第五节泰勒公式与泰勒级数讲稿第六节函数的间接展开(泰勒级数)2013-3-26(修改)

1、例（1）（3） (90.5) 求级数的收敛域.解 令，级数,由知,因此当即时原级数收敛.当时,原级数为收敛,当时,原级数为收敛.所以原级数收敛域为.（2）(92.3) 级数的收敛域为.答 令 对于,由,于是收敛半径,则内收敛.当和时,原级数都为发散,所以收敛域为.例4求幂级数的收敛半径与收敛域.（中心不在原点的级数求收敛域时先作变量替换）解 令,幂级数变形为,， 当时原级数为收敛，当时，发散，故 原级数收敛半径，收敛域为.注意：一般幂级数求收敛半径时作变量代换. 7.5 泰勒公式与泰勒级数教学目的：掌握泰勒公式与TaylorTh，了解函数的Taylor级数与Taylor展式的关系.重点：泰勒公

2、式与泰勒定理成立的条件,理解泰勒公式的推导方法.难点: 理解泰勒公式的推导方法.教学方法：启发式讲授与指导练习相结合教学过程：引例：近似表达函数的多项式的特性无论是函数的性态还是近似计算，多项式函数总是比较简单.为此可以考虑在一个局部范围内用多项式来近似表示一个复杂函数引例：当很小时，设，则.用表示 在处值更为接近.猜想将换成则在处两函数有直到n阶相同的导数，其在处接近的程度更高，即.为用多项式表示更复杂的函数：设有函数在的某一邻域内有直到阶的导数，令，再令 ,若 ,.（表示的函数值相等）则 （），于是.证明：因, , , ,那么 ,所以 , .一、泰勒（）公式 在讲第三章微分的应用时我们导出

3、了近似公式（ 当很小时）从几何上看，这是在点附近用切线的一段近似地代替曲线弧.在函数改变量的表达式中略去了一个关于（）的高阶无穷小量（时）.但公式在实际计算中的精度不高，其误差为，可以推出.如果需要精度更高些，可将（）的高阶无穷小分离成两部分（时）.保留与同阶的无穷小量，略去的高阶无穷小量，此时有，以此类推，为达到一定精确度的要求，可考虑用次多项式近似表示，当很小时，将多项式写成以（）的方幂展开的形式，其中是待定系数.我们知道具有任意阶的连续导数，将的多项式两边求一阶到阶导数，并令可得于是可以写成 若函数在的某一邻域内一阶到阶的导数都存在，可以做出一个次多项式 不一定等于，但它可以近似表示，它

4、的近似程度可以由误差来确定.设，如果能确定的值，则就确定了.【定理7.10】（泰勒公式）设在含有的区间内有直到阶的连续导数,则，可以按（）的方幂展开为.此式称为按的幂展开阶泰勒公式.其中 称为拉格朗日型余项, 介于与之间.证明：不妨设.令,由条件知：(连续次使用柯西中值定理可以证明) ,显然 , .那么 ,其中 ，所以, 介于与之间.另证：因为在含有的区间内有直到阶的连续导数,所以对于，可将写成 为求出的值，引进辅助函数 显然 ，在区间上连续（设），在区间内可导，由罗尔中值定理可知，至少存在一点，使得，因为 化简整理得 所以 ，而 由 ，于是，介于与之间.在公式中当时，公式可化为麦克劳林公式其

5、中 或令，则 例1 求的阶麦克劳林公式.解 因,其中 ，那么,（）.例2 求的麦克劳林公式.解 因, .有 ,，那么,(或都可以)其中：,.（或，）特别地：时，, ； 时，, ； 时，, .例3 按的乘幂展开多项式.解 ,所以 .二、泰勒级数1.通过前面的学习我们知道，级数在其收敛域内一定有和函数. 由泰勒公式的学习知道，我们可以用多项式近似表示函数.现在我们想知道函数是否一定可以展开为幂级数，需不需要附加条件？2.问题：已知函数有 .问：(1) 对于一般的函数是否也有？(2) 如果能展开,项的系数如何确定?(3) 展开式是否唯一?(4) 在什么条件下函数才能展开成幂级数?3.【定理】（Tay

6、lor Th） 设在内具有任意阶导数,且，则在内有.其中为的拉格朗日型余项.证明 由于 . 所以等式两边取极限 , .4函数在点有泰勒展式在有任意阶导数且.注意：1）函数在点处可以展开为Taylor级数时，其展式是唯一的. 因为泰勒系数是唯一的. 2）为 在点的Taylor级数，等式在时成立.5泰勒级数与麦克劳林级数 设在点具有任意阶导数，则称(1) 为在点的泰勒级数, 记作 .(2) 称为的麦克劳林级数, 记作 . 注意问题: 在点具有任意阶导数，那么级数在收敛区间内是否收敛于？例: 函数在点处任意可导,且,于是,显然, .结论：当级数收敛于时，即时有泰勒展式.应用举例：例4 求函数在点处的

7、泰勒级数:（1）， （2）提示： 小结：1.函数在点的泰勒公式为其中余项为, 介于与之间.公式成立的条件是:在点的邻域内有直到阶的导数.2. 函数在点的泰勒展式为 ，其系数为泰勒系数.当时，的上述展式为麦克劳林展式.注意：函数在一点的泰勒展式唯一.泰勒定理成立的条件是:在点邻域内的各阶导数存在且.3在近似计算中先要写出函数的级数表示式，再取n的特殊值即可得到所要近似值.课后记：存在问题：不能区分泰勒公式与泰勒级数.7.6 某些初等函数的幂级数展开式教学目的：熟练掌握Taylor 公式、TaylorTh展式；能灵活运用导出公式间接求出函数的泰勒展式.重难点：能灵活运用导出公式间接求出所给函数的泰

8、勒展式以及麦克劳林展式.教学方法：启发式讲授与指导练习相结合教学过程：一、某些初等函数的幂级数展开式由泰勒定理的学习可知一个函数对区间内一个特定值,是否可以展开为幂级数,取决于它在处的各阶导数是否存在,以及当时,余项是否趋于.1直接展开法(利用泰勒级数与麦克劳林级数展开函数)将函数展成麦克劳林级数步骤：(1) 求,进而求出；如果在的某一阶导数不存在,则不能在展成幂级数.(2)写出的麦克劳林级数,并求出级数的收敛半径、收敛域；(3) 讨论或 ，(4) 在收敛区间上有 , .例1 将展开成的幂级数.解：(1) , (2) 由于，所以, ； , 由于收敛半径； (3) , .近似计算: ；.例2 将

9、展开成的幂级数.解 (1) , ； 依次循环取即,；(2)【或】, 而；所以收敛域为 . (3) 所以 , .例3 将函数 展开成麦克劳林级数，其中是任意不为零的常数. 分析：因为 ， 所以 得麦克劳林级数公式：，收敛域为 （结果为二项式级数）当时，级数是否收敛于取决于的取值.可以证明：当时，收敛域为；当时，收敛域为；当时，收敛域为.取等不同的值可以得到相应的公式.，（）.，（）.可以由无穷递缩等比数列求和公式得到.特别地，当是正整数时，可以看出含有项以后的各项的系数都为零.从而得到二项式公式.2间接法 根据函数的泰勒展式的唯一性,利用常见展开式如，的公式，通过变量代换、四则运算、恒等变形、逐

10、项求导、逐项积分等方法,求函数的幂级数（泰勒）展开式.例4 （1） 将展开成的幂级数.解：已知,. 那么 ,（2） 将展开成的幂级数.（注意收敛区间的间接求法）解：已知, . 那么 , .例5 （1）将展开成的幂级数.解：已知, .那么 ,. 又因为 时，级数 收敛, 在连续.时，级数 发散, 于是, 其中 收敛域为 .（2）将展开成的幂级数.解 ，当均收敛，故 .注意：对于不需要通过积分与求导就可以的得到的级数，其收敛域可以直接由原收敛域间接求出，但对于要积分或求导才能得到的级数，端点要单独考察一下敛散性.提问：用间接法将下列函数展开为为的幂级数,并确定收敛域:(1)解 因为,所以有,并由得的收敛域为.同理可得,. (2)解 因为,所以有,并由得的收敛域为.同理可得, (3)解 因为,所以有.(4)解 由,有又由得其收敛区间为.收敛域为 解 并由 ，知（其中和 ,所以 .（6）将展成的幂级数.解：因为 ，.例6（1） (07.3.10)将函数展开为的幂级数,并指出收敛区间.解: 由得收敛区间为.（2） 将展开成的幂级数.解：由于 又已知, , , .那么 , 收敛域 .（3）将展开为的幂级数,并确定收敛区间.解 类似可求 小结：1.函数在点的泰勒展式为 ，其系数为泰勒系数.当时，的上述展式为麦克劳林展式.注意