复变函数与积分变换试题

1、复变函数与积分变换试题复变函数与积分变换期末试题一填空题11-i 的幅角是；2.2Ln 的主值是1f =）f ，4z =0是z -sin z 1f =的极点；5 ，Re s f , =；z 4z二选择题1解析函数f =u +iv 的导函数为；f =u x +iu y ； f =u x -iu y ；f =u x +iv y ； f =u y +iv x .C2C 是正向圆周z =3，如果函数f =，则f d z =033 3 ； ； ；2z -2z -2nc z 3如果级数nn =1在z =2点收敛，则级数在z=-2点条件收敛 ； z =2i 点绝对收敛；共6页第 页z =1+i 点绝对收敛；

2、 z =1+2i 点一定发散下列结论正确的是如果函数f 在z 0点可导，则f 在z 0点一定解析；如果Cf dz =0，则函数f 在C 所围成的区域内一定解析；函数f =u +iv 在区域内解析的充分必要条件是u 、v 在该区域内均为调和函数5下列结论不正确的是1为sin 的可去奇点； 为sin z 的本性奇点；z为的孤立奇点sin z1三按要求完成下列各题设f =x +axy +by +i 是解析函数，求2222a , b , c , d .解：因为f 解析，由C-R 条件共6页第 页u v u v =- x y y x2x +ay =dx +2y ax +2by =-2cx -dy ,a

3、=2, d =2, ，a =-2c , 2b =-d , c =-1, b =-1,给出C-R 条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。e zd z 其中C 是正向圆周： 计算C 2z解：本题可以用柯西公式柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算，仅给出用前者计算过程e z因为函数f =在复平面内只有两个奇点z 1=0, z 2=1，分别以z 1, z 22z 为圆心画互不相交互不包含的小圆c 1, c 2且位于c 内e zC 2z d z =C 1e z e z 2d z d z + C 2 2ze z e z=2i +2iz z =1 2=2iz =0无论采用那种方法给出公式至少给一

4、半分，其他酌情给分。z 15d zz =3 2 3解：设f 在有限复平面内所有奇点均在：z共6页第 页z 15z =3 2 3d z =-2i Re s f , -11=2i Re s f 2 -z z11f 2=z z1 15 ) 2z z12z111f 2=有唯一的孤立奇点z =0, z z z 2 311111Re s f 2, 0=lim zf 2=lim =1 2243z z z z z 0z 0z 15d z =2i -z =3 2 3z 32函数f =在扩充复平面上有什么类型的奇3点？，如果有极点，请指出它的级. 解z 3 2f =的奇点为z =k , k =0, 1, 2, 3

5、, ，3sin z ）=0的三级零点，z =k , k =0, 1, 2, 3, 为z =0z3=3为f 的一级极点。共6页第 页z =2, -3, 4 ，为f 的三级极点；为f 的非孤立奇点。备注：给出全部奇点给5分 ，其他酌情给分。1在以下区域内展开成罗朗级数； 2z四、将函数f =0解：当0111f =2=-z1= n n 而n =0= n n n -1n =0f = n +1n n -2 -6分n =0当0111f =2=-2=-2z z znz n =0共6页第 页=-z n -2 -10分n =0当1f =11=z 2 z 3z1n 1=n +3 -14分 n =0z n =0z1

6、f =3z每步可以酌情给分。五用Laplace 变换求解常微分方程定解问题：y -5y +4y =e -xy =1=y =1解：对y 的Laplace变换记做L ，依据Laplace 变换性质有1 s +1s 2L -s -1-5 -1) +4L =整理得11+s -11111 =-+10 6 15 s -1151=+10 6 15L =1-x 5x 14xe +e +e 10615共6页第 页y =六、求f =e+-t的傅立叶变换，并由此证明：cos t -td =e 220+-t-i t解：F =e e-+dt -3分F =e-i t te dt +e -i t e -t dt+=e-td

7、t +e - t dt=et 0-e- t +F =112+ =2 -4分 2-i +i +1f =1=-e i t F d - -5分+-e i t2d 22+=21+2+2-d =+cos t i +2+2sin t-2+2+共6页第 页f =2+cos t ， -6分 22+cos t -td =e 220+复变函数与积分变换期末试题简答及评分标准填空题；2. Ln 的）；3.f =11+z 2f =；z -sin z 1f =f =Re s f , 0=4 ， ；5 。z 2z 3Res f , =；二选择题1解析函数f =u +iv 的导函数为；f =u y +iv x ； f =u

8、 x -iu y ；f =u x +iv y ； f =u x +iu y .C2C 是正向圆周z =2，如果函数f =，则f d z =03z 3z 3； ； . 22z -1共6页第 页3如果级数c n z n 在z =2i 点收敛，则级数在n =1z =-2点条件收敛 ； z =-2i 点绝对收敛； z =1+i 点绝对收敛； z =1+2i 点一定发散 下列结论正确的是如果函数f 在z 0点可导，则f 在z 0点一定解析；如果f dz =0, 其中C 复平面内正向封闭曲线, 则f 在C 所围成C的区域内一定解析；函数f 在z 0点解析的充分必要条件是它在该点的邻域内一定可以展开成为z

9、-z 0的幂级数，而且展开式是唯一的；函数f =u +iv 在区域内解析的充分必要条件是u 、v 在该区域内均为调和函数5下列结论不正确的是 、n z l是复平面上的多值函数； 、cosz 是无界函数；z 、sin z 是复平面上的有界函数；、e 是周期函数三按要求完成下列各题2222求a , b , c , d 使f =x +axy +by +i 是解析函数。解：因为f 解析，由C-R 条件共6页第 页u v u v =- x y y x2x +ay =dx +2y ax +2by =-2cx -dy ,a =2, d =2, ，a =-2c , 2b =-d , c =-1, b =-1,

10、给出C-R 条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。C1d z 其中C 是正向圆周z 2z=2；解：本题可以用柯西公式柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算，仅给出用前者计算过程1在复平面内只有两个奇点z 1=0, z 2=1，分别以z 1, z 22z因为函数f =为圆心画互不相交互不包含的小圆c 1, c 2且位于c 内1C 2z d z =C 111 2d z d z + C 2 2z11=2i +2i z z =1 213z=0z =0z ed z ，其中C 是正向圆周z =2； 计算C解：设f 在有限复平面内所有奇点均在：zz =2f dz =-2i Re s f , =2i

11、c -1 -共6页第 页131z 21z z e z e =-=-z 2 23231 z 2! z 3! z z z z 1-z=- 2232! 3! z 4! z z z z811+) =- 32! 3! c -1=-dz =-2i 33函数f =在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有 3极点，请指出它的级.f 的奇点为z =k , k =0, 1, 2, 3, ，3z =k , k =0, 1, 2, 3, 为=0的三级零点。z =1, 为f 的二级极点，z =-2是f 的可去奇点。z =0, 2, -3, 4 ，为f 的三级极点；为f 的非孤立奇点。给出全部奇点给5分。其他酌情给分。共

12、6页第 页 11四、将函数f =朗级数； 1在以下区域内展开成罗z 200解：当0111f =2= z1n -1n =n = 而 n =0n =0f =n n -2 -6分n =0当011f =2=z z 2n n z n =0= z n -2 -10分n =0当1共6页第 页12f =11=z 2 z 3z1n n 1 = n +3 -14分 z z n =0n =01f =3z五用Laplace 变换求解常微分方程定解问题y +2y -3y =e -x y =0, y =1解：对y 的Laplace 变换记做L ，依据Laplace 变换性质有1 s +1s 2L -1+2sL -3L =整理得s +2 L =131y =-e -x +e x -e -3x 488六、求1t 1f =的傅立叶变换，并由此证明： t 10t0