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文档简介
1、3.1不等式与不等关系(2) -不等式的性质,伟人之所以伟大,是因为他与别人共处逆境时,别人失去了信心,他却下决心实现自己的目标。,主备人:冯宗明 王廷伟 审核人:牟必继,注:两个课时,复习引入,2. 比较两实数大小的理论依据是什么?,3. “作差法”比较两实数的大小的一般步骤?,如果ab ab0; 如果ab ab0; 如果ab ab0,1什么叫不等式?,4. “作商法”比较两实数的大小的一般步骤和根据是什么?,性质1:如果ab,那么bb.,性质1表明,把不等式的左边和右边交换位置,所得不等式与原不等式异向,我们把这种性质称为不等式的对称性。,常用不等式的性质,(对称性),性质2:如果ab,b
2、c,那么ac.,证明:根据两个正数之和仍为正数,得,(ab)+(bc)0 ac0 ac.,这个性质也可以表示为cb,ba,则ca. 这个性质是不等式的传递性。,(传递性),性质3:如果ab,则a+cb+c.,证明:因为ab,所以ab0, 因此(a+c)(b+c)=a+cbc=ab0,,即 a+cb+c.,性质3表明,不等式的两边都加上同一个实数,所得的不等式与原不等式同向.,(可加性),a+bc a+b+(b)c+(b) acb.,由性质3可以得出,推论1:不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后,从不等式的一边移到另一边。 (移项法则),推论2:如果ab,cd,则a+cb+d.,证
3、明:因为ab,所以a+cb+c, 又因为cd,所以b+cb+d,,根据不等式的传递性得 a+cb+d.,几个同向不等式的两边分别相加,所得的不等式与原不等式同向。,同向不等式可相加性,性质4:,推论1:如果ab0,cd0,则acbd.,性质5:如果ab,c0,则acbc;如果ab,c0,则acbc.,证明:因为ab,c0,所以acbc, 又因为cd,b0,所以bcbd,,根据不等式的传递性得 acbd。,几个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘,所得的不等式与原不等式同向。,(可乘性),性质6:,推论2:如果ab0,则anbn,(nN+,n1).,证明:因为,个,,根据性质4的推论1,得an
4、bn.,(可乘方性),性质7:,推论3:如果ab0,则, (nN+,n1).,证明:用反证法,假定 ,即 或 ,,根据性质4的推论2和根式性质,得ab或a=b,,这都与ab矛盾,因此,(可开方性),性质8:,不等式的性质,对称性,ab,传递性,ab,bc,可加性,ab,移项法则,a+cb,同向可加,ab,cd,可乘性,ab,同向正可乘,ab0,cd0,可乘方,ab0,可开方,ab0,(nR+),(nN),例1:应用不等式的性质,证明下列不等式:,(1)已知ab,ab0,求证: ;,证明:,(1)因为ab0,所以,又因为ab,所以,即,因此,练习.若 ,则 的取值范围是_, 的取值是_.,(2)若3ab1,2c1, 求(ab)c2的取值范围。,因为4ab0,1c24, 所以16(ab)c20,例2(1)如果30x36,2y6,求x2y及 的取值范围。,18x2y32,,练习已知4ab1,14ab5,求9ab的取值范围。,解:设9ab=m(ab)+n(4ab) =(m+4n)a(m+n)b,,令m+4n=9,(m+n)=1,解得,,所以9ab= (ab)+ (4ab),由4ab1,得,由14ab5,得,以上两式
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