湖南省师范大学附属中学2019学年高一数学下学期期中试题【含解析】

1、湖南省师范大学附属中学2018-2019学年高一数学下学期期中试题（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知角终边上一点坐标为，则为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】，代入即可。【详解】故选：D【点睛】根据的坐标表示直接代值即可，属于简单题目。2.（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】题干形式类似和差公式且，代入原式即可。【详解】 ，带入原式即原式= 故选：A【点睛】观察式子发现类似和差公式，转化成相同角代入公式求解即可，属于简单题目。3.已知点D是所在平面上一点，满足，则（

2、）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由易得D为的五等分点，且选项是和的关系，通过，代入整理即可得到。【详解】 ， 即故选：C【点睛】此题考查平面向量的运算，观察选项是要得到 与和的关系，所以通过两个三角形将表示出来化简即可，属于较易题目。4.已知锐角，满足，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】，代入求得，即可求得。【详解】又，为锐角 故选：B【点睛】此题考查基本的和差运算公式，熟记公式即可，属于基础题目。5.对3个非零平面向量，下列选项中正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 两两之间的夹角可以都是钝角【答案】D【解析】【分析】向量两个特殊

3、情况：共线和零向量，可排除A,B；向量不满足交换律所以C错。【详解】(1) 与在同一条直线上，故A错（2）可能为0向量，故B错（3）向量运算不满足交换律，所以C错（4）两两之间的夹角可以都是钝角，如都为故选：D【点睛】此题考查平面向量运算，向量两个特殊情况：共线和零向量。为常考考点，属于基础题目。6.下列各选项中与的值最接近的一项是（ ）A. B. C. 0D. 【答案】B【解析】【分析】的周期是,即，代入计算即可。【详解】所以与最接近。故选：B【点睛】此题考查三角函数的周期问题，的周期,属于基础题目。7.已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】因为在第二象限，所以，代

4、入即可。【详解】在第二象限又故选：B【点睛】此题考查余弦和差公式：，属于基础题目。8.已知向量，且，则实数的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】，即通过坐标运算公式：，代入数据即可求出值【详解】，且即故选：C【点睛】此题考查向量的坐标运算，代入计算即可，属于基础题目。9.已知锐角，满足，则下列选项正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】观察式子可将，即 ，化简易得，即【详解】又，是锐角，则，即，故选：B【点睛】此题考查和差公式的配凑问题，一般观察式子进行拆分即可，属于较易题目。10.已知向量满足，且，则与的夹角的余弦值为（ ）A. B. C. D

5、. 【答案】A【解析】【分析】根据向量数量积以及夹角公式化简求解。【详解】由已知得得：故选：A【点睛】此题考查平面向量的数量积，向量积的两个运用：（1）计算模长，；（2）计算角，。如果两非零向量垂直的等价条件是11.已知函数，其中为实数，若对恒成立，且，则的单调递增区间是A. B. C. D. 【答案】C【解析】【详解】因为对任意恒成立，所以，则或，当时，则（舍去），当时，则，符合题意，即，令，解得，即的单调递减区间是；故选A.12.给出如下四个函数：；，b，c为常数；其中最小正周期一定为的函数个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】将表达式化简，周期.【详解】周

6、期为周期为；对，当时，易知不恒成立，周期为；因此仅有满足故选：B【点睛】此题考查三角函数的化简，熟记和差公式和两个基本公式即可，另外求最小正周期的前提是函数是周期函数，属于较易题目。二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13.已知向量，且，则等于_【答案】【解析】【分析】，带入数值可得，再根据，易得的取值。【详解】 即又， 故：【点睛】此题考查向量平行的坐标运算，即，属于基础题目。14._【答案】1【解析】分析】式子中出现和，通过对其进行化简。【详解】原式【点睛】此题非特殊三角函数化简问题，一般先观察数据特点和特殊角联系，另外熟记正切和差公式，属于较易题目。15.已知，则_【答案】

7、【解析】【分析】观察前后式子，配凑，通过诱导公式展开即可。【详解】【点睛】此题考查三角函数的正弦和差公式结合二倍角公式进行化简，属于较易题目。16.在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线交CD于点F，两条对角线AC与BD的长度分别是5和4，两条对角线所成的锐角是，则_【答案】【解析】【分析】，又，化简求出，的值，再代回去求解的值即可。【详解】又则【点睛】此题考查向量的运算，一般通过两个方面表示同一个向量求解未知数，属于一般性题目。三、解答题：本大题共6个小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.已知.（1）求的值；（2）若，求的值【答案】（

8、1）；（2）【解析】【分析】（1）由已知易得，对分母除“1”变化，化简即可求解。（2）由及得，再由半角公式易得；或者先求得的正弦值和余弦值，再求解。【详解】（1）由得，则.（2）得，由及得，则，,或：由及得从而，【点睛】此题考查三角函数化简中的除“”变化以及半角公式的使用，属于较易题目。18.在中，E点满足，D是边OB的中点，（1）当时，求直线AD与OE相交所成的较小的角的余弦值；（2）求的最小值【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由已知易得，建立坐标系，通过坐标表示出向量与，则代入数据即可。（2）因为其最小值就是原点O到直线AB的距离D通过点到直线距离公式求解即可；另还可通过坐标表示

9、构造成一元二次函数求解最小值。【详解】（1），则如图建系，又即E为AB的中点，据已知有，则， 设与的夹角为，则，即直线AD与OE相交所成的较小的角的余弦值是； （2）表示E是直线AB上任意一点，其最小值就是原点O到直线AB的距离D AB的方程是，即的最小值是.另法：，当时取得最小值【点睛】此题考查向量运算，通过建系将向量几何运算转化为坐标运算，属于一般题目。19.设.（1）求的单调递减区间；（2）把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移 个单位，得到函数的图象，求的值.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（）化简,根据正弦函数的单调性可得的单调递增区间；

10、（）由平移后得进一步可得试题解析：（）由由得所以，的单调递增区间是（或）.（）由（）知把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象，再把得到的图象向左平移个单位，得到的图象，即所以【考点】和差倍半的三角函数，三角函数的图象和性质【名师点睛】本题主要考查和差倍半的三角函数、三角函数的图象和性质、三角函数图象的变换.此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简三角函数，进一步讨论函数的性质，利用“左加右减、上加下减”的变换原则，得出新的函数解析式并求值.本题较易，能较好地考查考生的基本运算求解能力及对复杂式子的变形能力等.20.锐角的三

11、个内角是A、B、C，若的外接圆的圆心为，半径是1，且（1）求角A的大小及角B的取值范围；（2）求的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1），求得，又圆心角，即可求出；锐角，任意两角之和大于，任意一个角小于，即可求出的范围。（2）化简式子，又，利用辅助角公式易求得取值范围；另设M是边BC的中点，通过几何关系求解取值范围。【详解】（1）由已知有：，则， 是锐角三角形， （2）,由（1），有，则：故的取值范围是另法：设M是边BC的中点，又，据得，则，是锐角三角形，当B或C取临界值时最小，当时最大是则，【点睛】（1）锐角三角形中求解某角的取值范围：任意两角之和大于，任意一个角小于。（2）向

12、量和三角函数求取值范围综合问题一般会转化为三角函数通过辅助角公式求解。21.如图所示，ABCD是一块边长为7米的正方形铁皮，其中ATN是一半径为6米的扇形，已经被腐蚀不能使用，其余部分完好可利用工人师傅想在未被腐蚀部分截下一个有边落在BC与CD上的长方形铁皮，其中P是弧TN上一点设，长方形的面积为S平方米（1）求关于的函数解析式；（2）求的最大值【答案】（1）；（2）平方米【解析】【分析】（1），将用表示，易得到关于的函数解析式。（2）由（1）可知是关于的三角函数，通过换元转化为一元二次函数求解最值，注意换元后定义域也一同变换。【详解】（1）延长RP交AB于E，延长QP交AD于F，由ABCD是

13、正方形，PRCQ是矩形，可知，由，可得，故S关于的函数解析式为（2）令，可得，即，又由，可得，故，关于t的表达式为,又由，可知当时，S取最大值，最大值平方米【点睛】此题考查三角函数最值问题，关键点在对式子灵活换元处理，换元后新函数的定义域一同改变，属于一般题目。22.对函数，已知是的零点，是图象的对称轴.（1）分别求出与的取值集合；（2）若在区间上是单调函数，满足条件的最大的记为，且对取时的函数，方程在区间上恰有一根，求的取值范围.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）将代入可求得，的式子，又，可求出与的取值集合；（2）在区间上是单调函数，可知，即的最大值可能是11、13、15。代入得到三个函数，符合条件的最大的为。此时，通过的范围即可求出a的范围。【详解】（1）：是的零点，是图象的对称轴， 又，则恰取，0，1这四个值，相应的与依次是：，且，则的取值集合是，即正奇数，的取值