《非线性系统分析》PPT课件.ppt

1、第七章非线性系统分析,可线性化的系统线性分析方法 本质非线性系统一般分析方法主要方法： 相平面分析法 描述函数法,7.1 控制系统的非线性特性,典型本质非线性的基本特征： 不能采用线性化方法来处理问题； 不符合叠加原理。,（1）继电特性 数学描述 曲线不连续，导数也不存在。因此信号的输入 输出关系不满足叠加原理。 继电特性输入输出关系简单，控制装置费用低 廉，从早期开始至今，一直得到广泛的应用。,（2）饱和特性 数学描述 在线性工作区内，叠加原理适用。 工作进入饱和工 作区，不满足叠加原理。 在饱和点 f(e0) 上，信号连续，但导数不存在。,（3）死区特性 死区又称不灵敏区，通常是叠加在其它

2、传输关系上的 附加特性。 a）线性 + 死区 b）继电 + 死区 c）饱和 + 死区,（4）滞环特性 滞环特性为正向行程与反向行程不重叠，输入输出曲 线出现闭合环路。又称换向不灵敏特性。通常是叠加 在其它传输关系上的附加特性。 饱和滞环继电滞环 齿轮间隙滞环,（5）摩擦特性 分为静摩擦特性与动摩擦特性。 静摩擦特性作用于启动瞬间， 动摩擦特性貌似继电特性， 但方向相反，物理意义不同。 （6）其它非线性特性 继电.死区.滞环变增益特性,7.2 相平面分析法,相平面分析法应用于线性系统分析，或 者应用于非线性系统分析。 相平面仅由系统的两个独立变量构成， 只适用于1阶、2阶系统的运动分析。,一、相

3、平面与相轨迹 二阶系统微分方程： 两个独立变量：位置量 速度量 构成相平面 为相变量。给定初始条件 相变量在相平面上的 运动坐标轨迹称为相轨迹。,例71 一阶线性系统 画出其相平面图。 解 由方程有 相轨迹为过 x = b ， 斜率为 a 的直线。,例72 二阶系统 作出该系统的相平面图。 解 因为 斜率方程 初值（0, 10）和（0, -10）。,二、相平面作图 利用计算机作图，或者徒手作草图，可以作相平面图 1、解析法作图 方程不显含 时，采用一次积分法得相轨迹方程作图 方程为 因为 代入方程 两边一次积分，得相轨迹方程,例73 二阶系统为作相平面图。 解 方程不显含 ，由解析法有 一次积

4、分 相轨迹方程为椭圆方程,2、等倾线法作图用于徒手作图 由于 代入方程 得到相轨迹的斜率方程 在相平面上，在所有除奇点之外的解析点上，令斜 率为给定值，即,得到相轨迹的等倾线方程 给定一个斜率值，根据等倾线方程，便可以在相 平面上作出一条等倾线。改变的值，便可以作出若 干条等倾线充满整个相平面。 由相轨迹起点出发，依照等倾线的斜率，逐段折 线近似将相轨迹作出。,例74 方程作该系统的等倾线。 解：将代入运动方程有 得等倾线方程 显然，给定不同斜率值 ，等倾线为正弦曲线族。,例75 二阶线性定常系统 试用等倾线法作该系统的相平面图。 解：将 代入方程得 等倾线方程为 等倾线的斜率为 给定不同斜率

5、值 ，作等倾线如图,等倾线 与相轨迹,线性定常系统的等倾线方程为过原点的一次曲线族。,三、相轨迹的运动特性 1、相轨迹的运动方向 （1）上半平面的相轨迹右行； （2）下半平面的相轨迹左行； （3）过实轴相轨迹斜率为。,2、相轨迹的对称 满足某对称条件时，相轨迹曲线可以对称画出。 （1）x 轴对称条件 满足条件 由斜率方程 相轨迹 x 轴对称。 x 轴上下，相轨迹斜率大小相等，符号相反。 （2） 轴对称条件 同理，满足条件 相轨迹轴对称。 轴左右，相轨迹的斜率大小相等，符号相反，,（3）原点对称条件 同理，满足条件 相轨迹原点对称。 对称于原点，相轨迹的斜率大小相等 符号相反。例如： 满足3个对

6、称条件。满足原点对称条件,3、相轨迹的奇点 奇点定义：二阶系统 斜率方程 相平面上满足 的点，称为相轨迹的奇点。 在奇点上，相轨迹的斜率不定，即为 二阶线性系统，奇点是唯一的，位于原点。 二阶非线性系统，奇点可能不止一个。 奇点为 无穷多个。,4、奇点邻域的运动性质 由于在奇点上，相轨迹的斜率不定， 所以可以引出无穷条相轨迹。 相轨迹在奇点邻域的运动可以分为 1.趋向于奇点 2.远离奇点 3.包围奇点 原点为奇点,相轨迹趋于原点，该奇点称为稳定节点。,相轨迹远离原点，该奇点为不稳定节点。,相轨迹振荡趋于原点，该奇点为稳 定焦点。,相轨迹振荡远离原点，为不稳定焦点。,相轨迹为同心圆，该奇点为中心

7、点。,系统特征根一正一负，相轨迹先趋向于然后远离原点，称为鞍点,5、极限环 极限环是非线性系统的运动在相平面上的一种特殊的运动情况。表现为非线性的自持振荡，在相平面上成为闭合的相轨迹如图所示。 非线性系统的极限环情况比较复杂，不同的系统会 有不同形式的极限环。,例7-x Van der Pol 方程的极限环,四、相平面图分析 1、作出系统的相平面图。对于具有间断特性的非线性系统，一般表示为数学上的分区作用，因此，在相平面上的相轨迹也是分区作出的。 2、分析系统的稳定性。由分区穿越的各段构成的相轨迹，最终是收敛还是发散。 3、分析系统是否具有极限环。 4、可以参考线性系统的性能指标来考虑该非线性

8、系统的调节时间与超调量等。,例76 继电控制系统， 阶跃信号作用下，试用 相平面法分析系统运动。,解 （1）作相平面图 线性部分 误差方程 阶跃信号 误差方程 系统的输入作用运动化为系统的自由运动，参考平 衡点转移到原点。,非线性部分 时， 运动方程为 等倾线方程 时， 运动方程为 等倾线方程,（2）给定初值，作相轨迹 （3）系统性能分析 运动是分区的组合， 为翻转条件， 运动连续，有振荡。,例76 继电控制系统 的改进。 解 增加速度反馈如图。 非线性部分改变为 切换线成为 ke0时， 提前切换， 响应加速。,7.3 描述函数法,描述函数法又称谐波线性化法。 分析系统对信号基本频率分量的传递

9、关系，从而讨论系统在频域中的一些特性，如系统的稳定性、自持振荡的振荡频率和幅值等,一、描述函数的定义 含本质非线性的系统 前提： 固有特性 G0(s) 一般具有低通特性。近似认为 信号的高频分量不能传递到输出端。 非线性环节对于输入信号的基本频率分量的传 递能力就可以提供有用的基本信息。,非线性环节的传输关系 设输入为正弦信号 输出信号为周期非正弦信号，展开付氏级数 如果为奇函数，则有 正、余弦谐波分量的幅值 基波分量 基波分量的幅值 基波分量的相位,定义输出信号的基波分量与输入正弦信号之比 为非线性环节的描述函数。 N()表示与变量的函数关系。如果是输入信号幅值 X 的函数，则可表为 N(X

10、)。如果是输入信号频率的函数，则可表为 N(j),描述函数 N() 的说明： （1）以幅值与相位变化来描述，类似频率特性。 （2）略去高频信号，只考虑基频，因此不同于线性系统的频率特性。,描述函数法的特点： 1）主要用来分析在无外作用情况下，非线性系统的稳定性和自振荡问题，且不受系统阶次的限制； 2) 对系统结构、非线性环节的特性和线性部分的性能都有一定要求，其本身也是一种近似分析方法，使其应用受到一定限制； 3) 只能用来研究系统的频率响应特性，不能给出时间响应的确切信息。,二、非线性环节的描述函数 （1）继电特性 数学表达式 描述函数 （2）饱和特性 数学表达式 描述函数,（3）Clegg 非线性积分器 数学表达式 描述函数 输入输出波形比较：线性积分器 比线性积分器相位超前 其它典型非线性环节描述函数见书表72,三、非线性系统的描述函数分析 （稳定性分析与自持振荡参数分析） 系统的非线性部分描述 闭环频率特性 闭环特征方程 得到,非线性系统的稳定性描述 在极坐标图上作固有特性， 同时在极坐 标图上作描述函数 的负倒数曲线 由奈氏判据 当 曲线不包围 曲线时，该非线性 系统是稳定的。 当曲线包围 曲线时，该非线性 系统不稳定。,非线性系统的稳定性 不包围 曲线包围 曲线 系统稳定系统不稳定,非线性系统