第20单元丰富的图形世界(杨建玲)

1、空间与图形欧拉（17071783），是18世纪最杰出的数学家之一.他不但在数学上作出了伟大贡献，而且把数学成功地应用到其他领域.在数论中，欧拉首先引进了欧拉函数(n)，用多种方法证明了费马小定理，对著名的哥尼斯堡大桥问题的解答开创了图论的研究.此外，欧拉还在物理、天文、建筑以及音乐、哲学等方面取得了辉煌的成就.20丰富的图形世界解读课标20世纪初，伟大的法国建筑家列柯尔伯齐曾说：“我想，到目前为止，我们从没有生活在这样的集合时期，周围的一切都是几何学.”生活中蕴含着丰富的几何图形，圆的月亮，平的湖面，直的树干，造型奇特的建筑，不断移动、反转、放大缩小的电视画面图形有的是立体的，有的是平面的，立

2、体图形与平面图形之间的联系，从以下方面得以体现：1立体图形的展开与折叠；2从各个角度观察立体图形；3用平面去截立体图形.观察归纳、操作实验、展开想象、推理论证是探索图形世界的基本方法.视野窗动手实验、动脑思索，是我们探索图形世界的关键.动手实验，你能亲身感受结论的真实性，放弃了自己动手，轻易地接受别人给出的结论，那么你就会慢慢地放弃了珍贵的好奇与探索精神，渐渐地舍弃了质疑研究的品质.动手实验为观察思考提供了良好的基础，没有思考、观察的各种现象都是孤立的，动手不动脑，数学学习就成了盲目的游戏.问题解决例1 如图是一个正方体表面展开图，如果正方体相对的面上标注的值相等，那么xy . （四川省中考题

3、）试一试 展开与折叠是两个步骤相反的过程，从折叠还原成正方体入手. 【答案】2x8，y10，xy14.想一想把一个正方体的表面展开成平面图（由6个相同的正方形连接在一起的平面图）共需剪开几条棱？一共有多少种情形？（旋转或翻折后能重合的视为一种）例2 如图，是由一些完全相同的小立方块搭成的几何体的三种试图，那么搭成这个几何体所用的小立方块的个数是（ ）.主视图 左视图 俯视图A5个 B6个 C7个 D8个 （成都市中考题）【答案】D试一试 根据三视图和几何体的关系，分别确定该几何体的列数和每一列的层数. 视野窗由实物的形状想象出几何图形，由几何图形想象出实物的形状是空间观念的主要表现之一.例3

4、由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和俯视图如图. （1）请你画出这个几何体的一种左视图； （2）若组成这个几何体的小正方体的块数为n，求n的值.（贵阳课改实验区中考题）【答案】左视图有以下5种情形：n8，9，10，11试一试 本例可以在“脑子”中想象完成，也可以用实物摆一摆。从操作实验入手，从俯视图可推断左视图只能有两列，由主视图分析出俯视图每一列小正方形的块数情况是解本例的关键，而有序思考、分类讨论，则可避免重复与遗漏.视野窗主视图中每行从左到右的小正方形个数即立体图形中每层从左到右的小立方块的总列数；主视图中每列从上到下的小正方形个数即立体图形中每列从上到下的小立方块的总层数

5、.主视图的列数就是俯视图的列数，且主视图每列小正方形的个数就是俯视图中每列数中最大的数值.例4 如图是由若干个正方体形状木块堆成的，平放于桌面上，其中，上面正方体的下底面四个顶点恰是下面相邻正方体的上底面各边的中点，如果最下面的正方体的棱长为1，且这些正方体露在外面的面积和超过8，那么正方体的个数至少是多少？按此规律堆下去，这些正方体露在外面的面积和的最大值是多少？（江苏常州市中考题）【答案】4；9 提示：最下面正方体1个面的面积是1，侧面露出的面积和是4，每相邻两个正方体中上面的1个正方体每个面的面积都正好是其下面正方体1个面面积的一半，所有正方体侧面面积之和加上所有正方体的上面露出的面积和

6、（正好是最下面正方体上底面的面积1）即是这些正方体露在外面的面积和.如：2个正方体露出的面积和是417，3个正方体露出的面积和是418，4个正方体露出的面积和是418，5个正方体露出的面积和是418，6个正方体露出的面积和是418，故随着小正方体本块的增加，其外露的面积之和都不会超过9.试一试 所有正方体侧面面积和再加上所有正方体上面露出的面积和，就是需求的面积。从简单入手，归纳规律.视野窗俯视图就是立体图形最底层对应的平面图形，确定立方体的块数，常从俯视图入手.例5 要把一个正方体分割成49个小正方体（小正方体大小可以不等），画图表示.（江城国际数学竞赛题）分析与解 本例是一道图形分割问题，

7、解答本例需要较强的空间想象能力和推理论证能力，需要把图形性质与计算恰当结合.为方便起见，设正方体的棱长为6个单位，首先不能切出棱长为5的立方体，否则不可能分割成49个小正方体.设切出棱长为1的正方体有a个，棱长为2的正方体有b个，如果能切出1个棱长为4的正方体，则有，解之得b14，不合题意，所以切不出棱长为4的正方体.设切出棱长为1的正方体有a个，棱长为2的正方体有b个，棱长为3的正方体有c个，则有，解之得a36，b9，c4.故可分割棱长分别为1、2、3的正方体各有36个、9个、4个，分法如图所示. 视野窗对于例5，有下列一般的结论：一个立方体可以分割成n个小立方体，这里n1，8，15，20，

8、22，27，29，34，36，38，39，41，43，45，46及大于47的整数.一个立方体能否分割成47个小立方体，至今还是一个未被解决的问题.欧拉公式例6 建立模型18世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题.（1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格：多面体顶点数（V）面数（F）棱数（E）四面体44长方体8612正八面体812正十二面体201230你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是_（2）一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的

9、面数是_（3）某个玻璃鉓品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体外表三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求xy的值解 （1）6；6；VFE2 （2）20（3）这个多面体的面数为xy，棱数为36（条）.根据VFE2，可得24（xy）362，xy14.模型应用如图，有一种足球是由数块黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮为正五边形，白皮为正六边形，且边长都相等，求正五边形、正六边形个数.（宁波市中考题改变）解 设足球表面的正五边形有x个，正六边形有y个，总面数F为xy个. 因为一条棱连着两个面，所以球表面的棱数E为（5x6y）

10、，又因为一个顶点上有三条棱，一条棱上有两个顶点，所以顶点数V（5x6y） （5x6y）.由欧拉公式VFE2得（xy） （5x6y）（5x6y）2，解得x12.所以正五边形只要12个.又根据每个正五边形周围连着5个正六边形，每个正六边形又连着3个正五边形，所以六边形个数20，即需20个正六边形.视野窗瑞士数学家欧拉是历史上最多产的数学家，一生发表过800多篇（本）论文、著作，他28岁时解决了著名的哥尼斯堡七桥问题，其主要思想是将原问题转化为一笔画问题.法国著名数学家拉普拉斯曾说：“读读欧拉，他是我们所有人的导师.”对于例6中的模型应用，有没有其他的解法？请读者思考.知识技能广场1如图是正方体的展

11、开图，则原正方体相对两个面上的数字之和的最小值是 .（山东省菏泽市中考题） （第1题） （第2题）2由几个相同的小正方体搭成的几何体的视图如图所示，则搭成这个几何体的小正方形的个数是 .（武汉市中考题）3一个长方体的左视图、俯视图以及相关数据如图所示，则其主视图的面积为_（山东烟台市中考题）4如图，下列几何体是由棱长为1的小立方体按一定规律在地面上摆成的，若将露出的表面都涂上颜色（底面不涂色），则第n个几何体中只有两个面涂色的小立方体共有_个（山东省青岛市中考题）5一个画家有14个边长为1m的正方体，他在地面上把它们摆成如图形式，然后把露出的表面涂上颜色，那么北图颜色的总面积为（）A19m2B

12、41m2C33m2D34m2（河南省中考题）6一个几何体由一些大小相同的小正方体组成，如图是它主视图和俯视图，那么该几何体所需小正方体的个数最少为（）A3B4C5D6（河南省中考题）7.从棱长为2的正方体毛坯的一角，挖去一个棱长为1的小正方体，得到一个如图所示的零件，则这个零件的表面积是（）A20B22C24D26（河北省中考题）8我国古代数学家利用“牟合方盖”（如图甲）找到了球体体积的计算方法“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体图乙所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，他的主视图是（）（2012温州市中考题）95个棱长为1正方体组成如图

13、的几何体（1）该几何体的体积是_（立方单位），表面积是_（平方单位）；（2）画出该几何体的主视图和左视图（广州市中考题）10用同样大小的正方体木块搭建的几何体，从正面看到的平面图形如图所示，从上面看到的平面图形如图所示（1）如果搭建的几何体由9个小正方体木块构成，试画出从左面边看这个几何体所得到的所有可能的平面图形（2）这样的几何体最多可由几块小正方体构成？并在所用木块最多的情况下，画出从左看到的所有可能的平面图形（“创新杯”邀请赛试题）思维方法天地11如图，是一个正方体表面展开图，请在图中空格内填上适当的数，使这个正方体相对两个面上标注的数值相等（时代学习报数学文化节试题）12如图是由一些大

14、小相同的小正方体诸城的简单几何体的主视图和俯视图，若组成这个几何体的小正方体的块数为n，则n的所有可能的值之和为_（江苏省江阴市中考题）13如图是一个立方体的主视图、左视图和俯视图，图中单位为厘米，则立体图形的体积为_立方厘米（“华罗庚金杯赛”试题）14若干个正方体形状的积木摆成如图所示的塔形，平放在桌面上，上面正方体的下底四个顶点是下面相邻正方体的上底各边中点，最下面的正方体棱长为1，如果塔形露在外面的面积超过7，则正方体的个数至少是（）A2B3C4D5（江苏省常州市中考题）15由若干个单位立方体组成一个较大的立方体，然后把这个大立方体的某些面上涂上油漆，油漆干后，把打立方体拆开成单位立方体

15、，发现有45个单位立方体上任何一面都没有漆，那么大立方体被涂过油漆的面数是（）A1B2C3D4（“创新杯”邀请赛试题）16小明把棱长为4的正方体分割成了29个棱长为整数的小正方体，则其中棱长为1的小正方体的个数是（）A22B23C24D25（浙江省竞赛题）17墙角处有若干大小相同的小正方体堆成如图所示的立体图形，如果你打算搬走其中部分小正方体（不考虑操作技术的限制），但希望搬完后从正面、从上面、从右面用平行光线照射时，在墙面及地面上的影子不变，那么你最多可以搬走多少个小正方体？（江苏省竞赛题）18一个查长方体纸盒的长、宽、高分别是a、b、c（abc）厘米如图，将它展开成平面图，那么这个平面图的

16、周长最小是多少厘米？最大是度少厘米？（江苏省竞赛题）应用探究乐园19王老师将底面半径为20厘米、高为35厘米的圆柱形容器中的果汁全部倒入如图所示的杯子中，若杯口直径为20厘米，杯底直径为10厘米，杯高为12厘米，杯身长13厘米，问果汁可以倒满多少杯？（世界团体锦标赛赛题）20一个边长为5厘米的正方体，它是由125个边长为1厘米的小正方体组成的P为上底面ABCD的中心，如果挖去（如图）的阴影部分为四棱锥，剩下的部分还包括多少个完整的棱长是1厘米的小正方体？（深圳市“启智杯数学思维能力赛赛题）答案1. C；2. B；3. C；4. 4（2n1）；5. 8；6. 5；7. 6；8. B；9.（1）5

17、，22；（2）见下图10.如图：11.上空格填，写空格填2；12. 38；13. 2；14. B；15. D 提示：设大立方体的棱长为n，n3，若n6，即使6个面都油漆过，未油漆的单位立方体也有64个45，古n4或5，除掉已漆的单位立方体后，剩下未漆的构成一个长方体，设其长、宽、高分别为a、b、c，abc45，只能是34545。故n516. C 提示：若分割出棱长为3的正方体，则棱长为3的正方体只能有1个，余下的均是棱长为1的正方体，共37个不满足要求设棱长为2的正方体有x个，棱长为1的正方体有y个，则，得17. 有不同的拿法为保证“影子不变”，可依如下原则操作：在每一行和每一列中，除保留一摞最高的不动以外，该行（列）的其余各摞都搬成只剩最下面的一个小正方体如图所示，20个方格中的数字，表示5行6列共20摞中在搬完以后最终留下的正方体个数照这样，各行可搬个数累计为9954027，即最多可搬走27个小正方体18.要使平面展开图的周长最小，剪开的七条棱长就要尽量小，因此要先剪开四条高（因为c最小），再剪开一条长a厘米的棱（否则，不能展开成平面图），最后再剪开两条宽b厘米的棱（如图所示表示的这七条棱）由此可得图甲，这时最小周长是c8b4a22a4b8c（厘米）要使平面展开图的周长最大，剪开的七条棱长就要尽量大，因此要先剪开四条最长的棱（长a），再剪开两条次长的棱（宽