2010-2011线性代数试卷B卷

1、一、填空题（54=20分）1、设分别为三阶方阵的伴随矩阵和逆矩阵，且的三个特征值分别为，则 2、设为四阶方阵，且，把按列分块为,其中为的第列，令 ，则 3、设 4、设，若中任何一个向量都可由线性表示，则满足条件 5、若的4个列向量满足条件则方程的一个解为 _ 二、选择题（83=24分） 请将每题正确答案的序号填入下列对应表格中:题号12345678成绩答案1、设阶行列式,是的代数余子式,则 (A) (B) 0 (C) (D)难以确定其值2、设为阶方阵，且，则（ ）(A) 的行列式为1 (B) 的特征值都是1(C) 的秩为 (D)一定是对称矩阵3、下列向量集合中哪个是向量空间（ ）。(A) (B

2、) (C) (D) 4、设为阶方阵，是经过若干次矩阵的初等变换所得到的矩阵，则有（ ）（A） （B）（C）若，则一定有 （D）若，则一定有5、阶矩阵可以对角化的充要条件是( )（A）有个不全相同的特征值； （B）有个全不相同的特征值；（C）有个不相同的特征向量； （D）的任一特征值的重数与其线性无关特征向量的个数相同.6、设是阶方阵，其秩，则在的个行向量中（ ）（A）必有个行向量线性无关；（B）任意个行向量线性无关；（C）任意个行向量都构成极大无关向量组；（D）任意一个行向量都可以由其余个行向量线性表示。7、设为阶方阵, 相似于，则有（ ）（A） ； （B） 和有相同的特征向量；（C） 和相似

3、于同一对角阵；（D）对任意常数,。8、设为阶方阵，则下列结论成立的是（ ）（A）或； （B）；（C）且； （D）。三、判断题(52=10分)请将每题正确答案填入下列对应表格中:题号12345成绩答案1、若一个阶行列式中为零的元素超过个，则。 （ ）2、任何一个向量组都有极大无关组。 （ ）3、如果阶方阵的个特征值全为0，则一定为零矩阵。 （ ）4、方阵的任何一个特征值一定对应无穷多个特征向量。 （ ）5、设为阶方阵，若，则。 （ ）四、计算与证明题(46分)1、（6分）计算行列式 。2、（8分）设3阶方阵满足关系式，且 求3、（6分）设, 证明可逆,并求。4、（8分）设 求该向量组的秩和一个极

4、大线性无关组，且把其它的向量用极大无关组线性表示。 5、（8分）求下列方程组的通解 (用基础解系表示)6、（10分）已知是矩阵的一个特征向量，(1)试确定参数以及特征向量所对应的特征值；(2)问矩阵能否相似于对角阵，说明理由。 一、填空题（共6小题，每小题 3 分，满分18分）1. 设，则2.2. 为阶方阵,且 0 .3设方阵 B为三阶非零矩阵，且AB=O，则 -3 .4. 设向量组线性无关，向量b不能由它们线性表示，则向量组b 的秩为 m+1.5设A为实对称阵，且|A|0，则二次型f =x TA x化为f =yTA-1 y的线性变换是x=_ 设的两组基为，；,，则由基到基的过渡矩阵P=二、单

5、项选择题（共6小题，每小题3分，满分18分）1. 设为n阶行列式，则0的必要条件是D.(A) 中有两行元素对应成比例；(B) 中各行元素之和为零； (C)中有一行元素全为零；(D)以为系数行列式的齐次线性方程组有非零解2若向量组a，b，g 线性无关，a，b，s 线性相关，则 C .(A) a必可由b，g，s 线性表示. (B) b必可由a，g，s 线性表示. (C) s必可由b，g，a 线性表示. (D) g必可由b，a，s 线性表示.设3阶方阵A有特征值0，1，1，其对应的特征向量为P1，P2，P3，令P(P1，P2，P3)，则P1AP B .(A)； (B) ； (C) ；(D) 设1，2

6、，3线性无关，则下列向量组线性相关的是 D （A）1，2，3 - 1； （B）1，1+2，1+3；（C）1+2，2+3，3+1； （D）1-2，2-3，3-1.若矩阵有一个3阶子式不为0，则 C . （A）()=1； （B） ()=2； （C） ()=3；（D） ()=4 实二次型fxAx为正定的充分必要条件是 A (A) A的特征值全大于零； (B) A的负惯性指数为零； (C) |A| 0 ； (D) R(A) = n.得 分 三、解答题（共5小题，每道题8分，满分40分）1.求的值解：. 求向量组,的一个极大无关组，并把其余的向量用该极大无关组线性表出.解：极大无关组， ，.设A、P均为

7、3阶矩阵，且若P=(1,2,3),Q=(1+2,2,3),求QTAQ解：由于Q=(1+2,2,3)= (1,2,3) 于是QTAQ=4设是阶实对称矩阵，若，求.解: 由知, 的特征值-2或0,又,且是阶实对称矩阵,则(k个-2)，故5.设矩阵相似于对角矩阵L，求a.解： 由|A-E|=0，得A的三个特征值1=2=6，3= -2.由于A相似于对角矩阵，R（A-6E）=1，即，显然，当a=0时，R（A-6E）=1，A的二重特征值6对应两个线性无关的特征向量 四、（本题满分10分）对线性方程组(1) 若两两不等，问方程组是否有解，为什么？(2)若, (b0)，且已知方程的两个解, ，试给出方程组的通

8、解解：（1），无解（2），故通解 五、（本题满分8分）设二次曲面的方程）经正交变换，化成，求、的值及正交矩阵Q.解：设，由知当时，当时，得 分 故正交阵.六、（本题满分6分）设A为n阶实矩阵，为A的对应于实特征值的特征向量，为AT的对应于实特征值的特征向量，且，证明与正交证 ：依题意得A=， AT=，将A=的两边转置得，TAT =T，在上式的两边右乘得，TAT =T，即T=T，亦即（-）T=0，由于，所以T=0，故与正交一、分数评卷人填空题（每题2分,共20分）1四阶行列式中的一项应取的符号是_。2排列的逆序数是_。3设是4阶方阵，且，则_。4设，且的秩等于2，则_。5. 元齐次线性方程组只有

9、零解的充分必要条件是。6三阶方阵的特征值为，则的行列式等于_。7线性方程组有解的充要条件是_。8设向量，则=_。9设为非空的维向量的集合，满足 ，称集合为向量空间。10解方程 ，则 。二、分数评卷人判断题（每题2分,共20分）（ ） 1行列式如果有两列元素对应成比例，则行列式等于零。（ ） 2若，则或。（ ） 3设的秩等于，则的阶子式全不等于零。（ ） 4如果齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式必等于零。（ ） 5个维向量必线性相关。（ ） 6、若向量组线性相关，则可由线性表示。 （ ） 7、向量组的最大无关组唯一。（ ） 8线性无关的向量组必是正交向量组。（ ） 9如果，则。（ ） 10齐次线性方程组的所有解能构成一个向量空间。