第二章_应力分析

1、第二章 应力分析 研究弹性力学问题要从三方面规律（条件）：平衡、几何、物理来建立，本章就是研究第一个规律：平衡规律。第1节 内力和外力1.1 外力：物体承受外因而导致变形，外因可以是热力作用、化学力作用、电磁力作用和机械力作用；另一方面从量纲分类，外力主要为体积力和表面积力。我们讨论的外力是属于机械力中的体力和面力的范围。1 外部体力：作用在物体单位体积（质量）上的力如重力（惯性力）。量纲：力/（长度）3。求V中任意点P上承受体力采用极限方法：PX1X3X2DSDFPX1X3X2DVDF 其中 为沿三个坐标轴分量。2. 外部面力：作用在物体外部表面力，如静水压力、土压力等。量纲：力/（长度）2

2、。求物体表面上任意一点P上受面力仍采用极限方法： 1.2 内力： 物体内部抵抗外力而产生相互作用的力。在材力和结力中以N、M、Q形式出现，但在弹力中以应力来描述。第2节 应力和应力张量2.1 应力当变形体受外力作用时，要发生变形，同时引起物体内部各点之间相互作用力（抵抗力）内力，为了描述物体内任意点P的内力可采取如下方法：DFnDSPV+过P点设一个截面S将V分为两部分：（作用力与反作用力）F+F-n+n-V+V-S+S- 一部分：、外法线 、合力 ； 另一部分：、外法线 、合力 ； 截面上的合力： 或 截面上P点上的内力情况，在V+上S面围绕P点取 DS，DS上合力为。 应力矢量（作用在V+

3、）： 应力矢量与P点位置有关，与截面方向（ 方向）有关。（应力矢量具有一个方向性）。量纲为力/（长度）2。 取V- ：，作用在V-上。 当P点的截面与坐标面平行时， ，。定理2.1：过P点以为单位外法线截面上的应力矢量，是作用在通过P点坐标平面的应力矢量、的线性函数、其系数是的方向余弦，、。即 x2x3x1t(n)-t(3)-t(2)-t(1)fnPCBA 而 代入上式，并忽略高阶微量 或 展开为 或 2.1 应力张量 每个坐标面上的应力矢量又可以沿三个坐标面分解三个分量，比如坐标面法线为x1 t(1)x1(x)x3(z)x2(y)s11s12s13同理，得沿三个坐标面的应力矢量由九个元素(分

4、量)表示,这九个分量组成一个二阶张量： （1）这九个分量的两个下标：第一个表示应力矢量作用面的法线方向，第二个下标表示应力矢量的分量的方向。 应力分量的正负：在正面上应力分量指向坐标正向为正，反之为负；在负面上的应力分量指向坐标负向为正，反之为负。矩阵中，对角线元素代表以i轴为法线的平面上的正应力。非对角线元素代表以i轴为法线的平面上沿j轴方向的剪应力。矩阵（1）中，由于，；即，所以矩阵中9个应力分量中独立的分量只有6个.3.2.主平面、主轴、主应力3.2.1、一点的应力状态由于 ， 即，由 由 （3.1）由 由上式可看出：当一点处的应力张量已知时，可确定出过该点任意平面上的应力沿三个坐标州的

5、分量，由此可进一步求出该平面上的正应力和剪应力。其中，正应力为矢量t在法线n上的投影，即二者的点积。 3.2.2、坐标变换 当物体受外力作用下，其内力和变形也是一定的，但这些物理量随着选取的直角坐标系不同他们的分量是不一样的，但不同坐标下它们（分量）之间转换应遵循一定的规律。例：当坐标系Oxyz转换为另一坐标系Oxyz，新旧坐标系之间的变换关系如表3.1 所示，其中，为轴在旧坐标系中轴方向的投影，即 =cos() 为轴与轴之间的夹角。求：新旧坐标系下应力分量和之 间的关系解：（1） 令轴为法线的坐标平面上的应力分别为、， 如表所示，轴在旧坐标系中的方向余弦为。 根据公式（3.1）知，此坐标平面

6、上的总应力在三个旧坐标轴上的分量应为， 将与轴作内积得到这个坐标平面上的正应力 = = 如表所示，轴在旧坐标系中的方向余弦为。 将与轴作内积得到这个坐标平面上的剪应力 = 如表所示，轴在旧坐标系中的方向余弦为。 将与轴作内积得到这个坐标平面上的剪应力 = 综上所述，可得： （a） 同理可得：以轴为法线的坐标平面上的应力、以及以轴为法线的坐标平面上的应力、。且， (b) (c)将(a)、(b)、(c)三式写成通式，则得： 新旧坐标系应力分量之间的关系。（2） 讨论：平面应力问题（仅、不为零）。此种情况下的新旧坐标系之间的转换关系如表3.2所示。 表3.2根据上面的通式，可得：3.2.3.主平面、

7、主轴、主应力、应力不变量一、 主值的概念设A为一二阶张量，A=aij（i=1,2,3;j=1,2,3）,与空间中任一矢量n作内积，得另一矢量m，即： An=m （2.18）若矢量m与矢量n共线，即得: m=ln （2.19）式中，称矢量n为二阶张量A的主轴，l为二阶张量A的主值（为一具体的数值）。由公式（2.18）和（2.19）可得： An=ln （2.20 ）上式用下标记号法可表示为： aijlj=lli （2.21 ）二、主平面、主轴、主应力由于应力（应变）张量为对称的2阶张量，所以一定存在3个主轴和相应的主值。现设某个主轴为n，方向余弦为li(i=1,2,3),相应的主值为l，则存在有下

8、式 sijlj=lli (3.7)设以n为法线方向的平面上的应力在三个坐标轴上的投影为pi, 则得： pi=sijlj 将公式（3.8）代入（3.7）得， pi=lli (3.8)此式表明，此平面上的应力方向与法线相同，即此平面上只有正应力，没有剪应力，此正应力称为主应力，其值为： s=sn= pili=llili=l （3.9）讨论：1、主应力即为与主轴n相应的主值l，对于一个对称的2阶张量，存在三个主值和相应的主轴。 以主轴为法线的平面称为主平面。 2、由于三个主轴为相互垂直关系，若以此三主轴为坐标轴建立主坐标系，则主坐标系中的应力分量应为： （3.10）从上式可看出：主坐标系中的应力张量

9、具有最简单的形式，它的矩阵为对角矩阵。三、应力不变量 对于对称的二阶张量有三个不变量，分别表示如下： （3.11）讨论：（1）当主轴为坐标轴时，三个不变量分别为： ， ， （3.12）（2） 主应力方程根据公式（3.7）和（3.9）可得： sijlj=sli (3.14)展开上式，得： （3.15）上式可转变为： （3.16）上式若有非零解，系数行列式值必为零，即： 将上述行列式展开，即得主应力方程 （3.16）求解主应力方程，可求得主应力、的大小。将三个主应力分别代回式（3.15）式，即可求得相应的主轴，并可证明三主轴是相互正交的。 几点说明：（1）（因为由线性代数知实对称阵的特征值为实数）三个主应力均为实数，且时，；（2）当有一个重根时，如，则与垂直平面内任何方向均为主应力，为；（3） 当，任意方向均为主方向，称为球形应力或静水应力状态。3.3.应力张量的分解和应力偏张量3.3.1.应力张量的分解如图，此平面上的应力p在三个坐标轴上的分量为pi（i=1,2,3），根据公式（3.1）得： 展开得到：将法线方向n取为单位长度，则将式（3.25）代入式（3.26），得3.3.2.讨论：（1）：如果以p1，p2，p3为坐标轴建立直角坐标系，则在此坐标系中，上式为一椭球面方程，主半轴分别为s1，s2，s3，称为应力椭球面