数学建模综合

1、 数学建模综合评价方法 建模参考资料 综合评价方法 一、关于评价指标 所谓指标就是用来评价系统的参量例如，在校学生规模、教学质量、师资结构、科研水平等，就可以作为评价高等院校综合水平的主要指标一般说来，任何个指标都反映和刻画事物的个侧面 从指标值的特征看，指标可以分为定性指标和定量指标定性指标是用定性的语言作为指标描述值，定量指标是用具体数据作为指标值例如，旅游景区质量等级有、AA3524AA和之分，则旅游景区质量等级是定性指标；A1而景区年旅客接待量、门票收入等就是定量指标 从指标值的变化对评价目的的影响来看，可以将指标分为以下四类： (1)极大型指标(又称为效益型指标)是指标值越大越好的指

2、标； (2)极小型指标(又称为成本型指标)是指标值越小越好的指标； (3)居中型指标是指标值既不是越大越好，也不是越小越好，而是适中为最好的指标； - 2 - (4) 区间型指标是指标值取在某个区间内为最好的指标 例如，在评价企业的经济效益时，利润作为指标，其值越大，经济效益就越好，这就是效益型指标；而管理费用作为指标，其值越小，经济效益就越好，所以管理费用是成本型指标再如建筑工程招标中，投标报价既不能太高又不能太低，其值的变化范围一般是5%)?10%,(?标的价，超过此范围的都将被淘汰，因此投标报价为区间型指标投标工期既不能太长又不能太短，就是居中型指标 在实际中，不论按什么方式对指标进行分

3、类，不同类型的指标可以通过相应的数学方法进行相互转换 1 评价指标的处理方法 一般情况下，在综合评价指标中，各指标值可能属于不同类型、不同单位或不同数量级，从而使得各指标之间存在着不可公度性，给综合评价带来了诸多不便为了尽可能地反映实际情况，消除由于各项指标间的这些差别带来的影响，避免出现不合理的评价结果，就需要对评价指标进行一定的预处理，包括对指标的- 3 - 一致化处理和无量纲化处理 1指标的一致化处理 所谓一致化处理就是将评价指标的类型进行统一一般来说，在评价指标体系中，可能会同时存在极大型指标、极小型指标、居中型指标和区间型指标，它们都具有不同的特点如产量、利润、成绩等极大型指标是希望

4、取值越大越好；而成本、费用、缺陷等极小型指标则是希望取值越小越好；对于室内温度、空气湿度等居中型指标是既不期望取值太大，也不期望取值太小，而是居中为好若指标体系中存在不同类型的指标，必须在综合评价之前将评价指标的类型做一致化处理例如，将各类指标都转化为极大型指标，或极小型指标一般的做法是将非极大型指标转化为极大型指标但是，在不同的指标权重确定方法和评价模型中，指标一致化处理也有差异 (1) 极小型指标化为极大型指标 对极小型指标，将其转化为极大型指标xj- 4 - 时，只需对指标取倒数：xj1 ，?xjx j 或做平移变换： ，?xMx?jjj，其中项指标值即n个评价对象第jx? Mmaxxi

5、jijjn?i1 最大者 居中型指标化为极大型指标(2) ，对居中型指标，令x mminx? M?maxxjijijjjni?1?n?i1? 取)m2(x?M?m?jjjj;?x?,m?jjm2M? jj? ?x?jmM?2(M?x)?jjjj.M,?x?jj2mM?jj 就可以将转化为极大型指标xj (3) 区间型指标化为极大型指标内是取值介于区间，对区间型指标a,bxxjjjj时为最好，指标值离该区间越远就越差令 ，取,M?b, c?maxa?mx? mminM ?maxxjjjjjijjjijn?i?1n?i1?a?x?jj,x?a;1?jjc?j? ? b;?1,? a?xx?jjjj

6、?bx?jj.?x?1b,jjc?j就可以将区间型指标转化为极大型指标 xj- 5 - 类似地，通过适当的数学变换，也可以将 极大型指标、居中型指标转化为极小型指标 指标的无量纲化处理2所谓无量纲化，也称为指标的规范化，是通过数学变换来消除原始指标的单位及其数值数量级影响的过程因此，就有指标的实际值般地，将指标无量纲化处理和评价值之分为指标评价值无量纲化过程就是称以后的值 将指标实际值转化为指标评价值的过程每个评价对象有，对于个评价对象S,S,S,Lnn21 个指标，其观测值分别为m )mL,;(xi?1,2,L,nj?1,2,ij (1) 标准样本变换法 令xx?jij*).? (1m?j?

7、i?n,1xijsjn1差方均本其中样均，样值本?xxijjn1i1，称为标准观测值?2(?jijii特点：样本均值为，方差为；区间不确01定，处理后各指标的最大值、最小值不相同；对于指标值恒定()的情况不适用；对于要求0s?j- 6 - 如熵值法、几何加(指标评价值的评价方法*0x?ij )不适用权平均法等 (2) 线性比例变换法 对于极大型指标，令x ij*).?m 1? (maxx?0, 1?i?n,?jxijijxmaxn1?i?ijn1?i 对极小型指标，令xmin ij*n1?i?).?j?m,1 (1?x?i?nijxij 或x ij*).m?j? 10,?i?n,?x?1 1

8、(maxx?ijijxmaxn?1?iijn?i1?且变该方法的优点是这些变换方式是线性的，化前后的属性值成比例但对任一指标来说， 变换后的和不一定同时出现*0?1xxijij；计算简便，并保时，特点：当*0,1?x0x?ijij 留了相对排序关系 向量归一化法(3) 对于极大型指标，令 ij*).?m?ix? (1?n,1jii? 对于极小型指标，令 ij*).?mj,1? (1?x1n?ii?- 7 - n该方优点：当时，即?*2*0,1x?0x?1?(x)ijijij1i?，且变换前后正逆方向不变；缺点法使*1?x0 ij变换后各指标的最大值和是它是非线性变换， 最小值不相同 (4) 极

9、差变换法 对于极大型指标，令xminx? ijij*n?i?1).?mix? (1?n, 1?jijx?minmaxxijijni?1n?i?1 对于极小型指标，令x?maxx ijij*n?i?1).?nm, 1?j (1x?i?ijxminmaxx?ijijn1?i?ni1?且，其优点为经过极差变换后，均有*1?0?xij该方法的缺最优指标值，最劣指标值*0?xx?1ijij点是变换前后的各指标值不成比例，对于指标 )的情况不适用值恒定(0s?j (5) 功效系数法 令xminx? ijij*n?i1).m?i?n,1j?x?c?d (1ijx?maxxminijijni?1?n1?i?其

10、中均为确定的常数表示“平移量”，表示cd,c指标实际基础值，表示“旋转量”，即表示“放d大”或“缩小”倍数，则 *dcx?,c?ij 通常取，即40?c60,?d- 8 - x?minx ijij*ni1?).?mn,1?j60?40 (1?ix?ijx?minxmaxijijn?1i?n?i1? 则实际基础值为，最大值为，即 *60,100xx?10060ijij特点：该方法可以看成更普遍意义下的一最，种极值处理法，取值范围确定，最小值为c 大值为dc? 定性指标的定量化3在综合评价工作中，有些评价指标是定性质量很好、即只给出定性地描述，例如：指标，性能一般、可靠性高、态度恶劣等对于这些指标

11、，在进行综合评价时，必须先通过适当的方式进行赋值，使其量化一般来说，对于指，对于指标最劣值可赋值为标最优值可赋值10.0对极大型和极小型定性指标常按以下方式0.0 赋值 极大型定性指标量化方法(1) 对于极大型定性指标而言，如果指标能够五个等级，分为很低、低、一般、高和很高等，和1.0,3.0,5.0,7.09.0则可以分别取量化值为所示介于两个等级之间的可2对应关系如图- 9 - 以取两个分值之间的适当数值作为量化值 2 极大型定性指标量化方法图 (2) 极小型定性指标量化方法对于极小型定性指标而言，如果指标能够分为很高、高、一般、低和很低等五个等级，9.0则可以分别取量化值为1.0,3.0

12、,5.0,7.0和所示介于两个等级之间的可3对应关系如图 以取两个分值之间的适当数值作为量化值 很一很 0 10.0 很一很 10.00 - 10 - 二、关于模糊综合评价方法 在客观世界中，存在着许多不确定性现象，这种不确定性有两大类：一类是随机性现象，即事物对象是明确的，由于人们对事物的因果律掌握不够，使得相应结果具有不可预知性，例如晴天、下雨、下雪，这是明确的，但出现- 11 - 规律不确定；另一类是模糊性现象，即某些事物或概念的边界不清楚，使得事物的差异之间 存在着中间过渡过程或过渡结果，例如年轻与年老、高与矮、美与丑等，这种不确定性现象不是人们的认识达不到客观实际所造成的，而是事物的

13、一种内在结构的不确定属性，称为模糊性现象 模糊数学就是用数学方法研究和处理具有“模糊性”现象的一个数学分支而模糊综合评价就是以模糊数学为基础，应用模糊关系合成的原理，将一些边界不清、不易定量的因素定量化，进行综合评价的一种方法 1隶属度函数的确定方法 隶属度的思想是模糊数学的基本思想，确定符合实际的隶属函数是应用模糊数学方法建立数学模型的关键，然而这是至今尚未完全解决的问题下面介绍几种常用的确定隶属函数的方法 模糊统计法 模糊统计法是利用概率统计思想确定隶属度函数的一种客观方法，是在模糊统计的基础上根据隶属度的客观存在性来确定的下面以确定青年人的隶属函数为例来介绍其主要过- 12 - 程中取一

14、固定以年龄为论域，在论域 XX 样本点27x?0上随机变动的普通集合， 设为论域*AAX对为弹性边界的模糊集，是青年人在上以*AAX，使得，或的变动具有制约作用其中A?x?xA00的隶属关系具有不确定性对然后进行模糊xA0，则的次数为统计试验，若次试验中覆盖mxnn0m的隶属频率由于当试验次数为称对于nxnA0n不断增大时，隶属频率趋于某一确定的常数， 该常数就是属于的隶属度，即xA0 m?n.lim)(x?0An?n，选择若干合适人中取比如在论域27x?X0选，请他们写出各自认为青年人最适宜最恰当，即将模糊概)的年龄区间(从多少岁到多少岁岁的年龄区间27念明确化若次试验中覆盖nm岁对于青年人

15、的隶属，则称27为的次数为mn频率，表4是抽样调查统计的结果由于27岁对于青年人的隶属频率稳定在078附近，的隶属度因此可得到属于模糊集27?xA0 ?0.78(27)?A - 13 - 岁对青年人的隶属频率表4 2129120901001103040501020607080试验次10153626885769523631143947隶属次隶属频0.780.790.760.750.780.780.600.780.760.760.760.700.77 点本个样当的取若干 在论域中适X，建，分别确定出其隶属度?)n1,2,L,(x)(i?x,xx,Lin12A的立适当坐标系，描点连线即可得到模糊集A

16、 隶属函数曲线分组，每组以中值为代表分别计将论域X算各组隶属频率，连续地描出图形使得到青年 5所示人的隶属函数曲线，见表5与图确定模糊集合隶属函数的模糊统计方法，重视实际资料中包含的信息，采用了统计分析手段，是一种应用确定性分析揭示不确定性规律的有效方法特别是对一些隶属规律不清楚 的模糊集合，也能较好地确定其隶属函数 129试验次分组计算隶属频分频隶属频分频隶属频0.7980.01625.526.5103213.514.50.7830.21026.527.510114.515.5270.76727.528.59915.516.5510.3950.62028.529.56716.517.5800

17、.5190.59729.530.517.518.51240.961770.20918.519.5125271.0030.531.50.20931.532.5271.0019.520.51290.2022620.521.51291.0032.533.50.20212921.522.51.002633.534.5 0.202 26 34.535.5 129 22.523.5 1.00 0.008 129 23.524.5 1.00 35.536.5 1 - 14 - 128 0.992 24.525.5 三分法 三分法也是利用概率统 计中思想以随机区间为工具来处理模糊性的的一种客观方法例如建立矮个

18、子，A 线图5年轻人的隶属函数曲1 中等个子，高个子三个模糊概念的隶属函AA32 数设 ，中等个子,高个子P?矮个子,3每(单位：m)论域为身高的集合，取(0,3)?XX的一次划分，每次划分确定次模糊试验确定X为矮个子与中等个子的分界一对数，其中?)(,为中等个子与高个子的分界点，点，从而将模?看作二维糊试验转化为如下随机试验：即将?),(的概率分、随机变量，进行抽样调查，求得?后，再分别导出布和的隶属函、)xx)(PP(AAA321? ，、数和相应的示意图如图6所示?)(x)x(x(AAA312 ?,t)dt)(x?(P?Ax1 ?,P(dtt)?x().?x()1(x(x)?AAAAx33

19、12 - 15 - 由概率分布确定模糊集隶属函数图6 和布正态分和通常分别服从2?),N(a11、，则和的隶属函数分别为 2?AAA)a,N(32122?ax?a?x ?2?)(x?1,?1,?)x?1?(?A?A31?21 ?a?xx?a?12.?)(x?A2?122t 其1x?.dt?(xe? 模糊分布法 根据实际情况，首先选定某些带参数的函数，来表示某种类型模糊概念的隶属函数（论域为实数域），然后再通过实验确定参数 在客观事物中，最常见的是以实数集作论域的情形若模糊集定义在实数域上，则模R糊集的隶属函数便称为模糊分布下面给出几种常用的模糊分布，在以后确定隶属函数时，就可以根据问题的性质，

20、选择适当(即符合实际- 16 - 根据测量数据求出分布中所含)模糊分布，情况 的参数，从而就可以确定出隶属函数了 为了选择适当的模糊分布，首先应根据实 际描述的对象给出选择的大致方向 、冷”、“偏小型模糊分布适合描述像“小等偏向小的一方的模糊淡”以及颜色的“青年 现象，其隶属函数的一般形式为;?a1, x? ?)(x?A.?af(x),x?、”、“热偏大型模糊分布适合描述像“大”等偏向大的一方的模糊”以及颜色的“浓“老年” 现象，其隶属函数的一般形式为;ax?0, ?)(x?A.ax),x?f(?、暖和“中“”、“中间型模糊分布适合描述像等处于中间状态的模糊现象，其隶属面中年”“ 数可以通过中间型模糊分布表示 )分布 矩形(或半矩形(a偏小(b偏大(c中间 0011010? 此类分布是用于确切概念矩形(或半矩形)分布相应的示意图如