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文档简介

1、.第四章微分方程g ( y)dyf ( x)dx1.可分离变量的微分方程 初值问题y0y xx 0的解为yg(y)dyxy 0f ( x)dxx02.一阶线性微分方程dyP(x) yQ(x)的通解公式为dxP( x)dx(P( x) dxC)y eQ(x)edxdyP( x) yQ( x)3.初值问题dx的解为y xx0y0xxxP( x) dxP ( x ) dxx0dx y0)ye x 0( Q( x)ex04.齐次型方程 dy( y )uyyux于是有 dyux dudxxxdxdx便得到 ux du(u) 这是一个可分离变量的微分方程。dx分离变量后积分dudx(u) uxdyaxby

2、 c 其中 a1 b1可化为齐次型的方程5.dx a1 x b1 y c1a b当 c c1 0 时方程是齐次型的， 否则是非齐次型的。 在非齐次型的情形下，可用如下的代换把它化为齐次型的。作代换x X h, y Y kdYaX bY(ah bkc)ah bkc0dXa1 X b1Y(a1h b1kc1)再令a1h b1kc10 可定出 h 和 k6.伯努利方程 dyP( x) yQ( x) y(0,1)dx1 / 2.作代换 zy 1则 dz(1 ) ydy，于是有dxdxdz)P(x)z(1)Q(x) ，这是一阶线性方程。(1dx7.可降阶的二阶微分方程(1)yf ( x)(2)yf ( x, y)设 yp 那么ydpp 从而方程就化为dxpf ( x, p) 这是一个关于变量 x，p 的一阶微分方程。 如果我们求出它的通解为 yp( x, C1) ，那么再通过积分，可得原方程的通解y(x, C )dxC21(3)yf ( y, y)设 yp y dpdpdyp dpdxdydxdy从而方程就化为pdpf ( y, p)这是一个关于变量 y，p 的一阶微分dy方程。如果我们求出它的通解 yp( x,C1

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