代数学(第8讲)

1、第八讲1.9同态（续）复习有关内容：1，。则有，其中是自然映射，而是单射。2，设是一幺半群，M上的一个同余（关系）是M中的一个等价关系，且满足，由。设是的一个同余关系，M关于的商集记为，即，其中。，我们定义。则是一个幺半群。称为关于同余关系的商幺半群。如果G是一个群，是G上的同余关系，则是一个群。称为关于同余关系的商群。3，设G是一个群，K是G的一个子群，如果，均有，则称K为G的一个正规（不变）子群。4，设G是一个群，是G上的同余关系，那么，商群中的恒等元是G的一个正规子群，并且。反之，设K是G的一个正规子群，在G上定义关系如下：。那么是G上的一个同余关系，并且。二、幺半群和群的同态基本定理

2、1、同态基本定理：设是幺半群M到M/的同态，那么是M/ 的子幺半群；如果M是群，那么是M/ 的子群。由确定的等价关系 是M的一个同余关系，且有唯一的到M/的同态，使得。这里是满同态，是单同态。当M和M/是群时，是M的一个正规子群，。Proof：（1）设是半群同态，那么，使得 。于是 。从而是的一个子幺半群。（2）如果M是一个群，由（1）知，是的一个子幺半群。，所以，从而，即，因此，在中可逆，并且。于是是的一个子群。（3）考虑M上的等价关系。设，则有，从而。于是，因此是M上的同余关系，由第0.3节知（P11），存在唯一的导出映射使得，这里是自然映射，它是一个满映射，而是单映射。下证与都是同态。

3、，我们有，并且。所以是一个满同态。，由于，所以，并且。 所以是一个单同态。（4）当和是群时，因为是群M上的同余关系，由Th1.6（P44）知,同余类是M的正规子群，而a所在的同余类为，显然，。2、设是群同态，显然是的子群。再令，不难验证，是的正规子群，称为的核，记为ker，即。不难验证是单射当且仅当。 设L是群G的正规子群，且，那么我们可得到因子群，而映射 是一个满同态。现在我们定义映射，则也是一个同态，称为由导出的同态。显然，现问由定义知，（因L是K的正规子群），因此是单射。 推论：设是满同态，那么是一个同构，且G的任意同态象都同构于某一个商群，K为G的某一正规子群。 1.10 同态象的子群

4、，两个同构定理1、Th1.8 设K是G的正规子群，H是G的子群且，那么（1）是的子群；（2）映射是G中包含K的子群集合到的子群集合的一个双射；（3）是G中的正规子群是的正规子群。在此情况下。Proof：（1）由于K是G的正规子群，所以K也是H的正规子群，因此与都是商群。又，于是是的子群。（2）先证映射是单射。设是G中包含K的两个子群且满足 ，即。下证：。，我们有使得，因此，从而（因）。这样。所以，。同理可证，因此。这说明映射是单射。下证是满射。设是的任一个子群。令，显然。，使得，所以 ，其中。于是，所以，从而。类似可证。于是H是G的一个子群。下证。 我们有，所以；反之， 我们有。由上述证明知。

5、于是。因此映射是满射，从而是双射。（3）如果H是G的正规子群，那么，我们有 （因为），所以是的正规子群。反之，如果是的正规子群，那么，从而存在，使得，于是，即。所以H是G的正规子群。在此情况下作映射与。考察的核，其中是满同态。所以。证毕。2，Th1.8/ （1）设是满同态，。那么映射是与的一一对应。（2）H在G中正规当且仅当在中正规。在此情况下：是到的同构。注：Th1.8/ （2）的第二个结论称为群的第一同构定理3、Th1.9（群的第二同构定理）：设H与K是G的子群，且K在G中正规，那么（1）是G中含K的子群；（2）是H中的正规子群，且映射是到的同构映射，即。Proof：（1）因为K在G中正规，则对于任意，均有。对于任意，我们有。所以，同时。又，所以是G的一个子群。显然，且K是群HK的正规子群。（2）设，作。那么。因为，所以。即。从而，又因为，所以。从而。证毕。3、习题课P63，7 Proof：（1）证明是G的一个变换群。（a）,；（b）,，则有，其中，。取，