抛物线焦点弦的性质

1、2.4.2,抛物线的几何性质,复习回顾,2,1.,抛物线,y,2px,（,p,0,）的范围、,对称性、顶点、离心率、焦半径分别是,什么？,范围：x0，yR；,对称性：关于,x,轴对称；,顶点：原点；,离心率：,e,1,；,p,|,MF,|,=,x,0,+,.,焦半径：,2,问题提出,过抛物线的焦点,F,作直线交抛,物线于,A,、,B,两点，线段,AB,叫做,抛物,线的焦点弦,，请你探究焦点弦具有,y,哪些性质,.,A,O,B,F,x,探求新知,设,AB,为,焦点弦,.,点,A(x,1,，,y,1,),，,B(x,2,，,y,2,),1,、焦点弦,AB,的长如何计算？,y,A,F,x,|AB|,

2、x,1,x,2,p,O,B,探求新知,2,、抛物线的焦点弦,AB,的长是否存,在最小值？若存在，其最小值为,O,多少？,y,F,A,x,B,垂直于对称轴的焦点弦最短，叫做抛,物线的,通径,，其长度为,2p,探求新知,3,、,A,、,B,两点的坐标是否存在相关关,系？若存在，其坐标之间的关系如,y,何？,A,O,B,2,F,x,2,p,y,1,y,2,=,-,p,x,1,x,2,=,4,探求新知,4,、利用焦半径公式，,|AF|,|BF|,可作,哪些变形？,|AF|,与,|BF|,之间存在什么,y,A,内在联系？,O,B,F,x,1,1,2,+,=,|,A,F,|,|,BF,|,p,探求新知,5

3、,、由焦点弦长公式,|,A,B,|,x,1,+,x,2,p,=,+,，,得,2,2,2,O,y,A,F,B,x,这个等式的几何意义是什么？,以,AB,为直径的圆与,抛物线的准线相切,.,探求新知,6,、过点,A,、,B,作准线的垂线，垂足分,别为,C,、,D,，则,ACF,和,BDF,都是等腰,三角形，那么CFD的大小如何？,C,l,y,A,.,90,K,O,D,F,x,即以,CD,为直径的圆与,AB,相切于,F.,B,探求新知,7,、过点,A,、,B,作准线的垂线，垂足分,别为,C,、,D,，,A,、,O,、,D,三点共线吗？,y,C,A,O,D,F,B,x,证明,k,OA,?,k,OD,探

4、求新知,8,、若直线,AO,交准线于,D,，,DB,与,X,轴平行吗？,y,A,O,D,B,F,x,证明,y,D,?,y,B,探求新知,9,、设点,M,为抛物线准线与,x,轴的交点，,则AMF与BMF的大小关系如何？,A,1,y,A,M,O,B,1,相等,F,B,x,证明,k,AM,?,?,k,BM,形成结论,过抛物线,y,2,=2px,的焦点,F,作直线交抛物线于,A,、,B,两点，焦点弦,AB,具有如下性质,.,2,p,?,1,?,AB,?,x,1,?,x,2,?,p,?,2,;,sin,?,?,2,?,AB,有最小值,为通径长,2p;,p,?,3,?,y,1,y,2,?,?,p,x,1,

5、x,2,?,;,4,1,1,2,?,?,;,?,4,?,AF,BF,p,2,2,y,A,D,M,C,O,B,F,x,?,5,?,以,AB,为直径的圆与抛物线的准线相切,;,?,6,?,?,AMF,?,?,BMF,?,7,?,?,DFC,?,90,?,过抛物线,y,?,4,x,的焦点作直线交抛物线于,A,(,x,1,y,1,),，,B,(,x,2,y,2,),两点若,x,1,?,x,2,?,6,，则,|AB|= _,8,过抛物线,y,24,为,_,；一条焦点弦长为,16,，则弦所在的直线倾斜,?,2,角为,_,或,?,3,3,2,2,3,?,12,x,的焦点作倾斜角为,?,的弦，则此弦长,4,焦

6、点弦长,|,AB,|,?,x,1,?,x,2,?,p,2,p,焦点弦长,|,AB,|,?,(,其中,?,为直线,AB,与对称轴的夹角）,2,sin,?,m,2,过抛物线,y,?,2,px,(,p,?,0,),的对称轴上有一点,M (p, 0),，,作一条直线与抛物线交于,A,、,B,两点，若,A,点纵坐标为,p,?,，则,B,点纵坐标为,_,4p,2,2,p,?,y,?,k,(,x,?,p,),2,2,2,由,?,2,?,y,?,y,?,2,p,?,0,?,y,1,y,2,?,?,2,p,k,?,y,?,2,px,例题讲解,例,1,过抛物线焦点,F,的直线交抛物线于,A,、,B,两点，过点,A

7、,和抛物线顶点的直线交抛物,线的准线于点,C,，求证：直线,BC,平行于抛,物线的对称轴,.,y,A,O,F,C,B,x,例题讲解,解,:,设,A,?,x,1,y,1,?,B,?,x,2,y,2,?,则,y,1,2,p,直线,OA,的方程为,y,?,x,?,x,x,1,y,1,p,p,令,x,?,?,则,y,C,?,?,2,y,1,又,y,1,y,2,?,?,p,?,?,?,2,2,2,2,y,O,F,C,B,A,x,p,p,?,y,C,?,?,?,?,?,y,2,2,p,y,1,?,y,2,?,BC,P,X,轴,例题讲解,例,2,:,设,A,B,是抛物线,y,=,2px,?,p,0,?,上的

8、两点,且,2,满足,OA,OB,?,O,为坐标原点,?,求证,:,直线,AB,经过一个定点,.,y,O,A,x,B,例题讲解,解,:,如图,设,OA,的方程是,y,?,kx,?,k,?,0,?,则因,OA,?,OB,1,故可设,OB,的方程为,y=-,x,.,k,y,A,?,y,?,kx,?,2,p,2,p,?,由,?,2,得,A,的坐标,?,2,?,O,k,?,?,k,?,y,?,2,px,1,?,?,y,?,?,x,2,由,?,k,得,B,的坐标,?,2,pk,?,2,pk,?,B,?,y,2,?,2,px,?,2,p,2,p,y,?,x,?,2,k,k,由两点式,得,AB,的方程为,:,?,2,p,2,p,2,?,2,pk,?,2,pk,?,2,k,k,x,例题讲解,2,p,k,?,2,p,?,整理,得,AB,的方程为,:,y,?,?,x,?,2,?,2,?,k,1,?,k,?,k,?,2,p,k,2,p,AB,的方程为,:,y,?,?,x,?,2,2,k,1,?,k,k,?,1,?,k,?,k,2,p,2,p,y,?,x,?,?,2,2,1,?,k,k,?,1,?,k,?,k,k,y,?,x,?,2,p,?,?,2,1,?,k,?,直线,AB,经过一个定点,?,2p,0,?,.,课堂小结,1