马尔萨斯模型

1、马尔萨斯模型人类社会进入21世纪以来，在科学技术和生产力飞速发展的同时，世界人口也空前的规模增长。我国是世界第一人口大国，地球上每九个人中就有一个中国人。在20世纪的一段时间内我国人口的增长速度过快。年1908193319531964198219902000人口（亿）3.04076.07.210.311.312.95有效控制我国人口的增长，不仅是使我国全面进入小康社会、到21世纪中叶建成富强民主文明的社会主义国家的想需要，而且对全人类社会的美好理想来说，也是义不容辞的责任。认识人口数量的变化规律，建立人口模型，做出准确的预报，是有效控制人口增长的前提。年17901800181018201830

2、184018501860人口3.95.37.29.612.917.123.231.4年18701880189019001910192019301940人口38.650.262.9769210.6.5123.2131.7年195019601970198019902000人口150.7179.3204226.5251.4281.4表1 美国人口统计数据1） 马尔萨斯模型最简单的人口模型是人所共知的：记今年人口为，k年后人口为，年增长率为，则 （1）显然，这个公式的基本条件是年利率r保持不变。模型建立 记时刻t的人口为，当考察一个国家或一个较大地区的人口时，是一个较大的整数。为了利用积分这一数学工具

3、，将视为连续、可微函数。记初始时刻（t=0）的人口为。假设人口增长率为常数r，即单位时间内的增量等于乘以r。考虑到t到时间内的增量，显然有令，得到满足微分方程 ， （2）由这个方程容易解出 （3）R0时（3）式表示人口将按指数规律时间无限增长，称为指数增长模型。参数估计 （3）的参数r和可以用表1的数据估计。为了用简单的线性最小二乘法，将（3）事取对数，可得， （4）以1790年至1900年的数据拟合（4）式，用MATLAB软件计算可得r=0.2743/10年，=4.1884。以全部数据（1790年至2000年）拟合（4）式，可得r=0.2.22/10年，=6.0450。 clear f=in

4、line(a(1)*exp(a(2)*t),a,t) t=0:10:110 x=3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,50.2,62.9,76.0 a,Jm=lsqcurvefit(f,0,0,t,x) vpa(a,10) 结果分析 用上面得到的数参数r和带入（3），将计算结果与实际数据作比较，可以得出，用这个模型基本上能描述十九世纪以前美国人口的增长，但是进入二十世纪以后，美国人口增长明显变慢，这个模型就不合适了。年17901800181018201830184018501860人口3.95.37.29.612.917.123.231.4计算人口x

5、14.25.57.29.512.516.521.728.6计算人口x267.49.111.113.616.62324.9年18701880189019001910192019301940人口38.650.262.9769210.6.5123.2131.7计算人口x137.649.565.185.6计算人口x230.537.345.755.968.483.7102.5125.5年195019601970198019902000人口150.7179.3204226.5251.4281.4计算人口x1计算人口x2153.6188230.1281.7344.8422.1表2 只是增长模型拟合美国人口数

6、据的结果长期看来，任何地区的人口都不可能无限增长，即指数模型不能描述、也不能预测较长时期的人口演变过程。这是因为，人口增长率事实上在不断地变化着，排出灾难、战争等特殊时期，一般说来，当人口较少时，增长较快，即增长率较大；当人口达到一定数量后，增长会慢下来，即增长率较小。录像机计数器的用途老式录像机上都有计数器，而没有计时器，一些录音机也有类似情况。这种计数器用于什么呢？让我们从这样一个问题开始：一盘标明180分钟的录像带从头到尾，用时184分钟，计数器读数从0000变到6061。在某此使用中录像带已经转过大半，计数器读数为4450，问剩下的一段能否录下一小时的节目。如果计数器读数随着录像带的转

7、动是均匀增加的，那么由于4450已经显著超过6061的三分之二，即录像带已经转过两小时多，所以显然不能再录一小时的节目。但是，读数并非均匀增长，而是先快后慢，这样回答上面的问题就需要知道计数器读数与录像带转过的时间之间的关系。首先，录像带有两个轮盘，开始时录像带缠满的那个轮盘不妨称为左轮盘，另一个为右轮盘。计数器与右轮盘的轴相连，其读数与右轮盘转动的圈数成正比，开始时右轮盘是空的，读数为0000，随着带子从左到右运动，右轮盘半径增加，使得转动越来越慢，计数器读数的增长也越来越慢。我们找出计数器读数（记作n）与录像带转过时间（记作t）之间的关系，即建立一个数学模型。模型假设 根据以上分析作如下的

8、假设：1、 录像带的线速度是常数。2、 计数器读数n与右轮盘转过的圈数（记作m）成正比，为比例系数；3、 录像带的厚度（加上缠绕时两圈之间的空隙）是常数，空右轮盘半径为r。4、 初始时刻时。模型建立 建立t与n之间的关系，我们得到一种很自然的想法是计算缠绕在右轮盘上的录像带的长度。当右轮盘转到第圈时其半径为，周长为，圈的总长度恰等于录像带转过的长度，即 （1）考虑到比小得多，并带入，容易算出 （2）另一种更简单的办法是考察右轮盘面积的增加，它等于录像带转过的长度与厚度的乘积，即 （3）实际上，我们并不需要知道这四个参数的每一个，如果把（2）式改记作 （4）那么只需要确定两个参数即可进行和之间的

9、计算。参数估计 理论上，有两组数据就能算出（题目中已经给出一组：，所以再测试一组数据即可）。而实际上由于测试有误差，一般应该用足够多的测试数据进行拟合。t(分)0102030405060708090n061711411601201924032760309634133715t(分)100110120130140150160170184n400442804545480350515291552557526061表2 一盘录像带的实测数据我们用其中一部分数据（）按最小二乘法估计算出，得到，代入（4）式即得到需要的数学模型。 f=inline(a(1)*n.2+a(2)*n,a,n) n=0 1141

10、2019 2760 3413 4004 4545 5051 5525 t=0:20:160 a,Jm=lsqcurvefit(f,1 1,n,t) vpa(a,10) 汽车的刹车距离问题：正常驾驶条件下车速每增加10英里/小时，后面与前面一辆车的距离应增加一个车身的长度。又云实现这一规则的简单方法是所谓的“2秒准则”，即后车司机从前车经过某一标志开始默数2秒后到达统一标志，而不管车速如何。问题分析 制定这样的规则是为了在后车刹车情况下不致撞上前车，即要确定汽车的刹车距离。刹车距离显然与车速有关。刹车距离由反应距离和制动距离两部分组成。模型假设 基于上述分析，做出以下假设：（1） 刹车距离d等于

11、反应距离d1和制动距离d2之和。（2） 反应距离d1与车速v成正比，比例系数为反应时间t1。（3） 刹车时使用最大制动力F，F做的功等于汽车动能的改变，且F与车的质量成正比。模型建立 有假设2d1=t1v (1)有假设3，在F作用下行驶距离d2做的功Fd2使车速从v变成0，动能的变化为，有Fd2，又，按照牛顿第二定律可知，刹车时的减速度a为常数，于是d2=k (2)其中k为比例系数，k=。有假设1，刹车距离为d= （3）为了将这个模型用于实际，我们采用反应时间t1的经验估计值（按多数人平均计）0.75秒，而利用交通部门提供的一组刹车距离的实际数据（如图表）来拟合k。车速（英里/小时）（英尺/秒）实际刹车距离（英尺）计算刹车距离（英尺）刹车时间（秒）20 29.342(44)43.91.530 44.073.5(78)82.51.840 58.7116(124)132.12.150 73.3173(186)192.22.560 88.0248(268)263.83.070 102.7343(372)346.53.680 117.346