探究复旦实验中学 袁青 2013年高考上海理科试卷第22题为解析几何问题，研究讨论直线与曲线位置关系问题，很多学生看着感觉能做，一做却又做错其实该题并不用于高三阶段一般的解析几何训练题，简单地将问题转化为联立直线与曲线方程，对方程的根进行讨论，与一般直线与圆锥曲线的关系练习题中联立方程之后直接利用根与系数关系研究弦长、面积、定点等问题有是有很大区别的尤其在（3）中，如果没有办法利用图像先得知，则会很难寻找到与的这样一对矛盾关系，而这体现了学生对“解析几何问题毕竟是个几何问题”这一实质的理解本文对此题解法做进一步探究，研究一下在把握住“解析几何问题毕竟是

2、个几何问题”这一大原则的基础上，参数方程和齐次化方法可能给解题带来的方便考题再现：（2013年理科第22题，文科第23题） 如图，已知双曲线：，曲线：是平面内一点，若存在过点的直线与、都有公共点，则称为“型点”（1）在正确证明的左焦点是“型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；（2）设直线与有公共点，求证：，进而证明原点不是“型点”；（3）求证：圆内的点都不是“型点”标准答案所给解法：（1）的左焦点为，写出的直线方程可以是以下形式：或，其中（2）因为直线与有公共点，所以方程组有实数解，因此，得若原点是“型点”，则存在过原点的直线与、都有公共点考虑过原点与有

3、公共点的直线或（）显然直线与无公共点如果直线为（），则由方程组得，矛盾所以，直线（）与也无公共点因此，原点不是“型点”（3）记圆：，取圆内的一点设有经过的直线与、都有公共点显然不垂直于轴，故可设：若，由于圆夹在两组平行线与之间，因此圆也夹在直线与之间，从而过且以为斜率的直线与无公共点，矛盾，所以因为与有公共点，所以方程组有实数解，得因为，所以，因此，即因为圆的圆心到直线的距离，所以，从而，得，与矛盾因此，圆内的点都不是“型点”解法分析：第（2）、（3）两题由于在研究直线与曲线发生的相交的情况，所以主要切入点为函数与方程的思想，将交点个数问题转化为了方程解的个数问题即使（3）中的直线是不确定的，

4、也从其一般形态入手，使问题得以顺利解决但（3）中的得出过程并不是每一位同学都能如此严谨地进行表述的解法另探：可以从参数方程角度将（2）解决，利用齐次化方法对（3）求解（2）假设原点可以为“型点”，通过反证法可以得到并不可能设直线的参数方程，则代入可得，代入可得所以，由此可知且所以，则，并不可能发生，假设不成立所以得证原点并不是“型点”另外，由于与相交时有，则可同样得证（3）记圆：，取圆内的一点设有经过的直线与、都有公共点显然不垂直于轴，故可设：由（1）可知不是，则直线过圆内一点，则，即，则由可知且假设与交于第一象限点（注：不可能交于，与矛盾），则显然与矛盾假设不成立因此，圆内的点都不是“型点”

5、以上三种方法其实在适当的背景下都可使用，灵活运用可为解题带来极大的方便如下几例：例1、已知椭圆，直线：点是上一点，射线交椭圆于点，又点在上，且满足当点在上移动时，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线解法一：联立直线与曲线方程解法设：，则，由此可知，则则，则，除外斜率不存在时，、，则轨迹方程为解法二：参数方程设、则，则 ，则轨迹方程为解法三：利用齐次化方法的思想（可设：，也可不设）由于、同向，设，则（），则，记为点的轨迹方程利用齐次化方法对“解法二”进行改良：且例2、若抛物线（）上总存在关于直线的对称的两点，试确定的取值范围解法一：参数方程解法设、是抛物线上关于直线对称的两点，是中点设直线的参数方程为，则或解法二：参数方程解法即例3、设为椭圆在第一象限内部分上一点，已知，过点的两条弦、的倾斜角互补求证：直线的斜率为定值解法一：联立方程取：则设：，则：则，则，同理求出、的值，则（代入运算即可）解法二：齐次化方程解法将坐标原点移到，则椭圆方程，即整理：、斜率为、就是方程的两个根则 由此可见，其实几种解法在某些背景下都可使用，相互参照还能对现有思路进行更妙的改良2013年的考题告诉我们在解析几何问题中需要认识到其几何本质，如果单纯地认为解析