线段的垂直平分线课件

1、,2.线段垂直平分线,做一做,作已知线段AB的垂直平分线MN，垂足为点C.在MN上任取一点P，连结PA、PB，量出PA、PB的长.,你有什么发现？,线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.,你能证明它吗？,能用文字语言表述吗？,A,B,如图，MNAB，垂足为点C，AC=CB，点P是直线MN上的任意一点.,已知：,PA=PB,求证：,证明：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。,证明: MNAB（已知） PCA=PCB(垂直的定义) 在PCA和PCB中, PCA PCB(SAS),PA=PB(全等三角形的对应边相等),A,C,M,N,P,当点P与点C重合时,上述证明有什么缺陷?,PCA与P

2、CB将不存在.,PA与PB还相等吗?,相等!,此时,PA=CA,PB=CB 已知AC=CB PA=PB,B,线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.,线段垂直平分线的性质定理:,几何语言表达： MN AB于C，且AC=BC,点P在MN上 PA=PB,探索：该定理的逆命题是否是一个真命题？,一个点在一条线段的垂直平分线上,这个点到这条线段的两端的距离相等,一个点到一条线段的两端的距离相等,这个点在这条线段的垂直平分线上,线段垂直平分线的性质定理的逆命题：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。,线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.,线段垂直平分线的性质定理:,已知:,如图,PA=PB

3、,求证:,点P在线段AB的垂直 平分线上.,过点P作PCAB，垂足为点C.,在Rt PCA和Rt PCB中 PA=PB， PC=PC Rt PCA Rt PCB(H.L.) ,PC是线段AB的垂直平分线. 即点P在线段AB的垂直 平分线上.,证明：,到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。,证明：,故PCA=PCB=90.,到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.,线段垂直平分线的性质定理的逆定理:,几何语言表达： PA=PB 点P在线段AB的垂直平分线上,线段的垂直平分线可以看作是,和线段两端距离相等的所有点的集合.,已知:如图ABC中,边AB、BC的垂直平分线相交于点P. 求证:点

4、P在边AC的垂直平分线上.,证明: 点P在线段AB的垂直平分线上(已知), PA=PB(线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点距离相等) 同理 PB=PC, PA=PB=PC.,证明：三角形三边的垂直平分线交于一点。,点P在AC的垂直平分线上 即三角形三边的垂直平分线交于一点,问题:如图,A、B、C三个村庄合建一所学校,要求校址P点距离三个村庄都相等.请你帮助确定校址.,A,B,C,点P为校址,1.如图,已知点A、B和直线l,在直线 l 上求作一点P,使PA=PB.,l,点P为所求作的点,练习,2.如图，BD AC，垂足为点E，AE=CE.求证：AB+CD=AD+BC.,证明： BD AC，垂

5、足为点E，AE=CE AB=CB，AD=CD.（线段垂直平分线的性质定理） AB+CD=AD+BC,3.如图，在ABC中，已知点D在BC上，且BD+AD=BC.求证：点D在AC的垂直平分线上。,证明： BD+AD=BC=BD+DC AD=DC 点D在AC的垂直平分线上 （线段垂直平分线的判定定理）,习题13.5 2.如图，AB=AC, A=50，DE垂直平分AB.求DBC的大小。,解： AB=AC ABC= C（等边对等角） 又 A=50 ABC= C=65 （三角形的内角和等于180 ） 再 DE垂直平分AB DA=DB（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等） ABD= A=50 DBC

6、= ABC ABD=15,3.已知:ABC中,C=90,A=30o,BD 平分ABC交AC于D. 求证:D点在AB的垂直平分线上.,证明:,30o, C=90o, A=30o(已知) ABC=60o(三角形内角和定理), A= ABD (等量代换), D点在AB的垂直平分线上.(和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.), AD=BD(等角对等边),填空： 1.已知:如图,AD是ABC的高,E为AD上一点, 且BE=CE,则ABC为 三角形.,1题图,等腰,填空： 1.已知:如图,AD是ABC的高,E为AD上一点, 且BE=CE,则ABC为 三角形. 2.已知: 等腰ABC,

7、AB=AC,AD为BC边上的高, E为AD上一点,则BE EC.(填、或=号),1题图,2题图,等腰,=,3.已知:如图,AB=AC,A=30o,AB的垂直平分线MN交AC于D,则 1= , 2= .,30o,1,2,75o,30o,60o,45o,填空： 4.已知:如图,在ABC中,DE是AC的垂直平分线, AE=3cm, ABD的周长为13cm,则ABC 的周长 为 cm,A,B,D,C,E,3cm,19,13cm,5.如图,CD、EF分别是AB、BC的垂直平分线.请你指出图中相等的线段有哪些?,AD =BD,CF = BF,AC = BC,CE = BE,1,2,3,CF =DF,即:B

8、F=CF=DF,1.已知:如图,线段CD垂直平分AB,AB平分CAD. 求证:ADBC.,证明:,线段CD垂直平分AB(已知), CA=CB(线段垂直平分线的 性质定理), 1= 3(等边对等角),又 AB平分CAD(已知) 1= 2(角平分线的定义), 2= 3(等量代换), AD BC(内错角相等,两直线平行), 1+ 2= 4(等边对等角),又 4= B+ 3(三角形的一个外角等于与它 不相邻的两个内角的和), 1+ 2= B+ 3, AD平分BAC(已知) 2= 3(角平分线的定义), 1= B 即 CAF= B.,证明: EF垂直平分AD(已知), AF=DF(线段垂直平分线的性质定理),2.已知:如图,AD平分BAC,EF