第十章变化的电磁场

1、,陈国云,2014.6.9,第十章,变化的电磁场,?,I,0,sin,?,t,，式,例,10-1,一长直导线中通有交变电流,I,中,角频率，,和,是,I,表示瞬时电流，,I,?,I,?,0,电流振幅，,0,常量。在长直导线旁平行放置一矩形线圈，线圈平面与,直导线在同一平面内。已知线圈长为,，线,l,，宽为,b,a,。求任一瞬时线,圈近长直导线的一边离直导线距离为,圈中的感应电动势,解：,某一瞬间，距离直导线,x,处的磁,感应强度为,?,I,a,b,B,?,o,2,?,x,I,l,选顺时针方向为矩形线圈的绕行,正方向，则通过图中阴影部分的,磁通量为,x,d,x,在该瞬时,t,，通过整个线圈的磁通

2、量为,m,I,l,d,x,d,=,b,cos0,d,S,=,2,p,x,o,a,?,b,?,?,?,d,?,?,?,a,由于电流随时间变化，通过线圈的磁通量也随时间,变化，故线圈内的感应电动势为,m,0,lI,0,骣,d,F,a,+,b,d,e,i,=,-,=,-,ln,?,sin,w,t,?,?,桫,a,d,t,d,t,2,p,?,0,lI,0,?,?,a,?,b,?,?,?,ln,?,?,cos,?,t,2,?,?,a,?,感应电动势随时间按余弦规律变化，其方向也随余,弦值的正负作顺、逆时针转向的变化。,?,o,I,?,0,lI,0,sin,?,t,?,a,?,b,?,l,d,x,?,ln

3、,?,?,2,?,x,2,?,?,a,?,所以，在维持导线向右匀速运动过程中，外力必须,克服安培力而作功，电源,（即导线,MN,）,向回路中,提供的电能来自于外界提供的机械能。,例,10-2,如图已知铜棒,OA,长,L=,50m,处在方向垂直,纸面向内的均匀磁场（,B,=0.01T),中，沿逆时针方向,绕,O,轴转动，角速率,=,100rad/s,求铜棒中的动生,电动势大小及方向。如果是半径为,50cm,的铜盘以上,述角速度转动，求盘中心和边缘之间的电势差,。,?,?,?,显然,、,v,、,d,l,相互垂直，,B,?,d,l,上的动生电动势为,所以,解,:,在铜棒上距,O,点为,l,?,处取线

4、元,d,l,，其方向,沿,O,指向,A,，其运动速度,的大小为,v,?,?,l,。,v,O,A,?,dl,?,?,?,d,?,i,?,(,v,?,B,),?,d,l,?,vB,d,l,L,0,1,2,由此可得金属棒上总电动势为,0,.,01,?,100,?,?,0,.,5,?,i,?,?,B,?,l,d,l,?,B,?,L,?,?,0,.,39,V,2,2,2,?,?,由图可知，,v,?,B,的方向由,A,指向,O,，此即电动势的方向,V,o,?,V,A,?,0,.,39,V,解法二：,设铜棒在,t,时间内转过角度,。则这段时,间内铜棒所切割的磁感应线数等于它所扫,过的扇形面积内所通过的磁通量

5、，即,1,1,2,?,?,B,LL,?,?,?,BL,?,?,2,2,?,1,2,?,?,1,2,?,BL,?,BL,?,所以，铜棒中的电动势为,?,i,?,?,t,2,?,t,2,结果与上一解法完全相同,如果是铜盘转动，等效于无数铜棒并联，因此，铜盘,中心与边缘电势差仍为,0.39V,。此为一种简易发电机,模型。,例,10-3,如图，长直导线中电流为,I,=10,A,，在其附近,有一长为,l,=0.2,m,的金属棒,MN,，以速度,v,=,2m/s,平行于,导线做匀速运动，如果靠近导线的一端,M,距离导线,为,a,=,0.1m,，求金属棒中的动生电动势,。,解：,金属棒上取长度元,d,x,，

6、每一,d,x,处磁场可看作均匀的,I,M,x,?,0,I,B,?,2,?,x,v,dx,l,N,因此，,d,x,小段上的动生电动势为,m,0,I,d,e,i,=,Bv,d,x,=,v,d,x,总的的动生电动势为,2,p,x,e,i,=,d,e,蝌,i,a,=,a,+,l,a,骣,m,0,I,m,0,I,a,+,v,d,x,=,v,ln,?,?,?,桫,a,2,p,x,2,p,x,l,?,4,.,4,?,10,V,?,6,例,10-4,边长为,l,?,5,cm,的正方形线圈，在磁感应强度,为,B,=,0,.,84T,的磁场中绕轴转动，线圈铜线的电阻率,-,8,2,为,r,=,1,.,7,醋,10

7、,m,截面积,S,=,0,.,5mm,，共,10,匝。,线圈转速为,n,=,10r/s,，转轴与磁场方向垂直。求（,1,）当,线圈由其平面与磁场垂直而转过,30,0,时线圈内的动生电动,势；（,2,）线圈转动时的最大电动势及该时刻线圈的位置；,（,3,）由图示位置开始转过,1s,时线圈内的动生电动势。,?,o,b,?,?,v,?,B,?,?,e,n,解：,取逆时针的绕行方向为正,方向，线圈平面与磁场方,向垂直时为计时起点,(,t=,0),当线圈转过角时，,通过单匝线圈磁通量为,c,?,v,?,?,v,?,B,?,v,a,d,o,?,?,?,BS,cos,?,?,Bl,cos,?,设线圈转动角速

8、度为,?,?,?,2,?,n,?,?,2,?,nt,d,d,2,e,i,=,-,N,=,N,(,Bl,cos2,p,nt,),d,t,d,t,2,=,NBl,2,p,n,sin2,p,nt,c,2,?,o,b,?,?,v,?,B,?,?,e,n,（,1,）当,?,?,30,0,?,v,?,v,e,i,=,NBl,2,p,n,sin30,=,0,.,66V,2,o,?,?,v,?,B,a,d,o,?,（,2,）当,sin,2,nt,?,?,1,?,i,最大,q,=,90,q,=,270,等位置时电动势,即当,o,o,?,i,?,NBl,2,?,n,?,1,.,32,V,（,3,）当,t,=1s,

9、时，,2,?,i,?,NBl,2,?,n,sin,2,?,n,?,0,本题也可以将线圈看作由四段长为,l,的导线在磁场,中运动产生动生电动势之和。显然只有,ab,和,cd,两,边切割磁感应线产生电动势,2,l,e,i,=,e,iab,+,e,icd,=,2,NBlv,sin,q,=,2,NBl,w,sin,w,t,2,2,=,NBl,p,n,sin2,p,nt,?,例,10-5,在半径为,R,的无限长螺线管内部的磁场,B,d,B,随时间作线性变化（,）,时，求管内外,=,常量,?,的感生电场,E,d,t,i,。,解：,由场的对称性，变化,磁场所激发的感生电场的电,场线在管内外都是与螺线管,同轴

10、的同心圆。任取一电场,线作为闭合回路。,?,L,E,?,i,?,d,l,?,?,?,L,E,i,d,l,?,2,?,rE,i,?,?,?,?,B,?,t,?,dS,或,E,i,S,?,B,?,?,?,?,E,?,?,?,?,?,?,?,R,?,?,r,?,?,?,?,E,?,E,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,E,?,?,?,1,d,?,2,?,r,dt,（,1,）当,r,?,R,时,E,2,?,r,?,?,?,r,2,?,B,i,?,?,t,?,E,?,?,r,?,B,i,2,?,t,E,?,的方向沿圆周切线，指向与圆周内的,成左旋关系。,?,B,

11、?,?,?,?,E,?,?,?,?,?,?,?,R,?,?,r,?,?,?,E,?,E,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,E,?,?,?,?,d,B,?,d,t,r,?,R,时,（,2,）当,?,B,2,?,B,E,?,2,?,r,?,?,?,?,dS,?,?,?,R,?,t,?,t,S,E,i,R,?,B,?,E,?,?,2,r,?,t,r,2,O,R,螺线管内外感生电场随离轴线距离的变化曲线,例,10-6,在半径为,R,的圆柱形体积内充满磁感应强度为,B,（,t,）的均匀磁场,有一长度为,l,的金属棒放在磁场中,如图所示,设,d,B,/d,t,为已知，求棒

12、两端的感生电动势,.,解法,1,:,选闭合回路,oab,方向为逆时针,a,b,o,r,r,e,E,?,d,r,i,=,i,?,L,b,r,r,=,E,d,r,i,?,蝌,o,r,r,E,d,r,i,?,r,r,E,d,r,i,?,?,b,a,r,抖,B,r,=,-,?,d,S,抖,t,0,a,r,d,?,B,r,=-,=-,?,d,S,d,t,?,t,B,1,2,L,LR,-,t,2,4,2,r,r,=,0,+,E,d,r,i,?,I,B,R,o,b,a,=,e,ab,方向为,ab,L,解法,2,:,直接对感应电场积分,方向为ab,b,b,e,i,=,蝌,E,r,i,?,d,r,r,E,i,c

13、,o,sd,q,l,a,a,b,=,r,cos,q,?,B,a,2,?,t,d,l,b,=,蝌,h,抖,B,h,B,b,2,d,l,=,d,l,a,抖,t,2,t,a,h,?,2,?,B,2,?,t,L,?,?,B,1,?,t,2,L,R,2,?,L,4,I,B,R,o,a,?,?,b,L,例,10-7,由两个“无限长”的同轴圆筒状导体,?,的磁介质，电,所组成的电缆，其间充满磁导率为,I,大小相等而方,缆中沿内圆筒和外圆筒流过的电流,向相反。设内外圆筒的半径分别为,，求电,R,1,和,R,2,缆单位长度的自感。,I,R,2,R,1,r,解：,应用安培,环路定理，可知在内,圆筒之内以及外圆筒,

14、之外的空间中磁感应,强度都为零。在内外,两圆筒之间，离开轴,线距离为,处的磁感,应强度为,I,d,r,l,r,?,I,B,?,2,?,r,在内外圆筒之间，取如图所示的截面。,d,?,?,Bl,d,r,?,?,Il,d,r,2,?,r,?,?,?,d,?,?,?,R,2,?,Il,d,r,R,1,2,?,r,?,?,Il,R,2,2,?,ln,R,1,?,?,?,LI,?,L,?,?,?,R,2,Il,?,2,?,ln,R,1,I,R,2,I,R,1,r,d,r,l,d,r,l,例,10-8,试分析有自感的电路中电流的变化。,解：,由于线圈中自感的存在，当电路中电流改变时,，电路中会产生自感电动

15、势。根据楞次定律，,自感电动势总是要反抗电路中电流的变化。即,自感现象具有使电路中保持原有电流不变的特,性，它使电路在接通和断开时，电路中的电流,不能突变，要经历一个短暂的过程才能达到稳,定。,RL,电路中接通和断开后短暂过程中电流,下面以,的变化为例进行说明,如图电路中，,S,1,闭合而,S,2,断开,时，,RL,电路接通电源后，由,于自感作用，电流增大过程中,出现自感电动势，它与电源电,动势共同决定电路中的电流大,小，即,R,L,S,1,S,2,?,d,I,e,=,L,+,IR,d,t,I,d,I,d,I,R,=,=,d,t,蝌,e,0,e,L,-,I,-,I,R,R,?,?,I,?,起始

16、条件：,t,?,0,时,I,?,0,d,I,e,-,L,=,IR,d,t,分离变量,t,0,R,d,t,L,R,?,t,L,?,?,1,?,e,?,R,?,?,?,?,?,I,?,?,?,?,1,?,e,?,R,?,R,?,t,L,?,?,?,?,这就是,RL,电路接通电源后电路中电流的增长规律，,可以看出电路接通后电路中的电流不是一下子就达到,I,0,?,I,max,?,?,R,，而是由零逐渐增大到这一最大,稳定值,值，与无自感相比，有一个时间的延迟。,t,?,?,?,L,R,可以看出当,1,?,?,I,?,?,1,?,?,?,0,.,63,?,0,.,63,I,0,即经,L/R,时间电流,

17、R,R,?,e,?,达到稳定值的,63%,?,?,?,?,L,R,称为,RL,电路的,时间常数,或,弛豫时间,衡量,自感电路中电流变化快慢的物理量。,I,0,?,?,R,后，迅速闭,当上述电路中电流达到稳定值,合,S,2,而断开,S,1,，,则由于自感作用，电路中的电流不,会迅速减为零。设迅速闭合,S,2,而断开,S,1,后某一瞬间,d,I,电路中的电流和自感电动势分别为,I,-,L,d,t,d,I,-,L,=,IR,d,t,初始条件：,t,?,0,时，,I,0,?,?,R,?,I,?,?,R,e,R,?,t,L,?,I,0,e,R,?,t,L,I,?,?,R,e,R,?,t,L,?,I,0,

18、e,R,?,t,L,这就是,RL,电路断开电源后电路中电流的衰变规律，可,以看出电路接通后电路中的电流逐渐减小，经,?,?,L,R,后，电流降为原来的,37%,。,上面的电路中，断开,S,1,后如不接通,S,2,，由于开关两接,头之间空气隙电阻很大，电流将骤然降为零。,d,I,/d,t,将会很大，使得电路中自感电动势很大，常使电键两,端出现电火花，甚至出现电弧。在强电流电路或含有,铁磁性物质的电路中尤为显著。为避免出现事故，常,采用逐渐增加电阻的方法断开电路。,形状规则回路系互感的计算,例,10-9,一密绕的螺绕环，单位长度的匝数为,n,=2000m,-,1,环的面积为,S,=10cm,2,另

19、有一,N,=10,匝的小线圈绕在,环上，如图所示,.(1,）求两个环间的互感；（,2,）当螺,绕环中的电流变化率为,d,I,/d,t,=10A/s,时，求在小线圈中,产生的互感电动势的大小。,N,解：,1,）设螺绕环中通有电流,I,则,（,螺绕环中磁感应强度大小为,B,?,?,0,nI,通过螺绕环上各匝线圈的磁通量,等于通过小线圈各匝的磁通量，,所以，通过,N,匝小线圈的磁链为,S,n,?,n,?,N,?,?,N,?,0,nIs,根据互感的定义可得螺绕环与小线圈间的互感为,?,n,?,5,M,?,?,N,?,0,ns,?,2,.,5,?,10,H,?,250,H,I,（,2,）小线圈中的产生的

20、互感电动势为,d,I,1,?,21,?,?,M,?,25,V,d,t,例,10-10,如图所示。两只水平放置的同心圆线圈,1,和,2,，半径分别为,r,和,R,，,R,r,已知小线圈,1,内通,有电流,I,1,=I,0,cos,t,求在大线圈,2,上产生的感应电动,势。,解：,由于小线圈通电流后在,大线圈平面内产生的磁场,是不均匀的磁场，因此很,难求得通过大线圈的磁通,量，不能应用法拉第电磁,感应定律求得大线圈上的,感应电动势。如能求出两,线圈的互感系数则可以求,出互感电动势，,I,2,1,O,r,R,但基于和上面同样的原因,，以小线圈通有电流来计,算互感系数是困难的。由,于两线圈互感系数是相

21、同,的，可通过假设线圈,2,通有,电流,I,2,来计算互感。,假设线圈,2,通有电流,I,2,则线圈中心磁场为,B,?,?,0,I,2,2,R,由于,Rr,小线圈面积内磁场可看作是均匀的，大,小即为线圈中心的磁感应强度大小。则穿过小线圈,平面内的磁通量为,2,?,0,I,2,2,?,M,?,?,12,?,?,0,?,r,?,12,?,BS,?,?,r,I,2,2,R,2,R,所以，在大线圈中感应电动势为,d,I,1,?,0,?,r,?,21,?,?,M,?,I,0,?,sin,?,t,d,t,2,R,2,例,10-11,一根很长的同轴电缆由半径为,R,1,的圆柱体和,半径为,R,2,的同心圆柱

22、壳组成，电缆中央的导体上载有,稳定电流,I,，再经外层导体返回形成闭合回路。试计算,（,1,）长为,l,的一段电缆内的磁场中所储藏的能量（,2,）,该段电缆的自感。,I,R,2,d,r,r,I,R,1,r,R,1,R,1,d,r,l,解：,（,1,）由安培环路定理可知，在内外导体间的,区域内距轴线为,r,处的磁感应强度为,?,I,B,?,2,?,r,电缆外磁感应强度为零，所以，磁能储藏在两个,导体之间的空间内。距轴线为,r,处的磁能密度为,?,0,I,1,B,w,m,?,?,2,2,2,?,0,8,?,r,距轴线为,r,到,r+,d,r,处的磁能为,2,2,?,0,I,?,0,I,l,d,r,

23、d,W,m,?,w,m,d,V,?,2,2,2,?,r,d,rl,?,4,?,r,8,?,r,2,2,对上式积分可得储藏在内外导体之间的磁能为,?,0,I,l,d,r,?,0,I,l,R,2,?,ln,W,m,?,?,w,m,d,V,?,?,V,4,?,R,1,4,?,R,r,R,2,1,2,2,（,2,）,?,1,2,W,m,?,LI,2,与（,1,）所求结果比较即可得,2,W,m,?,0,l,R,2,L,?,2,?,ln,I,2,?,R,1,上面所得结果是假定高频电流在芯线表面流过，圆,柱状的芯线作为圆筒处理，筒内磁场为零。对于恒,定电流，电流分布在整个芯线导体截面内，导体截,面内磁场不为

24、零。这种情况下求解如下：,圆柱形芯线导体内的磁场为,?,0,Ir,B,?,2,2,?,R,1,圆柱形芯线导体内的磁能密度为,?,0,I,r,1,B,?,?,w,m,?,2,4,2,?,0,8,?,R,1,圆柱形芯线导体内的磁能为,2,2,2,总磁能,?,I,l,0,?,?,?,w,m,?,d,V,?,W,m,4,2,V,8,?,R,1,?,2,W,m,?,W,m,L,?,2,I,2,?,r,2,?,r,d,r,2,?,?,?,?,0,l,?,0,l,R,2,?,?,ln,8,?,2,?,R,1,例,10-12,用通过在两个线圈中建立电流的过程计算储,存在线圈周围空间磁场的方法，证明两个线圈的互感,相等，即,M,1,=M,2,1,解：,设刚开始时两个线圈都,是断路，先接通,1,，使,其电流由零增加到,I,其中磁能为,