不定方程及整数解

1、不定方程及整数解中考要求内容基本要求略高要求较高要求例题精讲我们曾经学过一元一次方程，例如，解这个方程可得.如果未知数的个数不只一个，而是二个或更多个，就变成为二元一次方程或多元一次方程，例如就是一个二元一次方程.这个方程有无数多组解.比如，等这类未知数的个数多于方程的个数的方程（或方程组）就叫做不定方程（或方程组）初中范围内通常只讨论这类方程（组）的正整数解或整数解不定方程的问题主要有两大类：判断不定方程有无整数解或解的个数；如果不定方程有整数解，采取正确的方法，求出全部整数解.(1)不定方程解的判定如果方程的两端对同一个模(常数)不同余,显然,这个方程必无整数解.而方程如有解则解必为奇数、

2、偶数两种，因而可以在奇偶分析的基础上应用同余概念判定方程有无整数解.(2)不定方程的解法不定方程没有统一的解法,常用的特殊方法有:配方法、因式（质因数）分解法、不等式法、奇偶分析法和余数分析法.对方程进行适当的变形,并正确应用整数的性质是解不定方程的基本思路.定理1：若二元一次不定方程，整数和的最大公约数不能整除，则方程没有整数解定理2：若整数,互质，则方程有整数解，同时方程也有整数解.若是方程的一个整数解，则，是方程的一个整数解定理3：整系数方程有整数解定理2和定理3都是“裴蜀定理”的内容定理4：如果是满足整系数方程的一组整数解，则（其中为任意整数）也是满足上式的整数解这表明，满足方程的整数

3、解有无穷组，并且在时，可选择为正（负）数，此时为相应的为负（正）数这个结论可以通过把这组解直接代入已知方程进行证明由这个定理，只要能够观察出二元一次方程的一组整数解，就可以得到它的全部整数解例如，方程的一组解为，则此方程的所有整数解可表示为：板块一 不定方程的整数解【例1】 求方程的整数解【巩固】 求的整数解【巩固】 求方程的整数解：；【例2】 求的所有正整数解【巩固】 求方程的所有正整数解【巩固】 求的非负整数解【例3】 求的整数解【巩固】 求的整数解【例4】 求方程组的正整数解【例5】 求不定方程的整数解.【例6】 求方程的整数解.【例7】 第35届美国中学数学竞赛题）满足联立方程的正整数

4、的组数是（ ）.（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 （E）4【例8】 （第33届美国数学竞赛题）满足方程的正整数对的个数是（ ）.（A）0 （B）1（C）2（D）无限个（E）上述结论都不对【例9】 求不定方程的正整数解的组数【例10】 求方程的整数解.【例11】 (原民主德国1982年中学生竞赛题)已知两个自然数和及素数满足方程.证明:这时有及.板块二 证明不定方程无整数解【例12】 下列不定方程（组）中，没有整数解的是（ ）A. B.C. D.【例13】 证明方程无整数解.【例14】 (第14届美国数学邀请赛题)不存在整数使方程成立。【例15】 求证：方程没有各不相同的正整数解板块三 不

5、定方程的应用【例16】 某国硬币有分和分两种，问用这两种硬币支付分贷款，有多少种不同的方法？【例17】 大约年以前，我国古代数学家张丘建在他编写的张丘建算经里，曾经提出并解决了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题：今有公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只用个钱买只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只？【例18】 小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得分，套中小猴一次得分，套中小狗一次得分小明共套次，每次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次小明套次共得分，问：小鸡至少被套中几次？【例19】 把若干颗花生分给若干只猴子，如果每只猴子分颗，就剩下颗；如果每只猴子分颗，那么最后一只猴子得不到颗，那么，共有

6、_只猴子，共有_颗花生【例20】 今有浓度为、的甲、乙、丙三种盐水分别为克、克、克.现要配制成浓度为的盐水克，问甲种盐水最多可用多少克？最少可用多少克？【例21】 甲、乙两个粮库原来各存有整数袋的粮食如果从甲库调袋到乙库，则乙库存粮是甲库的倍；如果从乙库调若干袋到甲库，则甲库存粮是乙库的倍问甲库原来最少存粮多少袋？【例22】 有一种体育竞赛共含个项目，有运动员参加，在每个项目中，第一、二、三名分别得、分，其中、为正整数且，最后得分，与均得分，在百米赛中取得第一求的值，并问在跳高中谁取得第二名？【例23】 有面额为壹圆、贰圆、伍圆的人民币共张，购买一把价值为元的雨伞，不同的付款方式共有（ ）A.种 B.种 C.种 D.种【例24】 旅游团一行人到一旅馆住宿，旅游馆的客房有三人间、二人间、单人间三种，其中三人间的每人每天元，二人间的每人每天元，单人间的每天元，如果旅游团共住满了间客房，问三种客房各住几间？怎样消费最低？【例25】 把若干颗花生分给若干只猴子，如果每只猴子分颗，就剩下颗；如果每只猴子分颗，那么最后一只猴子得不到颗，那么，共有_只猴子