相似三角形存在性问题

1、相似三角形存在性问题1.如图，二次函数图象的顶点坐标为C(4，)，且在x轴上截得的线段AB的长为6（1）求二次函数的解析式；（2）点P在y轴上，且使得PAC的周长最小，求：点P的坐标；PAC的周长和面积；（3）在x轴上方的抛物线上，是否存在点Q，使得以Q、A、B三点为顶点的三角形与ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由解：（1）设二次函数的解析式为ya(x 4)2(a0)，且A(x1，0)，B(x2，0)ya(x 4)2ax 28ax16a x1x28，x1x216AB 2(x1x2)2(x1x2)24x1x2824(16)36，a二次函数的解析式为y(x 4)2 （2）

2、如图1，作点A关于y轴的对称点A，连结AC交y轴于点P，连结PA，则点P为所求令y0，得(x 4)20，解得x11，x27A(1，0)，B(7，0)OA1，OA1设抛物线的对称轴与x轴交于点D，则AD3，AD5，DCAOPADC，即，OPP(0，)ACACPAC的周长PAPCACACACSPACSAAC SAAPAA(DCOP)2()（3）存在tanBAC，BAC30同理，ABC30，ACB120，ACBC若以AB为腰，BAQ1为顶角，使ABQ1CBA，则AQ1AB6，BAQ1120如图2，过点Q1作Q1Hx轴于H，则Q1HAQ1sin606，HAAQ1cos6063HOHAOA312点Q1的

3、坐标为(2，)把x2代入y(x 4)2，得y(24)2点Q1在抛物线上 若以BA为腰，ABQ2为顶角，使ABQ2ACB，由对称性可求得点Q1的坐标为(10，)同样，点Q2也在抛物线上 若以AB为底，AQ，BQ为腰，点Q在抛物线的对称轴上，不合题意，舍去综上所述，在x轴上方的抛物线上存在点Q1(2，)和Q2(10，)，使得以Q、A、B三点为顶点的三角形与ABC相似 2.如图，抛物线yax 2bxc(a0)与x轴交于A(3，0)、B两点，与y轴相交于点C(0，)当x4和x2时，二次函数yax 2bxc(a0)的函数值y相等，连结AC、BC（1）求实数a，b，c的值；（2）若点M、N同时从B点出发，

4、均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动当运动时间为t秒时，连结MN，将BMN沿MN翻折，B点恰好落在AC边上的P处，求t的值及点P的坐标；yOxCNBPMA（3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得以B，N，Q为顶点的三角形与ABC相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）由题意得 解得a，b，c3分（2）由（1）知yx 2x，令y0，得x 2x0解得x13，x21A(3，0)，B(1，0)又C(0，)，OA3，OB1，OC，AB4，BC2yOxCNBPMA图1HtanACO，ACO60，CAO30同理，

5、可求得CBO60，BCO30，ACB90ABC是直角三角形又BMBNt，BMN是等边三角形BNM60，PNM60，PNC60RtPNCRtABC，由题意知PNBNt，NCBCBN2t，t4分OMBMOB1如图1，过点P作PHx轴于H，则PHPMsin60MHPMcos60OHOMMH1点P的坐标为(1，)6分（3）存在由（2）知ABC是直角三角形，若BNQ与ABC相似，则BNQ也是直角三角形二次函数yx 2x的图象的对称轴为x1点P在对称轴上PNx轴，PN对称轴又QNPN，PNBN，QNBNBNQ不存在以点Q为直角顶点的情形如图2，过点N作QN对称轴于Q，连结BQ，则BNQ是以点N为直角顶点的

6、直角三角形，且QNPN，MNQ30PNQ30，QNtan60，当BNQ以点N为直角顶点时，BNQ与ABC不相似7分如图3，延长NM交对称轴于点Q，连结BQ，则BMQ120AMP60，AMQBMN60，PMQ120BMQPMQ，又PMBM，QMQMBMQPMQ，BQMPQM30BNM60，QBN90CAO30，ACB90BNQABC8分当BNQ以点B为直角顶点时，BNQABC设对称轴与x轴的交点为DDMQDMP60，DMDM，RtDMQRtDMPDQPD，点Q与点P关于x轴对称点Q的坐标为(1，)9分综合得，在抛物线的对称轴上存在点Q(1，)，使得以B，N，Q为顶点的三角形与ABC相似10分3.

7、如图，抛物线ya(x3)(x1)与x轴相交于A、B两点（点A在点B右侧），过点A的直线交抛物线于另一点C，点C的坐标为(2，6)（1）求a的值及直线AC的函数关系式；（2）P是线段AC上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点M，交x轴于点N求线段PM长度的最大值；在抛物线上是否存在这样的点M，使得CMP与APN相似？如果存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标（不必写解答过程）；如果不存在，请说明理由解：（1）由题意得6a(23)(21)，a21分抛物线的解析式为y2(x3)(x1)，即y2x 24x6令2(x3)(x1)0，得x13，x21点A在点B右侧，A(1，0)，B(3，0)设直线

8、AC的函数关系式为ykxb，把A(1，0)、C(2，6)代入，得 解得直线AC的函数关系式为y2x23分（2）设P点的横坐标为m(2 m 1)，则P(m，2m2)，M(m，2m 24m6)4分PM2m 24m6(2m2)2m 22m42(m)2当m时，线段PM长度的最大值为6分存在M1(0，6)7分M2(，)9分点M的坐标的求解过程如下（原题不作要求，本人添加，仅供参考）)如图1，当M为直角顶点时，连结CM，则CMPM，CMPANP点C(2，6)，点M的纵坐标为6，代入y2x 24x6得2x 24x66，x2（舍去）或x0M1(0，6)（此时点M在y轴上，即抛物线与y轴的交点，此时直线MN与y

9、轴重合，点N与原点O重合）)如图2，当C为直角顶点时，设M(m，2m 24m6)(2 m 1)过C作CHMN于H，连结CM，设直线AC与y轴相交于点D则CMPNAP又HMCCMP，NAPOAD，HMCOADC(2，6)，CHm2，MH2m 24m662m 24m在y2x2中，令x0，得y2D(0，2)，OD2整理得4m 29m20，解得m2（舍去）或m当m时，2m 24m6()24()6M2(，)4.已知：RtABC的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边AB与x轴重合（其中OAOB），直角顶点C落在y轴正半轴上（如图1）（1）求线段OA、OB的长和经过点

10、A、B、C的抛物线的关系式（2）如图2，点D的坐标为（2，0），点P（m，n）是该抛物线上的一个动点（其中m0，n0），连接DP交BC于点E当BDE是等腰三角形时，直接写出此时点E的坐标又连接CD、CP（如图3），CDP是否有最大面积？若有，求出CDP的最大面积和此时点P的坐标；若没有，请说明理由解：（1）由题意知RtAOCRtCOB，OC 2OAOBOA(ABOA)，即22OA(5OA)OA 25OA40，OAOB，OA1，OB42分A(1，0)，B(4，0)，C(0，2)可设所求抛物线的关系式为ya(x1)(x4)3分将点C(0，2)代入，得2a(01)(04)，a经过点A、B、C的抛物线

11、的关系式为y(x1)(x4)4分即yx 2x2（2）E1(3，)，E2(，)，E3(，)7分关于点E的坐标求解过程如下（原题不作要求，本人添加，仅供参考）：设直线BC的解析式为ykxb则 解得直线BC的解析式为yx2点E在直线BC上，E(x，x2)若EDEB，过点E作EHx轴于H，如图2，则DHDB1OHODDH213点E的横坐标为3，代入直线BC的解析式，得y32E1(3，)若DEDB，则(x2)2(x2)222整理得5x 224x160，解得x14（舍去），x2y2，E2(，)若BEBD，则(x4)2(x2)222整理得5x 224x160，解得x1（此时点P在第四象限，舍去），x2y()

12、2，E3(，)CDP有最大面积8分过点D作x轴的垂线，交PC于点M，如图3设直线PC的解析式为ypxq，将C(0，2)，P(m，n)代入，得 解得直线PC的解析式为yx2，M(2，2)SCDPSCDMSPDMxPyMm(2)mn2m(m2m2)2m2m(m)2当m时，CDP有最大面积，最大面积为9分此时n()22此时点P的坐标为(，)10分5.如图，已知抛物线yx 24x3交x轴于A、B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴交x轴于点E，点B的坐标为(1，0)（1）求抛物线的对称轴及点A的坐标；（2）在平面直角坐标系xOy中是否存在点P，与A、B、C三点构成一个平行四边形？若存在，请写出点P的坐标

13、；若不存在，请说明理由；（3）连结CA与抛物线的对称轴交于点D，在抛物线上是否存在点M，使得直线CM把四边形DEOC分成面积相等的两部分？若存在，请求出直线CM的解析式；若不存在，请说明理由解：（1）对称轴为直线x2，即x2；2分令y0，得x 24x30，解得x11，x23点B的坐标为(1，0)，点A的坐标为(3，0)4分（2）存在，点P的坐标为(2，3)，(2，3)和(4，3)7分（3）存在8分当x0时，yx 24x33，点C的坐标为(0，3)AO3，EO2，AE1，CO3DECO，AEDAOC，即DE19分DECO，且DECO，四边形DEOC为梯形S梯形DEOC(13)24设直线CM交x轴

14、于点F，如图若直线CM把梯形DEOC分成面积相等的两部分，则SCOF2即COFO23FO2，FO点F的坐标为(，0)10分直线CM经过点C(0，3)，设直线CM的解析式为ykx3把F(，0)代入，得k3011分k直线CM的解析式为yx312分6. （2011浙江金华）如图1，在平面直角坐标系中，己知AOB是等边三角形，点A的坐标是(0，4)，点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连结AP，并把AOP绕着点A按逆时针方向旋转.使边AO与AB重合.得到ABD.（1）求直线AB的解析式；（2）当点P运动到点（，0）时，求此时DP的长及点D的坐标；（3）是否存在点P，使OPD的面积等于，若存在，请求

15、出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.6. 解：（1）作BEOA，AOB是等边三角形BE=OBsin60o=，B(,2)A(0,4),设AB的解析式为,所以,解得,以直线AB的解析式为（2）由旋转知，AP=AD, PAD=60o,APD是等边三角形，PD=PA=如图，作BEAO,DHOA,GBDH,显然GBD中GBD=30GD=BD=,DH=GH+GD=+=,GB=BD=,OH=OE+HE=OE+BG=D(,)(3)设OP=x,则由（2）可得D()若OPD的面积为：解得：所以P(,0)7.已知，如图，抛物线yax 23axc（a0）与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在B点左侧，

16、点B的坐标为（1，0），OC3OB（1）求抛物线的解析式；（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值；（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）对称轴x1分又OC3OB3，a0C(0，3)2分方法一：把B(1，0)、C(0，3)代入yax 23axc得： 解得抛物线的解析式为yx 2x34分方法二：令ax 23axc0，则xAxB3B(1，0)，xA13，xA4A(4，0)可设抛物线的解析式为ya(x4)(x1)，把C(0，3)代入得3a(04)(01)，a抛物

17、线的解析式为y(x4)(x1)即yx 2x34分（2）方法一：如图1，过点D作DNx轴，垂足为N，交线段AC于点MS四边形ABCD SABC SACDABOCDM(ANON)(41)3DM42DM5分设直线AC的解析式为ykxb，把A(4，0)、C(0，3)代入得 解得直线AC的解析式为yx36分设D(x，x 2x3)，则M(x，x3)DMx3(x 2x3)(x2)237分当x2时，DM有最大值3此时四边形ABCD面积有最大值，最大值为：238分方法二：如图2，过点D作DQy轴于Q，过点C作CC1x轴交抛物线于C1设D(x，x 2x3)，则DQx，OQx 2x3从图象可判断当点D在CC1下方的抛物线上运动时，四边形ABCD面积才有最大值则S四边形ABCD SBOC S梯形AOQD SCDQOBOC(AODQ)OQDQCQ13(4DQ)OQDQ(OQ3)2OQDQ5分2(x 2x3)xx 26x(x2)27