高等数学下册总复习

1、 高等数学下册总复习资料 （工科） 广东工业大学华立学院 增城，2008-2-20 目 录 目录 一内容提要 . 1 第八章 多元函数微分法及其应用 . 1 第九章 重积分. 5 第十章 曲线积分与曲面积分 . 9 第十一章 无穷级数. 12 第十二章 微分方程.错误!未定义书签。 二强化训练 . 18 （）04、05、06期末试卷. 18 20042005学年第二学期期末考试试卷 . 18 20052006学年第二学期期末考试试卷 . 22 20062007学年期末考试试卷 . 24 （）自测训练. 27 试卷一 . 27 附参考答案： . 30 试卷二 . 30 附参考答案： . 33 试

2、卷三 . 35 附参考答案： . 38 20052006学年第二学期期末考试试卷（2005级快班试卷） . 39 20062007学年第二学期期末考试（2006级快班试卷） . 42 试卷四. 45 参考答案及提示 . 50 试卷五. 54 参考答案及提示： . 58 高等数学下册总复习资料 高等数学下册总复习 一内容提要 第八章 多元函数微分法及其应用 一、基本概念 1多元函数 （1）知道多元函数的定义 y?f(x,x,?,x)n 元函数：n12（2）会求二元函数的定义域 0；：分母不为 10；：真数大于 20；：开偶次方数不小于 3|u|uz?arcsin1uarccos 或中4：（3）会

3、对二元函数作几何解释 2二重极限 ?A)x,ylimf( ?xx0?yy0(x,y)y(x,的这里动点 是沿任意路线趋于定点00（1） 理解二重极限的定义 （2） 一元函数中极限的运算法则对二重极限也适用，会求二重极限； （3） 会证二元函数的极限不存在（主要用沿不同路径得不同结果的方法） 3多元函数的连续性 ?f(P(P)limf （1）理解定义：0?PP0（2）知道一切多元初等函数在其定义域内连续的结论； （3）知道多元函数在闭区域上的最大最小值定理、介值定理。 二、偏导数与全微分 1偏导数 （1）理解偏导数的定义（二元函数） ?)yxy),ff(x(x,z?0000lim ?xx?0x?

4、)yxy),fy(fx,(z?0000lim ?yy?0y（2）知道偏导数的几何意义以及偏导数存在与连续的关系 （3）求偏导数法则、公式同一元函数 2高阶偏导数 （1）理解高阶偏导数的定义 1 广东工业大学华立学院公共基础部高等数学教研室 （2）注意记号与求导顺序问题 ?22zz?（3）二元函数有二阶连续偏导数时，求导次序无关： ?xyyx3全微分 （1）知道全微分的定义 ?)yx,y)?f(x?f(?x,y?z)(?o?B?yA?x，则表示成若可0000(x,y)(x,y)y?BA?)z?f(x,yx?处的全微分，为此函数在点在点记处可微；称0000dz?A?x?B?y为 （2）知道二元函数

5、全微分存在的充分必要条件： 函数可微，偏导数必存在； ?zzzz?dy?；，） dzBdxA（ ?yyxx?)(odz?z）是否为 偏导数存在，不一定可微（偏导数连续，全微分必存在 方向导数、梯度，只对快班要求 三、多元复合函数与隐函数求导法则 1多元复合函数的求导法则 ?vzuzz? ）（1 ?xxxuv?vzzuz? ?yuvyy（2）对于函数只有一个中间变量的二元函数或多个中间变量的一元函数（全导数）的求导法要熟练掌握 （3）快班学生要掌握多元复合函数（主要是两个中间变量的二元函数）的二阶偏导数的求法 2隐函数的求导公式 （1）一个方程的情形 Fdy?x)xy(y(Fx,y)?0?； ，

6、则确定了若 dxFy?FFzzy?x)(z?)0zx,yzyxF(,确定了 若，则， ?FxyFzz （）方程组的情形22 高等数学下册总复习资料 ?0z)F(x,y,)yxy(? 若能确定，则由?0),zG(x,y)zxz(?dzdy?0FFF? xzydxdx?dzdy?0GGG zxy?dxdx dzdy；可解出与 dxdx ?0,y,u,v)F(xvu),y),yv?v(xu?u(x?，象上边一样，确定了若，可以求出， ?xx0)x,y,u,vG(?uv ，及 ?yy 四、多元函数微分法的应用 1几何应用 （1）空间曲线的切线与法平面方程?),z(x,yt?t)?t?(t)zx?)(t

7、y?处，时，上相应点1：曲线，：，0000?zxyzyx?000 的切线方程：? )(tt(t)(000?zt?x?z?ty?y?tx0)()()()()( 法平面方程：000000?)y(xzyyxzx?),y,z(x000? 处的切线方程：曲线，则点2： ?000?)1x(x)()(zx?00?0)?(x)()?z?(x)(y?y)?zx(x? 法平面方程：00000?0)x,y,zF()z(Px,y,? ：曲线处的切线方程为，则点3：000?0),zG(x,y?zyxyxz?000 FFFFFFyyzxzxGGGGGGyzxxyzPPP FFFF FFyyzx?z?z?xz0)y(x)x

8、y)( 法平面方程：000GGGGGGyzyxxzPPP（2）空间曲面的切平面与法线方程 (x,y,z)0?zyxF(,)?处的切平面方程为：，点：曲面1： 0003 广东工业大学华立学院公共基础部高等数学教研室 Fxyz?x?x?Fxyz?y?y?Fxyz?z?z?0(),)(,)()(, 00z0000x000y000?zyzxyx?000 法线方程： FFFzxy(x,y,z)x,yz?f(?处的切在，2：曲面点：平面方程为：000? )yy)xyx)(f(zxzyf(x,),(000yx0000?z?zyyxx?000 法线方程为： ?1ffyx 2极值应用?z?0? ?x),yf(x

9、z?，求出全部驻点，：先用必要条件）求一个多元函数的极值（如）（1?z?0? ?y?zzz 再用充分条件求出驻点处的与，xxxyyy；AC?B?A?0A?02时有极小值；时有极大值， ，0AC?B?2时无极值 0（2）求最值 1：纯数学式子时，区域内驻点处的函数值与区域边界上的最值比较； 2：有实际意义的最值问题 （3）条件极值 m个条件下的极值时，用拉格朗日乘数法 求一个多元函数在一个或?(x,y,z)yxz?0下的极值时，取 与),yz?f(x,u0,)(在条件如：21?(x,y,z)z)?(x,y,z)y;,F(xy,zf,)?(x, 222111?0Fx?0F?y?zy0Fx? ，解方

10、程组，求出z?0?1?0?2(x,y,z)(x,y,z)为极大（或极小）值点就是可能的极值点；再依具体问题就可判定则 4 高等数学下册总复习资料 第九章 重积分 一、 二重积分 n?)limdf(,f(x,y) 定义： 1 iii?0?1i?D)(n?z?f(x,y),y)xf(0d,y)f(xD为底的时，2 几何意义：当表示以曲面为顶，以D 曲顶柱体体积f(x,y)D的质量 为密度的平面薄片物理意义：以3 性质 ?d)x,kyf(kf(x,y)d 1：DD?d),yg(,f(xy)dyf(x,)xg(x,y)d 2：DDD?dy),f(x,y)df(x,y)d(xfD?D?D 3：若，则21

11、DDD21?1?(fx,y)?dx,y)f( 4：时，DD?(x,)y),(xyD，则5：若在 上 ?df)d(y)(x,y)dx,(xyd)x,yf( DDDDf(x,y)f(x,y)MDm，则在闭区域 上连续，且6：若?dy)f(x,?Mm? DDD?)?(D,)f(x,yD，使7：（中值定理）若上连续，则必有点在闭区域 ?,)d)?f(xf(,y D yD?)(y?x2 4 二重积分的计算法 （）在直角坐标系中1?XD 1：若积分区域型区域为?bax?(x?y)D?： ?1?)(yx)(x?aObx12yx：则分积次的先为化后二?X型区域5 广东工业大学华立学院公共基础部高等数学教研室

12、?(xb)?2f(x(fx,y)dxdy,ydx)dy?)xa(1 Dy?YDd 为2：若积分区域型区域?dyc?)y(x?D?： ?)x?y(2?)y)x(y1?12cyx 后则化为先的二次积分：xO?d)(y?2dx)y)dxdy(x,dyyf,f(x?Y型区域 ?)c(y1D 2（）在极坐标系中?)sin,y)?f(rcosrf(x,rdrdd? , D 外：1：极点在?D?： ?)(r)(?21 则有?)(?2rdry)dcos),drsinf(rf(x, r?O)(1DD外极点在D ：极点在的边界上：2 ?D?： ?)r0(? 则有r?)(O?d)f(rcosr,sind)xrdr,

13、yf( ?0D的边界上极点在DD 3：极点在内：?20D?： ? )r0(? 则有Or?)2(?rdrsin)f(rcos,),(fxydrd 00DD内极点在 在计算二重积分时要注意： ：选系：是直角坐标系还是极坐标系；122yx?或两个积分变量之若积分区域是圆域、环域或它们的一部分；被积式含有6 高等数学下册总复习资料 xy、比时，一般可选择极坐标系 yx：选序：当选用直角坐标系时，要考虑积分次序，选错次序会出现复杂或根本积不出2 的情况（二次积分换次序）yDx轴）对3：积分区域的对称性与被积函数的奇偶性要正确配合，如：轴（或关于yx （或称时，应配合被积函数对于）的奇偶性?bxa)(yx

14、(,y)?f(x)?ffD?则二重积分可化为两个定积，积分区域4：若,:21?dcy? 分的乘积 三重积分二、 n?vlim,f)dv(),f(xy,z 定义：1 iiii?0?1i?)n(),z(x,yf? 为密度的空间体 物理意义：以的质量2)yz(x,z? 3 性质（与二重积分类同）z 三重积分的计算法4 ）在直角坐标系中（1?Dy)(x,xy? 为：1：若?),zyz(x(zx,y)?21),yz?z(x1xOyD?O 在此处面上的投影，为yxyD)yx,)z?z(,z?z(xy?xy 分别为与的x21 下界面和上界面方程，则?)yz(x,?2dxdydzy,z)f(x,yf(x,z)

15、dxdydz ?)y(x,z1?Dxy?CCz 210z? 为：2：若?D)x,y,z(?z0C02Dz0zz?D? 此处为用平面截时所得的截面面积，0zz00C?2dxdyz)dxdydz,dz(fx,yzyxf(, 则C1?DzC01y O 2（）在柱面坐标系下x7 广东工业大学华立学院公共基础部高等数学教研室 ?)(r)? 若，则为：21?),z(r,()rzz?12?),z(r)?22dzzrdrsin)(dxdydzf(x,y,z)rcosd,rf ?)()r,z(11? ）在球面坐标系中（3?21? 若，则为：21?)z)(,?12?),(?ddxdydz?dfdxfyz2222s

16、in,),cos(,(,sin)sinsincos?)(,111? ：柱面坐标、球面坐标对普通班不要求；注：1 ：三重积分的计算也有选系、选序的问题；2 ：积分区域的对称性与被积函数的奇偶性要正确配合；3?bxa?)(zy)?ff(x)?f(zf(x,y,)?dyc?，则三重积分化：若4，而是长方体：312?fez? 为三个定积分的乘积 重积分的应用三、 几何应用1?d （1） 求面积：DD?dv)df(x,y 2（） 求体积：，?D)yx,z?f(xOy?D的面积为：在求曲面面积：若：，则面上的投影为（3） xy22?zz?dxdy1A ?yx?Dxy2 物理应用 ?(x,y?,z)dvm?

17、 dym),(x； （1）求质量：?D11?dyyy)(xx)x(x,yd,；（求重心： 2） mmDD11?xdxydy ；在均匀情况下，重心公式可变形为： ?DDDD? 同理，可得到空间体的重心坐标8 高等数学下册总复习资料 （3） 求转动惯量： ?22?dyJ)J(xyx,(x,y)dJ?J?J ；yxoyxDD同理可有空间体对坐标面、坐标轴的转动惯量 第十章 曲线积分与曲面积分 一、曲线积分 1定义： n?limy)sdsf(f,()x, ）第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：（1iii?0?1iLn?limz)ds,(,x),ys,ff(） （iiii?0?1iL物理意义：曲线的质量

18、 （2）第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）： n?y,y)dy(,lim)()xxP(,y)dxQQ(xP iiiiii?0?1iL?R(x,y,zy,z)dy)zP(x,y,)dxdzQ(x,L n?z),)ylim(,P(,)Rx(Qiiiiiiiiiiii?0?1i物理意义：变力沿曲线所作的功 2性质： ?L?L?L） ）（121LLL21?f(x,y)f(x,y)dsds 2）第一类：（?LL? 第二类：?LL（3）两类曲线积分的联系 ?)dsQ(PPdxcosQdycos LL?(x,ycos)?cos处切线的方向余弦是曲线上点， 其中?dsQcos)PdxRQdyRdzP(cosc

19、os ）（LL3计算法（化线积分为定积分） ?(tx)?t?L?： ，则，?(ty)?9 广东工业大学华立学院公共基础部高等数学教研室 ?dtttt?xyds?ftf22),)(,()( ?L?dtttxPydx?Qxydy?tP?ttQt)()(,)(),),(,()( ?L?xx)(xy?fbLLxa? 注意：为时，取，为?)yxf(? 格林公式及其应用4?PQ?dxdyQdyPdx （1）格林公式：? ?yx?DLQDP ，上具有一阶连续偏导数；注意：1：在DL ：的正向边界曲线；是单连域2D 为多连域，先引辅助线，后再用格林公式3：若 ）平面上曲线积分与路径无关的条件（2QGGBAP内

20、任意两点，则以下四个命在单连域，内有一阶连续偏导数，设为 题等价：?QdyPdxL 与路径1：无关；LAB?CG0?QdyPdx 2：对于有内任意闭曲线；C)yx,?Qdyu(PdxG 的全微分；为某函数3：在内，?PQ?G内处处成立在：4 ?yx(x,y)?Q(x,yy)dx)dyu(x,y)(Px,） 3中有：（)(,yx00二、曲面积分 1定义： （1）第一类曲面积分（对面积的曲面积分） n?limz)dSxf(,f(,y,),S iiii?0?1i?1?),f(xy,z?SdS 物理意义：曲面的质量。时，? 2（）第二类曲面积分（对坐标的曲面积分）10 高等数学下册总复习资料 ?Rdx

21、dydSvPdydzQdzdx? ?n?)P(R,(,)(,)lim,Q(),(,)xyiiiiiiyziiiiiixz?0?1i 2性质? ）（1?21?fdSfdS? ）第一类：（2? 第二类：? （3）两类曲面积分的联系?dS?Rdxdy?cosRPcoscos?QPdydz?Qdzdx ?cos),z(x,y?coscos ，处法线的方向余弦其中：上点是曲面， 3计算法（化曲面积分为二重积分）),y?z(xzxOy?D 面上的投影为在第一类：若曲面，则：，xy22?zz?dxdy)f1x,y)f(x,y,zdS,z(x,y 等等?xy?Dxy 第二类：?dydzy,z(),y,zdyd

22、zy,zP),xP(x ?Dyz前、后?dzdx),zdzdx)(x,Qzx,yQ(x,y,z ?Dxz右、左?dxdy)x,yx,y,(Rx,y,z)dxdyz(R ?Dxy上、下 高斯公式及其应用4),zx)P(,yR,y,z)(x,y,z(Qx?、函数、设空间区域所围成，是由分片光滑的闭曲面? 上具有一阶连续偏导数，则有在?RPQ?dxdydz?RdxdyPdydzQdzdx ? ?zxy?的边界曲面的外侧； 注：1：是2：非封闭曲面，必须添加辅助曲面，先封闭后再用公式 5通量与散度、环流量与旋度（普通班不要求） 11 广东工业大学华立学院公共基础部高等数学教研室 ?Rdxdy?Pdyd

23、z?vQdzdx?ndS 通量：?RPQ?vdiv 散度： ?zxy?dsAQdz?PdxQdy? 环流量：?kij?Arot 旋度： ?zyxRQP 第十一章 无穷级数 一、 常数项级数 1 基本概念 ?u?u?uu?的无穷和式，其中每一项都是常数 （1） 定义：形如n2n1?1nn?uS 部分和：（2） in?1i?limS存在（不存在） （3） 常数项级数收敛（发散）n?n?（存在时） SlimS和4） （n?n注：发散级数无和 ?urSlimSn项后的余项时，称级数 为原级数第余项：当（5） ?innn?n?1i2 基本性质 ?kSSkuuuku 与 ，则；敛散性相同，且若1（）nnn

24、n11n?1?n?1?nn?u?uS?vsv 若（2） ，则nnnn?vuuv?必发散；发散，则：若推论1收敛， nnnn?vuuv?不一定发散推论与都发散，则2：若 nnnn（3） 在级数前面去掉或添加、或改变有限项后所得级数与原级数的敛散性相同（收敛级12 高等数学下册总复习资料 数的和改变） （4） 收敛级数加括号（按规则）所得级数仍收敛于原来的和； （收敛级数去括号不一定收敛） ?ulimu?0收敛，则必有 （5）若级数nn?n1?n?u0u?lim必发散）（若，则 nn?n1?n3 几个重要的常数项级数 ?a?1q|?1n aq?； 等比级数（1）q1?1q|1n?发散?1? 发散；

25、2） 调和级数（ n1?n?1?p?10p?0p1p?级数 ），（时发散）（；时收敛， 3） pn1?n?1? 收敛 （4） 倒阶乘级数 !n1?n4 常数项级数的审敛法 （1） 正项级数的审敛法 ?vu均为正项级数 设与nn1n?2n?S?u有界；收敛 1：nn1?n2：比较法 ?uuvvvu收敛（发散），则，（ 若）收敛（发散），且nnnnnn1?n?1n?u?n?l?0limluv：若，1与 推论，则具有相同的敛散性 nnv?nn?1n?1n?ululimn发散；：若2，则 推论nn?n1?n?p1p?lnulimu收敛）若，则 （nn?n1n?13 广东工业大学华立学院公共基础部高等数

26、学教研室 ：比值法3?u1收敛时?n?1n?u?1n?limu1? 若，则有发散时 nu?n?1nn?u1待定时?n?1n ：根值法4?u1收敛时?n?1n?ulimu1? ，则当若n发散时nn?n?1n?u1待定时?n?1n 2（） 交错级数的审敛法?1nu?0u1)(）满足：（莱布尼兹定理：若交错级数 nn?1nuu 1：?n1nlimu?0 ：2n?n?1n|r|uuu()1S， 收敛，且其和则?nn 11n?1n（3） 任意项级数的审敛法 ?u0limu?发散；1：若，则 nn?n1n?uu|绝对收敛；2：若收敛，则 nnn?11n?u|u|u 3：若条件收敛 发散，收敛，则nnn1?

27、1?1nnn 二、 函数项级数 1基本概念?(x)?u(x)?u(x)?u(xu)?；定义：形如）（1 n1n2?1n（2） 收敛点、发散点、收敛域、发散域； 14 高等数学下册总复习资料 n?)xuS(x)( （3） 部分和：；in?1i?)uS(x)xS(x)(lim （和函数：在收敛域上4） nn?n?1n 幂级数2?xn?n时有：0xxaax ，当；（1） 定义：0n0n0n?0n （2） 性质?nn|x|?|xx|xaax 处收敛，则当绝对收敛（发散）；1：若时，在00nn0n?n?0?nn|x?|x|xxaxa 发散处发散，则当在 若时，00nn0n?0n?n?xxax间的区对级数

28、称除端点外是关于的收敛域，2：幂00n?0n)R?R,x(x? ，两端点是否属于收敛域要分别检验00?n)xS(R,?Rxa 内，此级数的和函数3：在的收敛区间连续n0n? 收敛区间的求法） 3（ a1?R?1n ；，得收敛半径lim：不缺项时，先求1 ?a?nn)?R?R,xx( 再验证两端点，则收敛域收敛的端点00u(x)? 1n?)x(lim x1?(x)的所等项2：缺时，先，解求不属区式得间u(x)?nnx?x?xx(x,x)x收敛的端点， ，再验证端点，则收敛域2111223 幂级数的运算 （1） 幂级数在它们收敛区间的公共部分可以进行加、减、乘、除运算 （2） 幂级数在其收敛区间内

29、可以进行逐项微分与逐项积分运算，即 ?n|x|?R)x(aSx，则有： ，n?0n15 广东工业大学华立学院公共基础部高等数学教研室 ?1nnnR|?|x)Saxxax(nax ；，?nnn?0nnn00?a?xxx?1nnnn|x|?Rdxaxdxx)dxS(xxa ， nn?1n?000?00n0nn4 函数展开为幂级数 x)xf(的某邻域内具有任意阶导数，则1） 充要条件：若函数 在点（0?(n)(x)f?n0)(xxf(x)?limR(x)?0 0nn!?n?0n?n)f(x)xax(f(x)，则其系数在某区间内能展开成幂级数 （2） 唯一性：若0n?0n1n?0,1,2,?)(n）（

30、 ，)f(xa 0nn!（3） 展开法： 1：直接法（见教材P218） 2：间接法 利用几个函数的展开式展开 ?nx?xe)?(?,? ， !n?0n?112n2nxx?n1n)(1)1sinx),?(? ，或 ?)!11)!(2n(2n?1nn0?n2x?n)cosx(1)?(?, ， )!2n(?0n?1?n)11,(?x ， ?x1?0n?1nx?n)1(lnx11?1,( ， ?)(n1?0n?)m(1m(m1)(mn2)?m?n),1(?1x11x ， !n?1n5 傅立叶级数 （此内容只适用于快班） ?a?0abnxbsincosanx是由尤拉（1） 定义：如果三角级数，中的系数

31、nnnn2?1n16 高等数学下册总复习资料 傅立叶公式给出，即1?,?0,1,2nnxdxcos(xa)f ；， ?n?1?,n?1,2nxdxsin(x)fb ， ?n?)xf( 则称这样的三角级数为 的傅立叶级数 收敛定理） （2?)(xf2的周期函数，如果它在一个周期内满足：连续或只有有限个设是周期为)xf( 的傅立叶级数第一类间断点；单调或只有有限个极值点，则?xx)f(为连续点?a?0)0f(f(xx0)nxcosnxsinab? 收敛于 nnx2为间断点? ?1n2)xf( ） 函数展开为傅立叶级数的方法：（3)xf( 1：求的傅立叶系数； 中的系数代入三角级数式；2：将1 ：写

32、出上式成立的区间3 （4） 正弦级数与余弦级数?a?00?a0?bnxcosanxbsin）为正弦级数；称（）为余称 nnnn21?1nn 弦级数?0?a)xf(,?sinnxb，其正弦级数为为奇函数，则有若在上，nn1?n2?n?1,2,?nxdxsinbf(x)）（，； ?n0?b?0)f(x,?，其余弦级数为上，若在为偶函数，则有n?a2?0n?0,1,2,?nxdx(fx)acosnxcosa），（；， ?nn20?1n?f(x)f(x),0进若是定义在上的函数，要求其正弦（余弦）级数，可先对行奇（偶）延拓； ?f(xx,0)?)xF(? 奇延拓：?0fxx(),?17 广东工业大学华

33、立学院公共基础部高等数学教研室 ?f(,xx)0?)xF(? 偶延拓：?,0)f(x)x?2l的函数的展开情况与上边类似（略）对于周期为 二强化训练 （）04、05、06期末试卷 20042005学年第二学期期末考试试卷 一、 单选题（每小题4分，共16分） 1 下面结论错误的是（ ） b?f(x)dx)ba)(,f(x必存在在 （A） 若内连续，则af(x)f(x)a,b,ba上必有界在 在上可积，则B（） 若 f(x)xf(ab,ab,上必可积 （C） 若在上可积，则在f(x)f(x)a,ba,b上必可积上单调有界，则（D） 若在 在?1?cos?a?cos)?k(2i?2ja?cos分别

34、是（ ，则，的方向余弦若矢量2 ） ， 3221221221221? ，C），（A）D ，（B），） （ 333333333333z轴的平面是（ ） 3 平行于0?3x?2z00x?1y?zy32x?y?10?04?z? ）C（A）B）（）（D ?a?y?D?xyx?ya?222220,0(,)|二重积分，在极坐标中，dxdyx)y(可4 设D表示为（ ） ?aa?23drrrddrd ）（A）B （0000?aa?32 drddrdrr22 ） C（）（D?00 22二、 填空题（每小题4分，共16分） 18 高等数学下册总复习资料 ?4?xdxxsin 1? ? ?k3i?a?bak?2i

35、?3j2b? ，则2 设， ?zz?3x?z?xy? ，则设3 ?yx ?kdxdy?2,0?y?|(x,y)0?x?1D? 设区域，则4 D 分）计算题（每题三、 6分，共481?x1dxe计算 10 zOx),1,?2(2平面相切的球面方程 求球心在点并与 2 ?xdxdydz?x?2y?z?1所围成的闭区域为三个坐标面及平面计算 ，其中3 ? z C(0,0,1) O 1y),0,B(0 2 xA(1,0,0) ?x?2xydy?xD1y? 计算 4所围成的闭区域及，是由直线，其中D 19 广东工业大学华立学院公共基础部高等数学教研室 y x?y 2?xD 1?y x O21 ?222x

36、y?dyy)(x(2xyx)dxL和是由抛物线应用格林公式计算曲线积分：，其中5L2xy? 所围成的区域的正向边界曲线 ?0yy?y5?2 的通解 求微分方程6 1x 展开成的幂级数7 将函数 2x1? ?n)x1(? 求幂级数8 的收敛域 ?nn2?1n 20 高等数学下册总复习资料 四、 综合题（共14分） ?cosxr?sec?rdrdrrf 化为直角坐标系下的),cossin(?4将积分1 设有关系式，?sinyr?00二次积分。（6分） xx?3dt)dt(f(x)txtf1fx(t)(x(x)ff。设为连续函数，求，其中 8（分） 200 证明题（五、 6分）aya?)xf(xx)

37、f()(mn)xnm(dx)edxedya(x 000 21 广东工业大学华立学院公共基础部高等数学教研室 2006学年第二学期期末考试试卷2005 20分） 选择题（每题4分，共一、1? ） 的定义域（ z 1 ?)yln(x1?0x?y?y?1x?y?xx?y?0x?y?0 且D AC B )y(x,)z?f(x,y ）处可微的充分条件是（ 在 200?),()f,(xy ，都存在yxfA00x00y?),(),()(x,fyyx在，yxf 的某个邻域内都连续B0x0000y0)y(x,),yf(x 在连续C00?)(,),y(xf ，相等yfxD0x000y?a?a （ ）时，为常数）收

38、敛 当（ 3 nq1?n1|?1|q|q?1q|?1q D B C A ?1dxdy?D ）围成时， 4 当积分区域 是由（ Dx2?x?1xy4?0yy?2?2x?3y? BA轴、轴及及，11?|x|?y1y|?|?1|x?|x?y ，C ，D 222yd?y0 ）5 的通解是（ 2dxxsinysinx?By?A A B x?BcosyBcosx?Asinxy?sinx? C D 24分）二、 填空题（每题4分，共?z?)?xarcsin(yz 1 ，则 ?y ?2?dy2xydx?xL 2 是一条分段光滑的闭曲线，则 L22 高等数学下册总复习资料 n2xxx? 3 的收敛域是 ?2n3

39、13n32 xlne?dy,dxy)f(x 改变积分次序4 01 ?22?tacosx?t20?ds(x?y)Ltay?sin （）， 为圆周：，则5 L 分）分，共40三、 计算题（每题10?22?yxadxdyeD ，1 的圆周围成的闭区域：中心在原点半径为D ?2adxyL ，圆心在原点，逆时针绕行的上半圆周半径为2 ，L dS?2222a?z?x?yah?z?h0? （：球面 被平面，）截出的顶部3 z? x?2 0yyyxdxx ，求满足 4已给之特解?x00 a 分）把正数分成三个正数之和，使它们乘积最大，并由此结果证明四、 （12x?y?zx?0z?0xyz0y?3）（， ， 3

40、 23 广东工业大学华立学院公共基础部高等数学教研室 ?2x00dxdy|y|xyD11 ，其中区域 五、（8分）计算为D 学年期末考试试卷20062007 分）一、填空题（每小题4分，共20y?dzxz? ，则 1 设 ?3?dxdy?3(x)siny2?0?y|)|x|?1D?,(x,y 2 设平面区域，则 D?23?)dydx?(siny?x(3xy?cos2x)L 3 设 为平面上任意正向简单闭曲线，则 L?n)1(x? 4 幂级数 的收敛域是 n ?1n?0?6?yyy? 微分方程 的通解是 5 20分）二、选择题（每小题4分，共?z?)1xy?z?sec(） 1 设 （ ，则 ?x

41、)1tan(xy?y)sec(xy?1)xyxsec(xy?1)tan(?1 ）（A （B） )1xy?ytan(?xxy22)tan(1 ）（D ）（C?200?yzdvxy?112|xz） ， ，则 设2 是长方体： ，（?3210 ） （A） （BD） （ （C） 233?22(x?y)dx?(2x?y)dy?32y?xx2L（ 则是圆域 3设的正向周界， ） 24 高等数学下册总复习资料 ?33?2?2 （C（A）（ （B）D ?n4?3x?x?)1a(x ） 处收敛，则该级数在 4 幂级数 处（ 在n?0n （D）收敛性不能确定）条件收敛 （C）绝对收敛 （A）发散 （B2dydy?Cx1xy?C? ）5 （为任意常数）是微分方程函数 的（ 2dxdx ）是解，但既非特解，又非通解）不