矩阵可逆的若干判别方法

1、矩阵可逆的若干判别方法可逆矩阵是高等代数中不可缺少的一部分，也是矩阵运算中的重要组成部分，对解决数数学问题有重大意义，学习可逆矩阵，对我们解决一些代数问题有极大的帮助。如何判断矩阵可逆，主要有以下十一种方法。一、 矩阵可逆的基本概念（1）对于n阶矩阵A，若存在n阶矩阵B，使得AB=BA=I则称矩阵A为可逆矩阵（或非退化或非奇异或满秩矩阵），或A可逆，称B为A的逆矩阵，记作B= A-1 。注：若矩阵可逆，则A的逆矩阵由A唯一确定。（2）矩阵A的行秩等于列秩。（3）矩阵A经过一系列初等变换得到矩阵B，则A与B等价。（4）记矩阵A中元素aij的代数余子式为Aij，则A*=（Aij）Tnn，我们就称A

2、*为A的伴随矩阵。二、矩阵可逆的性质 （1）若矩阵A可逆，则A的逆矩阵A-1也可逆，且（A-1）-1=A。 （2）若矩阵A,B均可逆，则矩阵AB也可逆，且(AB) -1=B-1A-1。 （3）若矩阵A可逆，则AT也可逆，且（AT）-1=（A-1）T。 （4）若矩阵A可逆，0，则A也可逆，且()=A-1。 （5）若矩阵A可逆，则|A-1|=。 （6）矩阵A的逆矩阵A-1=。 （7）若A为mn阶矩阵，P为m阶矩阵，Q为n阶矩阵，A,P,Q均为可逆矩阵，则有r(PAQ)=r(PA)=r(AQ)=r(A)。三、矩阵可逆的若干判别方法（一）定义判别法 对于n阶方阵A，若存在n阶方阵B，使得AB=BA=I

3、,则A可逆，且B为A的逆，记为B=A-1。例1. 判断矩阵A= 是否可逆？证 存在矩阵B=，使得AB=BA= 所以矩阵A可逆。注：此方法大多适用于简单的矩阵。 （二）行列式判别法 矩阵A可逆的充要条件是A为方阵且|A|0。例2. 判断矩阵A=与矩阵B=是否可逆？证 因为|A|=-30，|B|=0，所以矩阵A可逆，而B不可逆。 （三）秩判别法 n阶矩阵A可逆，则r（A）=n。 证 因为矩阵A可逆，则|A|0，可得到r（A）=n，反之也成立。例3. 判断矩阵A=与矩阵B=是否可逆？证 A= 所以r（A）=3，A可逆。 B= 所以r（B）=2，B不可逆。 （四）伴随矩阵判别法 若A可逆，则存在矩阵B

4、=,使得AB=BA=E。 例4矩阵A=，判断它是否可逆，若可逆，求出它的逆。 证 因为|A|=350，则A可逆， A*=,所以 A-1= 注：求伴随矩阵时，要注意元素的位置与符号。(五)初等变换判别法 对矩阵A施行行（列）初等变换，得到矩阵B，若B可逆，则A也可逆。证 因为A与B 等价，则有r(A)=r(B)，所以当矩阵B可逆时，矩阵A也可逆。注：也可用初等行（列）变换求A的逆。用初等行变换： B为A 的逆，B=A-1。列初等变换： B为A的逆。例5.求矩阵A=的逆。解 所以A-1= （六）初等矩阵判别法 若矩阵A可逆，则A可以表示为一系列初等矩阵的乘积， 即A=P1P2 PS 证 因为|A|

5、=| P1P2 PS|，所以矩阵A可逆，反之也成立。 同时，若矩阵A可逆，则A可经过一系列初等变换化为单位矩阵。 例6.判断矩阵A=是否可逆？证 A=所以矩阵A可逆。（七）矩阵的向量组的秩判别法 若矩阵A可逆，则A的各行或各列所形成的向量组线性无关。 若矩阵A可逆，则有r(A)=n,且行秩等于列秩等于n.（八）线性方程组判别法 有方程组 当b1=b2=bn=0时，方程组为齐次线方程组， 所以有= 0,AX=0,当且仅当此方程组有零解时，即x1=x2=xn =0时，设矩阵A各列形成的向量组为、，所以，而x1=x2=xn =0，则、线性无关，因此矩阵A可逆。 当0时，即方程组为非齐次线性方程组时，

6、方程组有唯一解时，矩阵A可逆。证 、 因为|A|0，则x1、x2、xn由唯一确定。（九）标准型判别法 任一sn阶方阵A都与形为的矩阵等价，此矩阵称为矩阵A的标准型，且r=r(A),E为单位矩阵，0为零矩阵。 即若n阶方阵A可逆，则可化为标准型E。（十）多项式判别法 n矩阵A可逆，则有多项式fx，满足fA=0，常数项不为零。 证 f（）= n-(a11+a22+ann)n-1+(-1)|A| |A|,则（-1）|A|，常数项不为零。 反之也成立。（十一）特征值判别法 n阶矩阵A可逆，则矩阵A的特征值不全为零。 证 f（）= n-(a11+a22+ann)n-1+(-1)|A| 则 |A|= （rn ），所以矩阵A可逆。四、常见矩阵的可逆性 （一）单位矩阵可逆，EE=E。 （二）数量矩阵A=可逆。 A=aE,A-1=(aE)-1= （三）对角阵A=可逆，主对角线上元素全不为零。 证 主对角线上元素全不为零，则|A|，所以A可逆。 （四）分块矩阵可逆。 （五）上三角与下三角矩阵可逆。 （六）正交矩阵可逆，且A-1=AT。 （七）过度矩阵与度量矩阵均可逆。小结： 学会了如何判断一个矩阵是否可逆，了解这十一种判别方法，会让我