现代科技综述知识文库：BCK－代数的理想

1、现代科技综述系列BCK代数的理想科技是人类区别于动物的重要文明之一，是人类对自然规律研究和利用的学科。本文提供对科技基本概念“BCK代数的理想”的解读，以供大家了解。BCK代数的理想BCK代数作为一个抽象代数系统，当其初等理论建立以后，如何引入它的理想，就成为BCK代数深入发展的一个关键问题。1975年日本井关清志引入了BCK代数的理想概念，充分反映了BCK运算*的不对称性这一特点。多年的发展表明，理想理论是BCK代数的最重要最基本的理论分支之一，与格论，环论和布尔代数等有着广泛的联系，它的出现标志BCK代数的研究进入新的阶段。BCK代数X；*，0的非空子集I叫做理想，如果它满足：0I和x*y

2、，yI蕴涵xI。以I(X)记X的全体理想之集，显然0，XI(X)。如果I(X)=0，X，则称X是单的。包含子集A的最小理想称为A生成的理想，记为(A。如果A是有限集，则称(A是有限生成的。代数学的一个重要问题是：如何用A表示(A。井关清志给出了一个优美的结果：u(A当且仅当存在x1，xnA使(u*x1)*)*xn=0。以该结果为工具，波兰T特拉塞科(TTraczyk)和M帕兰辛斯基(MPalansinski)先后证明I(X)，是一个无限分配格，即，I2I(X)，I1I2是含于I1和I2的最大理想，(I1I2是包含I1和I2的最小理想；，JI(X)(A)，I(J：A=(IJ：A。理想的重要作用之

3、一是构造商代数。对于BCK代数X的理想I，称xy当且仅当x*y，y*xI。二元关系是X上的一个同余关系，以Cx记包含x的等价类，定义Cx*Cy=Cx*y，则XI；*，I是一个BCK代数，其中XI=Cx：xX，称做X关于I的商代数。巴基斯坦阿汗山(JAhsan)和德赫木(ABThaheem)证明了对应定理：以I，X表示X中包含I的所有理想之集，则映射：I，XI(XI)使得(J)=JI是一个格同构。由对应定理知，理想I是极大的当且仅当XI是单的。用理想刻划代数是BCK代数中一个有趣的研究方向。井关清志和田中昭太郎(STanaka)最初引入两类代数：正定关联BCK代数和每个理想是正定关联的BCK代数

4、。这两类代数有何关系?经过3年多的研究，1979年井关清志证明它们是等价的。从而开创了用理想刻划代数的研究方向。孟杰于1986年引入关联理想概念，借此刻划了关联BCK代数。如何引入可换理想，并借以刻划可换BCK代数?这里存在的主要困难是x*(x*y)和y*(y*x)在一般BCK代数中关于BCK序不可比较，而可换性条件是x*(x*y)=y*(y*x)。为了克服这一困难，孟杰从寻找可换性等价条件着手，1988年证明可换性等价于：xy蕴涵y*(y*x)=x。借此引入了可换理想的概念，并研究以上3类理想的分布状态。BCK代数X的非空子集I叫做一个正定关联理想，如果它满足：0I和(x*y)*z，y*zI

5、蕴涵x*zI。I叫做一个可换理想，如果它满足：0I和(x*y)*z，zI蕴涵x*(y*(y*x)I。I叫做一个关联理想，如果它满足t0I和(x*(y*x)*z，zI蕴涵xI。一个理想是关联的当且仅当它既是可换的又是正定关联的。关于它们的分布状态有下述深刻结果：设I和J是X的两个理想，且，如果I是正定关联(可换，关联)理想，则J也是正定关联(可换，关联)理想。用理想可以刻划代数：BCK代数X是正定关联(可换，关联)的，当且仅当X的每个理想是正定关联(可换，关联)的当且仅当零理想0是正定关联(可换，关联)的。理想理论的发展推动了商代数研究的深入：若I是BCK代数X的一个理想，则XI是可换(正定关联

6、，关联)的，当且仅当I是一个可换(正定关联，关联)理想。特别地，I既是极大的又是关联的当且仅当XI是二阶BCK代数。这是布尔代数中Tarski定理的推广：布尔代数X的理想I是极大的当且仅当。理想的分解是理想理论的另一个研究方向。阿汗山开创了这个方向。BCK代数X叫做一个诺德(Noether)代数，如果它的每个理想是有限生成的。理想I叫做既约的，如果，BI(X)，AB=I蕴涵A=I或B=I。1977年阿汗山得到了既约分解定理：若X是一个诺德代数，则它的每个理想是有限多个既约理想的交。他在有界关联BCK代数条件下得到了质分解定理，由于有界关联BCK代数是布尔代数，所以阿汗山的质分解定理实质上是布尔

7、代数相应结果的平移。为了减弱有界关联的条件，必须揭示BCK代数的特性。帕兰辛斯基给出下述重要引理：在BCK下半格X中，如果对自然数m和n有a*nx=a*my=0，则存在自然数k使得a*k(xy)=0，其中xy=infx，y，x*1a=x*a，a*nx=(a*n1x)*x，这为他的质分解定理打下了基础。BCK下半格X中的理想I叫做质的，如果xyI蕴涵xI或yI。帕兰辛斯基于1982年得到质分解定理：若BCK下半格X是一个诺德代数，则它的每个理想是有限多个质理想的交。他还讨论了极小质分解及唯一性的问题。质理想和商代数的关系，以1991年阿汗山(JAhsan)、迪巴(EYDeeba)、德赫木(ABT

8、haheem)下述结果为最好：可换BCK代数X的理想I是质的当且仅当XI满足消去律，即CxCy=C0蕴涵Cx=C0或Cy=C0。迪巴还证明在适当的运算下，I(X)是一个BCK代数。理想与同态是密切相关的。若X；*，0和Y；*，0是BCK代数，映射f：XY叫做一个同态映射，如果，bX，f(a*b)=f(a)*f(b)。集合Ker(f)=xX：f(x)=0叫做f的核。井关清志证明Ker(f)是X的一个理想。如果f还是满射，则，这就是第1同构定理。中国黄涵和黄俊敏分别建立了第2和第3同构定理，后者还系统研究了BCK代数的根性。1987年美国古尔(SKGoel)和阿罗拉(AKArora)考虑如下问题：

9、设I是X的一个理想，Y是任一个BCK代数，存在同态映射f：XY使得Ker(f)=I吗?显然回答是否定的。那么当I附加何种条件时，回答是肯定的?为解决这一问题，他们引入了固执理想的概念。理想I叫做固执的(obstinatl)，如果和蕴涵x*yI。他们证明：若X和Y是任意两个BCK代数，I是X的一个固执理想，则存在同态映射f：XY使得Ker(f)=I。1992年孟杰证明这个结论的逆也成立。井关清志、古尔、阿罗拉、帕兰辛斯基、孟杰等讨论了各种理想的关系：在一般的BCK代数中，固执理想、极大且关联的理想、极大且正关联的理想彼此等价；固执理想必是既约理想，但其逆不真。在BCK下半格中，既约理想等价于质理

10、想。在关联BCK代数中，固执理想、极大理想、质理想和既约理想彼此等价。BCK代数是一个年轻的学科，它的理想理论远未成熟，今后将有更大的发展，下列问题将引起关注：(1)用格理想的观点和方法研究理想，加拿大胡章成(CSHoo)和印度的罗马纳莫尔特(PVRamana Murty)于1987年证明了有界可换BCK代数中的理想必是格理想，其逆不真。进一步关系有待研究。(2)1991年巴斯坦阿斯拉木(MAslam)和德赫木引入零化子、零因子和对合理想等概念，这些有待深入研究。(3)理想和同态是密切相关的。随着范畴论的观点方法渗入BCK代数，势必对理想作广泛的研究。(4)借鉴斯东(MHStone)关于布尔代数和布尔环的工作。讨论BCK代数的拓扑及其它分析问题。【参考文献】： 1 Iseki K.Tanaka S. Math,Japon,1976,21:351366 2 Palansinski M.Math,Seminar Notes,1982,10:467471 3 GoelSK, Arora A. K Math,Japon,1987,32:559567 4 孟杰.数学年刊 1987