矩阵分析试卷

1、矩阵分析试题(A卷)一、 计算题 (每题10分,共40分) 1.设函数矩阵试求 ; .2.设矩阵试求 .3.将下面矩阵作QR分解:.4.求下面矩阵的若当(Jordan)标准形。二、证明题（每题10分，共30分）1.设是三维V线性空间V的一组基, 试求由向量.生成的子空间的一个基.2.设V1 , V2 是内积空间V的两个子空间, 证明: .3.设T是线性空间V的线性变换, , 且 均为不为零的向量, 而, 证明 线性无关.三、简单论述题(每题15分, 共30分) 1.试述: 将一个矩阵简化(化为对角矩阵或若当矩阵)的方法有几种? 那种方法一定可以将一个矩阵化为对角矩阵? 那些方法一定可以将一个什

2、么样的矩阵化为对角矩阵? 此外,将一个矩阵简化的数学理论基础是什么? 实现这种矩阵简化的具体方式是怎么作的?2.实空间的角度是如何引入的? 复空间中的角度又是怎样定义的? 试给出主要的过程.矩阵分析试题(B卷)一、 计算题 (每题10分,共40分)1.设函数矩阵试求 .2.设矩阵试求 .3.将下面矩阵作QR分解:.4.求下面矩阵的若当(Jordan)标准形.二、证明题（每题10分，共30分）1.设是三维V线性空间V的一组基, 试求由向量.生成的子空间的一个基.2.设V1 , V2 是内积空间V的两个子空间, 证明: .3.设T是线性空间V的线性变换, , 且 均为不为零的向量, 而, 证明 线

3、性无关.三、简单论述题(每题15分, 共30分) 1.试述: 将一个矩阵简化(化为对角矩阵或若当矩阵)的方法有几种? 那种方法一定可以将一个矩阵化为对角矩阵? 那些方法一定可以将一个什么样的矩阵化为对角矩阵? 此外,将一个矩阵简化的数学理论基础是什么? 实现这种矩阵简化的具体方式是怎么作的?2.实空间的角度是如何引入的? 复空间中的角度又是怎样定义的? 给出主要的过程.硕士研究生矩阵分析试题(A卷)一、 计算题 (每题10分,共40分) 1. 设函数矩阵试求 ; .2. 设矩阵试求 .3. 将下面矩阵作QR分解:.4. 求下面矩阵的若当(Jordan)标准形。二、证明题（每题10分，共30分）

4、1. 设是三维V线性空间V的一组基, 试求由向量.生成的子空间的一个基.2. 设T是复内积空间V的线性变换，是它的一组标准正交基，证明也是它的一组标准正交基3. 设T是线性空间V的线性变换, , 且 均为不为零的向量, 而, 证明 线性无关.三、简单论述题(每题15分, 共30分) 1. 试述: 一个矩阵可以化成的最一般的标准型是什么样子的? 什么时候一定可以化成对角型? 都有什么方法? 支持其所用的数学基础或者工具是什么? 2. 矩阵的广义逆和过去我们熟知的逆之间有什么联系和差别? 能给出造成这些差别的原因吗? 给出一个矩阵的广义逆应用的是例(最好是与本专业相关的).硕士研究生矩阵分析试题(

5、B卷)一、 计算题 (每题10分,共40分) 1.设函数矩阵试求 .2.设矩阵试求 .3.将下面矩阵作QR分解及谱分解:.4.求下面矩阵的若当(Jordan)标准形.二、证明题（每题10分，共30分）1.设是三维V线性空间V的一组基, 试求由向量.生成的子空间的一个基.2.设T是复内积空间V的线性变换，写出该空间上的极化恒等式,并在已知( T(a),T(a) ) = (a, a)的前提下, 证明: ( T(a),T(b) ) = (a, b)3. 等价的l - 阵有相同的各阶行列式因子三、简单论述题( 共30分) 1.试述: 实现实系数和复系数多项式因式分解会遇到那些逻辑上的基本问题? 这些问

6、题又是怎么样被解决的(给出主要的步骤)?（10分）。2.矩阵的广义逆都讲述了一些什么内容? 各自有什么特点? 矩阵的广义逆和过去我们熟知的矩阵的逆之间有什么联系和差别? 试分析造成这些差别的原因. 给出一个与本专业相关的矩阵的广义逆的应用实例(20分).硕士研究生矩阵分析试题(A卷)一、 计算题 (每题8分,共40分) 1.设函数矩阵试求 ; .2.设矩阵试求 .3.将下面矩阵作奇异值分解和QR分解:.4.求下面矩阵的若当(Jordan)标准形。二、证明题（每题10分，共30分）1.设是三维V线性空间V的一组基, 试求由向量.生成的子空间的一个基.2.设T是复内积空间V的线性变换，写出该空间上

7、的极化恒等式,并在已知( T(a),T(a) ) = (a, a)的前提下, 证明: ( T(a),T(b) ) = (a, b)3.等价的l - 阵有相同的各阶不变因子.三、简单论述题(共30分) 1.试述: 是否有同时把两个以上的矩阵同时化成简单矩阵的方法? 对矩阵的要求是什么?这些条件的作用是什么?化简具体的步骤有那些(10分)? 2.矩阵的广义逆部分都讲述了一些什么内容? 各自有什么特点? 矩阵的广义逆和过去我们熟知的矩阵的逆之间有什么联系和差别? 试分析造成这些差别的原因. 给出一个与本专业相关的矩阵的广义逆的应用实例(20分).硕士研究生矩阵分析试题(B卷)一、 计算题 (每题10

8、分,共40分) 1.设函数矩阵试求 .2.设矩阵试求 .3.将下面矩阵作QR分解及谱分解:.4.求下面矩阵的若当(Jordan)标准形.三、简单论述题( 共30分) 1.试述: 实现实系数和复系数多项式因式分解会遇到那些逻辑上的基本问题? 这些问题又是怎么样被解决的(给出主要的步骤)?（10分）。2.矩阵的广义逆都讲述了一些什么内容? 各自有什么特点? 矩阵的广义逆和过去我们熟知的矩阵的逆之间有什么联系和差别? 试分析造成这些差别的原因. 给出一个与本专业相关的矩阵的广义逆的应用实例(20分).硕士研究生矩阵分析试题(A卷)一、 计算题 (每题8分,共40分) 5. 设函数矩阵试求 ; .6.

9、 设矩阵试求 .7. (16分)将下面矩阵作满秩分解和QR分解:.8. 把l-矩阵化为标准形。二、证明题（每题10分，共30分）2设线性空间为连续函数空间，证明：若对任意的，中的连续函数：定义 构成一个内积。在上面的内积定义下，证明：构成了，的一组正交基。三、简单论述题(共30分) 3. 试述: 复内积空间的定义与实内积空间的定义有什么异同，为什么要做这些局部的调整？请对调整的理由进行解释，并说明这两个空间角度的引入思路(1分)? 4. 矩阵的广义逆部分都讲述了一些什么内容? 试自己选一种书中矩阵的广义逆，用其与过去我们熟知的矩阵的逆之间进行比较，找出其共同点有什么联系和差别。并分析一下这些差

10、别可能导致的结果。 给出一个与本专业与你讨论的矩阵的广义逆的应用实例(分).2010硕士研究生矩阵分析试题(B卷)一、 计算题 (每题8分,共40分) 9. 设函数矩阵试求 ; .10. 设矩阵试求 .11. (16分)将下面矩阵作奇异值分解及满秩分解:.12. 求下面矩阵的若当(Jordan)标准形。2011硕士研究生矩阵分析试题(A卷)一、 计算题 (每题10分,共40分) 13. 设函数矩阵 试求 ; .14. 设矩阵试求 .15. 求下面矩阵的谱分解:.16. 求下面矩阵的若当(Jordan)标准形。二、证明题（每题10分，共30分）4. 设V1 , V2 是内积空间V的两个子空间,

11、证明: .5. 设T是复内积空间V的线性变换，是它的一组标准正交基，证明也是它的一组标准正交基三、简单论述题30分) 5. (10分) 简述: 多项式进行代数分解所需要考虑的问题和具体的解决方法。6. （20分）实内积空间的角度是如何引入的? 复空间中的角度又是怎样定义的? 试给出主要的过程.2011硕士研究生矩阵分析试题(B卷)一、 计算题 (每题10分,共40分) 17. 设函数矩阵试求;.18. 设矩阵试求 .19. 求下面矩阵的奇异值分解:20. 求下面矩阵的若当(Jordan)标准形。二、证明题（每题10分，共30分）6. 设V1 , V2 是线性空间V的两个子空间, 证明: 是V的

12、子空间设线性空间为连续函数空间，若对任意的，中的连续函数定义验证在此规定下，构成一个内积空间。三、简单论述题(30分) 1. （10分）简述：是否存在同时把两个矩阵同时简化的方法？在可以简化的前提下，实现的主要手段是什么？2. （20分）试述: 矩阵简化都有哪些方法？他们适用的范围如何？有什么特点和不方便使用的地方？海大2012硕士研究生矩阵分析试题(A卷)一、 计算题 (每题8分,共40分) 21. 设函数矩阵试求 ;.22. 设矩阵试求 .23. 求下面矩阵的正交分解 24. 求下面矩阵的若当(Jordan)标准形。25. 设是三维V线性空间V的一组基, 试求由向量.26. 生成的子空间的

13、一个基. 二、证明题（每题10分，共30分）7. 证明：等价的l - 阵有相同的各阶不变因子.8. 设V1 , V2 是内积空间V的两个子空间, 证明: 9. 证明：若两两正交，则三、简单论述题( 30分) 7. (10分) 简述: 求一个特征多项式的方法都有那些? 都会遇到那些问题? 如何处理?(20分) 建立实内积空间主要想解决什么问题? 是通过怎么样的方式解决的? 其中引入正交变换的目的又是什么?海大2012硕士研究生矩阵分析试题(B卷)一、 计算题 (每题8分,共40分) 27. 设函数矩阵试求 ;.28. 设矩阵试求 .29. 求下面矩阵的正交分解 30. 求下面矩阵的若当(Jord

14、an)标准形。 二、证明题（每题10分，共30分）10. 证明：等价的l - 阵有相同的各阶初等因子.11. 设V1 , V2 是内积空间V的两个子空间, 证明: 12. 证明：若两两正交，则 三、简单论述题（30分) 8. (10分) 简述: 线性变换在建立线性空间中的主要作用是什么?9. (20分) 利用相似的方法最终可以将一个方阵化简成为一个怎样的标准形式? 试述得到这样的结论, 是如何实现的.海大2012硕士研究生矩阵分析试题(C卷)一、 计算题 (每题8分,共40分) 31. 求下面矩阵的正交分解 5 设是三维V线性空间V的一组基, 试求由向量.生成的子空间的一个基.二、证明题（每题

15、10分，共30分）13. 证明：若A, B 都是n 阶正定阵，则A+B， A-1 + B-1 也是正定阵.14. 设V1 , V2 是内积空间V的两个子空间, 证明: 15. 证明：若为内积空间V的一组正交基，则，在这组基下的坐标为.三、简单论述题30分) 10. (10分) 简述:建立线性空间的主要作用是什么?11. (20分) 试比较用等价、相似、合同三种方法把一个矩阵化成标准型的异同。（主要从使用范围、标准型的差别、方法的可操作性这几个方面）。2013学年 (A卷)一、 计算题 (每题8分,共40分) 32. 设函数矩阵, 试求 ;.33. 设矩阵，试求 .34. 求下面矩阵的正交分解。

16、 4求矩阵的若当(Jordan)标准形。 5 求R3中向量在基下的坐标。二、证明题（每题10分，共30分）16. 证明：若V是一个线性空间，T是V到V上的线性变换，则一定存在T-不变子空间（换句话说，先给出一个V的子空间，并证明它是T-不变子空间）。17. 内积空间中不同基的度量矩阵是合同的。18. 证明：在实连续函数构成的线性空间上定义内积： 成为内积空间。三、简单论述题30分) 12. (10分) 矩阵理论课程学习随笔。2. (20分) 在复线性空间上建立内积空间与在实线性空间上建立内积空间有何异同？解决这些问题。2013学年 (B卷)一、 计算题 (每题8分,共40分) 35. 设函数矩

17、阵试求 .36. 设矩阵，试求 .37. 求下面矩阵的奇异值分解。 4求矩阵的若当(Jordan)标准形。5 求R3中向量在基下的坐标。二、证明题（每题10分，共30分）19. 证明：若V是一个线性空间，T是V到V上的线性变换，给出一个V的子空间，并证明它是T-不变子空间。20. 内积空间中不同基的度量矩阵是合同的。三、简单论述题30分) 13. (10分) 矩阵理论课程学习随笔。14. (20分) 用相似的方法把一个矩阵化成标准型，需要解决哪些问题？概述书中是如何解决这些问题的。一、 计算题 (每题10分,共40分) 38. 设矩阵，试求 .39. 求下面矩阵的正交分解。 3求矩阵的若当(Jordan)标准形。 4 求R3中向量在基下的坐标。二