考研数学线代资料—线性方程组(解的结构)

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2、设齐次线性方程组有非零解。向量组称为齐次线性方程组的基础解系，如果它们满足如下三个条件：（1）都是的解；（2）线性无关；（3）的任意解都可以由线性表出。如果为的基础解系，则的通解可以表示为。注：基础解系是求齐次及非齐次线性方程组通解的关键，是解的结构部分最重要的概念，为了让考生对该概念有正确而全面的认识，我们从如下两方面来予以说明：1）齐次线性方程组的基础解系是的一组线性无关的解，它们可以线性表出的任意解。也就是说，假设是的任一解，向量组是线性相关的。通过上述分析不难发现，基础解系本质上是齐次线性方程组解集的极大线性无关组。2）由于基础解系就是极大线性无关组，那么极大线性无关组的性质对基础解系

3、同样成立，如：齐次线性方程组的任意两个基础解系是等价的，齐次线性方程组的任意两个基础解系所含的向量个数相等。（2）核心定理定理：设齐次线性方程组（个方程，个未知量）系数矩阵的秩，则齐次线性方程组的基础解系存在，并且任一个基础解系中含有个解向量。注：1）结合对基础解系定义的说明，该定理实质上是说齐次线性方程组的解集的秩为；2）由极大线性无关组的性质还可以得到：任意个线性无关的解都是的基础解系。【例1】：已知向量组为元齐次线性方程组的基础解系，证明：向量组仍为该齐次线性方程组的基础解系。 【例2】：设向量是齐次线性方程组的一个基础解系，而向量不是的解，即.试证明：向量组线性无关.（3）计算方法 设

4、，则对系数矩阵实施初等行变换化为阶梯型矩阵。找出主元（每行第一个非零元），再进一步通过初等行变换将方程组化为“行最简形”（使得主元所在列成为一个单位矩阵）。我们给出了主元为前个变量的情形，如下： 则对应的齐次线性方程组可化为如下形式： 在上述方程中，分别令“自由变量”（主元以外的变量）其中一个为1，其余为0，如下：可以得到个线性无关的解向量：它们就是齐次线性方程组的基础解系。【例3】：求齐次线性方程组的基础解系与通解。【答案】：基础解系为，齐次线性方程组的通解为。【例4】：设齐次线性方程组，试问a为何值时，该方程组有非零解，并求其解。【答案】：（1）若，方程组有非零解，基础解系为，所以方程组的通解为（为任意常数）（2）若，当时，基础解系为所以通解为（k为任意常数）【例5】：已知齐次线性方程组的基础解系中有2个向量，求并求它的一个基础解系。【答案】：；基础解系为。在