高中数学 第一讲 相似三角形的判定及有关性质 1.4 直角三角形的射影定理练习 新人教A版选修4-1

1、四直角三角形的射影定理课后篇巩固探究1.如图,在RtMNP中,MNMP,MQPN于点Q,NQ=3,则MN等于()A.3PNB.PNC.D.9PN解析:MNMP,MQPN,MN2=NQPN.又NQ=3,MN=.答案:C2.在RtMNP中,MNMP,MQPN于点Q,MN=3,PN=9,则NQ等于()A.1B.3C.9D.27解析:由射影定理,得MN2=NQNP,即32=9NQ,解得NQ=1.答案:A3.在RtABC中,C=90,CD是斜边AB上的高,AD=5,BD=8,则SCDASCDB等于()A.58B.2564C.2539D.2589解析:由题意知CDABDC,则.根据射影定理,得AC2=AD

2、AB,CB2=BDAB,故.答案:A4.导学号52574018在RtABC中,BAC=90,ADBC,垂足为D.若BC=m,B=,则AD的长为()A.msin2B.mcos2C.msin cos D.msin tan 解析:由射影定理,得AB2=BDBC,AC2=CDBC,即m2cos2=BDm,m2sin2=CDm,即BD=mcos2,CD=msin2.AD2=BDDC=m2cos2sin2,AD=msin cos .答案:C5.在ABC中,ACB=90,CDAB于D,ADBD=23,则ACD与CBD的相似比为()A.23B.49C.3D.不确定解析:在RtACB中,CDAB,由射影定理,得

3、CD2=ADBD,即.ADC=BDC=90,ACDCBD.又ADBD=23,令AD=2x,BD=3x(x0),CD2=6x2,CD=x.ACD与CBD的相似比为,即相似比为3.答案:C6.在ABC中,ACBC,CDAB于点D.若AD=27,BD=3,则AC=,BC=,CD=.解析:由射影定理,得CD2=ADBD,则CD=9.根据勾股定理,得AC=9,BC=3.答案:9397.在RtABC中,ACB=90,CDAB于D,CD=,AB=5,则AD=.解析:ACB=90,CDAB,CD2=ADDB.CD=,ADDB=6.又AB=5,DB=5-AD.AD(5-AD)=6,解得AD=2或AD=3.答案:

4、2或38.在RtABC中,C=90,a-b=1,tan A=,其中a,b分别是A和B的对边,则斜边上的高h=.解析:由tan A=和a-b=1,得a=3,b=2,则c=(c为C的对边),故h=.答案:9.导学号52574019如图,已知RtABC的周长为48,AD平分BAC,且与BC交于点D,BDDC=53.(1)求RtABC的三边长;(2)求两直角边AC,BC在斜边AB上的射影的长.解:(1)如图,设CD=3x,则BD=5x,BC=8x.过点D作DEAB于点E,易知RtADCRtADE,DE=3x,BE=4x,AE+AC+12x=48.又AE=AC,AC=24-6x,AB=24-2x,(24-6x)2+(8x)2=(24-2x)2,解得x1=0(舍去),x2=2,AB=20,AC=12,BC=16,RtABC的三边长分别为20,12,16.(2)过点C作CFAB于点F,则AC2=AFAB,AF=.同理得BF=.两直角边AC,BC在斜边AB上的射影的长分别为.10.如图,四边形ABCD是正方形,E为AD上一点,且AE=AD,N是AB的中点,NFCE于点F.求证:FN2=EFFC.证明:如图,连接NE,NC.设正方形的边长为a.AE=a,AN=a,NE=.BN=a,BC=a,NC=.DE=a