22.2.1二次函数与一元二次方程的关系新版

1、22.2,二次函数与,一元二次方程,22.2.1,二次函数与一元二次方程的关系,思考：二次函数的一般式,y,ax,2,bx,c,（,a,0,）与一元二次方程,ax,bx,c,0,（,a,0,）有什么联系和区别？,2,联系,(1),等式一边都是,ax,bx,c,且,a,0,(2),方程,ax,2,bx,c=0,可以看成是函数,2,y= ax,bx,c,中,y=0,时得到的,.,区别,:,前者是函数,.,后者是方程,.,等式另一,边前者是,y,后者是,0,简单运用,如图，,y=x,2,-3x-4,的图象，回答问题,y=x,-3x-4,（,1,）二次函数的图象与,x,轴,的交点,A,、,B,的坐标分

2、别是,4,0,A,（,-1,0,），,B,（,）。,或,4,（,2,）当,x=,（,-1,）时，函数,2,y=x,-3x-4,的值为,0.,（,3,）求方程,x,2,-3x-4=0,的解。,x,1,=-1,x,2,=4,（,4,）方程,x,2,-3x-4=0,的解与二次函数,y=x,2,-3x-,4,的交点的横坐标之间有什么关系？,是同一个问题,2,观察下列图象，分别说出一元二次方程,2,2,2,x,+x-2=0,，,x,-6x+9=0,，,x,-x+1=0,的根的,情况。,（,1,）抛物线,y=x,2,+x-2,与,x,轴有两个公共交点，它们,-2,1,的横坐标是,。此时,函数值为,0,，所

3、以方程的,x,1,=-2,和,x,2,=1,根是,.,（,2,）抛物线,y=x,2,-6x+9,与,x,轴有一,个公共交点，它的横坐标,3,是,。此时函数值为,0,，所以,x,1,=x,2,=3,方程有两个相等的实数根,.,观察下列图象，分别说出一元二次方程,2,2,2,x,+x-2=0,，,x,-6x+9=0,，,x,-x+1=0,的根的,情况。,2,（,3,）抛物线,y=x,-,x+1,与,x,轴没有公共,交点，由此可见，,2,方程,x,-x+1=0,没有,实数根。,方程可以看成是对于二次函数,y= ax,2,bx,c,（,a0,），,当,y=0,时，函数即可化为一元二次方程,ax,2,b

4、x,c=0,，这,时方程的根就是抛物线与,x,轴交点的横坐标,y=ax,2,+bx+c,的,方程,ax,2,+bx+c=0,图象和,x,轴交点,的根,2,b,-4ac,函数的图象,y,方程有两个,有两个交点,不相等的实,数根,方程有两个,只有,一个,相等的实数,交点,根,方程没有实,没有交点,数根,b,2,-4ac 0,.,o,.,x,y,b,2,-4ac = 0,y,o,x,2,b,-4ac 0,o,x,例题精析,例,1,试判定下列各函数的图象与,x,轴有没有公共,交点，并说明理由,（,1,）,y=x,2,-x (2)y=-x,2,+6x-9 (3)y=3x,2,+6x+11,解：,1,）,

5、=b,2,-4ac=1,2,-4,1,0=1,0,，函数的,（,图象与,x,轴有两个交点；,（,2,）,b,2,-4ac=6,2,-4,(-1),(-9,）,=0,，函,数的图象与,x,轴有一个交点；,2,2,（,3,）,=b,-4ac=6,-4,3,11=-96,0,，函,数的图象与,x,轴没有交点。,y,?,mx,?,x,?,1,。,例,2,、,已知二次函数,（,1,）当,m,为何值时，函数的图象与,x,轴有两个交点？,（,2,）若函数的图象与,x,轴有交点，求,m,的取值范围。,（,3,）当函数的图象与,x,轴相切时，求,m,的取值范围,。,解：,1,）由题意可知,:,（,2,1,=b,

6、2,-4ac=1-4m,（,-1,）,=1+4m,0,，,m,-,4,（,2,）,由题意可知,:,=b,2,-4ac=1-4m,（,-1,）,=1+4m0,，,1,m,?,-,4,（,3,）（,1,）由题意可知,:,1,2,=b,-4ac=1-4m,（,-1,）,=1+4m=0,，,m,?,-,4,例,3,已知二次函数，,y,?,?,x,?,(,m,?,2,),x,?,m,?,1,（,1,）试说明：不论,m,取任何实数，这个二次函,数的图象必与,x,轴有两个交点；,（,2,）,m,为何值时，这两个交点都在原点的左侧？,（,3,）,m,为何值时，这个二次函数的图象的对称,轴是,y,轴？,分析：,

7、1,）二次函数的图象与,x,轴有两个交点，说明,（,相应方程有两个不相等的实数根。即,0,（,2,）两个交点都在原点的左侧，说明相应方程的,两个根都为负数，即,x,1,+x,2,0,，,x,1,x,2,=,0,（,3,）二次函数图象的对称轴是,y,轴，根据二次函数的,对称性，说明,x,1,+x,2,=0,2,解：,（,1,）在方程,-x,2,+(m-2)x+m+1=0,中,a= -1 ,b=m-2 ,c=m+1,=b,2,-4ac=,（,m-2),2,-4,(-1),(m+1),=m,2,-4m+4+4m+4,=m,2,+8,2,2,又,m,0,m,+8,0,2,所以,不论,m,取任何实数，方

8、程,-x,+(m-,2)x+m+1=0,有两个不相等的实数根，即二次,2,函数,y,?,?,x,?,(,m,?,2,),x,?,m,?,1,的,图象必与,x,轴有两个交点。,（,2,）由题意得：,x,1,+x,2,=m-2,0,，,x,1,x,2,= -(m+1),0,即：,m-2,0,-(m+1),0,解得：,m,-1,所以当,m,-1,时，这两个交点都在原点的左侧。,（,3,）由题意得：,x,1,+x,2,=m-2=0,即：,m-2=0,m=2,所以当,m=2,时，这个二次函数的图象的对称,轴是,y,轴,.,巩固练习,y,?,x,?,2,x,?,3,与,x,轴交点的个数,3,、抛物线,y,

9、0,是,。,2,y,?,ax,?,bx,?,c,的图象,4,、已知函数,如图（,7,）所示，那么关于的方,2,程,ax,?,bx,?,c,?,2,?,0,的根的情况,0,x,B,）。,是（,?,3,A,无实数根,B,有两个相等实,数根,C,有两个异号实数根,D,有两个同号不等实数根,图（,7,）,y,?,?,x,?,2,kx,?,2,与,x,轴交点的个数,1,、抛物线,为,。,2,2,-1,x,。,4,2,、不等式,x,?,3,x,?,4,?,0,的解集为,2,2,5,、根据下表中的二次函数,y,?,ax,?,bx,?,c,的自变量,x,与函数,y,的对应值，可判断该二次函,数的图象与,x,轴（,D,）,2,x,y,?,1,0,7,?,4,1,?,2,2,7,?,4,?,1,A,只有一个交点,B,有两个交点，且它们均在轴同侧,C,有两个交点，且它们分别在轴两侧,D,无交点,6,、,已知二次函数,y,?,ax,?,bx,