第二章概率和概率分布

1、第二章,概率和概率分布,上一章，我们介绍了如何收集和归纳样本,资料。但是，我们研究一组样本数据的最,终目的不在于研究样本本身，而是根据样,本提供的信息对其来自的总体的特征和分,布规律作出尽可能精确和可靠的推断，这,称为,统计推断,由于抽样误差的存在，统计推断的结论带,有一定的不确定性，即它不可能是完全正,确的,所以，我们在理解和运用统计推断的方法,之前，必须熟悉,不确定性的理论概率和,概率分布,第一节,概率的基本概念,1,概率论的一些基本术语,试验：通常我们把根据某一研究目的，在,一定条件对自然现象所进行的观察或试验,统称为试验,例如，抛一枚硬币；掷一次骰子；观,察随机挑选的,6,个新生婴儿中

2、男婴,的数目,随机试验：试验之前无法预测出现哪一个,结果的试验称为随机试验,例如，抛硬币；掷骰子；观察随机挑,选的,6,个新生婴儿中男婴的数目,在一定条件下生长的小麦随机挑选,出一株测株高,注意：生物统计学里是以随机试验为,研究对象的,基本事件：试验的每一个最基本的结果,一般用小写字母,a,b,c,来表示,事件：基本事件的集合。一般用大写字母,A,B,C,来表示,不可能事件：任何一次试验中，一定不会,出现的结果。用,表示,例一，在掷一次骰子的试验中，有如下的一,些可能发生的事件,基本事件有,6,个,其它的事件有,事件,A,得到一个奇数,1,3,5,事件,B,得到一个偶数,2,4,6,事件,C,

3、得到最大的数,6,事件,D,得到一个不小于,2,的数,2,3,4,5,6,事件,E,得到数字,0,2,事件的运算,事件的和（并,事件,A,和事件,B,的和，记为,A U B,包含,A,和,B,里的一切基本事件或元素，其意义是,A,B,两事件至少发生一个,例如,A,随机抽取一名患者，测得红血球含量是,1,15,个单位,B,随机抽取一名患者，测得红血球含量是,10,30,个单位,事件,A U B,随机抽取一名患者，测,得红血球含量是,1,30,个单位,事件的交,事件,A,和事件,B,的交，记为,A,B,简记为,AB,包含,A,和,B,共同拥有的基本事件或元,素，其意义是,A,B,两事件同时发生,例

4、如,A,随机抽取一名患者，测得红血球含量是,1,15,个单位,B,随机抽取一名患者，测得红血球含量是,10,30,个单位,事件,A,B,随机抽取一名患者，测,得红血球含量是,10,15,个单位,互不相容事件,如果,A,和,B,两事件的交是不可能事件，即,A B,则,A,和,B,称为互不相容,例如：在例一中,A,掷骰子掷得一个奇数,B,掷骰子掷得一个偶数,则,A B,即,A,和,B,两事件互不相,容,3,概率的定义,一个事件,A,的概率，记为,P,A,，是事件,A,发生的可能性的定量计量,概率的三个性质,1,任何事件概率均满足,0,P(A)1,2,必然事件的概率为,1,3,不可能事件的概率为,0

5、,即,P,0,注意：计算概率时，结果为,5,或,0.3,时肯定是错误的,4,概率的求法,两种途径,1,统计方法,适用于进行了大量试验时,假设试验共进行,k,次，事件,A,出现了,l,次，则,事件,A,发生的频率是,l/k,随着,k,的增大,频率,l/k,趋于一个常数,p,那么,p,就是事件,A,发生的概率,例如：如何求一个人某年中被闪电击中的概率,中国,1.1,10,9,人中，在,2005,年被闪电击中的人数,为,3300,人，则某人被闪电击中的概率为,3300/1.1,10,9,3,10,6,2,理论方法,适用于可以进行数学推算,在,试验的每个基本事件等可能,时,A,中包含的基本事件数,m,

6、事件,A,的概率,P,A,所有的基本事件数,n,例如,A,掷骰子得到一个奇数,1,3,5,的概率为,P(A)=m/n=3/6=1/2,两个孩子的家庭里，孩子性别为两男的概率是多,少,解：事件,A,孩子性别为两男,男男,所有可能的基本事件有,男男,男女,女男,女女,所以,P(A)=m/n=1/4,同理，孩子性别为一男一女的概率是,2/4=1/2,注意：在生物统计学里，我们着重于,讨论理论方法,5,概率的一般运算法则,概率的一般运算法则可以帮助我们计算一些复杂,事件，或称为复合事件的概率,所谓复合事件就是由几个事件形成的。例,如,AUB,AUBUC,A,BUC,等等,加法法则,P(AUB,P(A,

7、P(B,P(AB,如果,A,B,不相容，则有,P(AUB,P(A,P(B,P,A,1,P,A,A,表示事件,A,不发生，称为,A,的对立事件,条件概率法则,条件概率,P(A|B,指的是在已知事件,B,已发生的条件,下，事件,A,发生的概率,P(A,B,P(A,B,P(B,乘法法则,P(A,B,P(B)P(A,B,P(A)P(B,A,例二,一个袋子里放有,10,个男人和,15,个女人的姓名纸条,法官从袋子里依次抽出两个姓名。有两种可能的抽样方法,1,非放回式抽样，,2,放回式抽样。求每种方法下,两个姓名均为男性的概率,解,1,非放回式抽样：任何东西抽出后就不再,被放回去,P,两个姓名均为男性,P

8、,第一次抽得男性,第二次抽得男性,乘法法则,P,第一次抽得男性,P,第二次抽得男性,第一次抽得男性,10,9,25,24,0,15,2,放回式抽样：任何东西被抽出后，在实行,下一次的抽取前被放回去,P,两个姓名均为男性,P,第一次抽得男性,第二次抽得男性,乘法法则,P,第一次抽得男性,P,第二次抽得男性,第一次抽得男性,10,10,25,25,0,16,独立事件,若事件,A,的发生，并不影响事件,B,发生的概率,即,P(B|A)=P(B,或,P(A|B)=P(A,我们称,A,和,B,互相独立,性质：如果,A,和,B,互相独立，那么,P(A,B)=P(A)P(B,第二节,概率分布,1,随机变量,

9、随机变量：就是随机试验中被测的量,例如,1,测量一定条件下生长的小麦的株高。小麦株高是,随机变量,2,从,1000,只动物（雌雄各半）的群体，放回式抽样,每次抽取,10,只，记录其中雄性的个数。设,10,只动物中,雄性的个数为,X,则,X,就是一个随机变量,随机变量的取值有随机性。随机变量所有可,能值的分布规律称为,概率分布,随机变量,能帮助我们深入理解总体和样本的概念,使总体和样本的关系更加明确,随机变量的引入,使统计学的深入研究成为可能,随机变量与总体和样本的关系,总体：随机变量可能取值的全体,样本：随机变量的,n,个独立观察值,例如在研究一定条件下生长的小麦的株高时，总体,是所有在这种条

10、件下生长的小麦的株高的全体,也就是小麦株高这个随机变量的所有可能的取值,假如获得了,200,株小麦株高数据的样本，样本也,就是小麦株高这个随机变量的,200,次独立观测值,随机变量一般用大写字母来表示，如,X,Y,U,等。变量的观测值一般用小写字母来表示,如,x,i,y,i,u,i,等表示随机变量,X,Y,U,的第,i,次观测值,注意：在第一章里，我们已经使用了这样的符号,样本表示为,x,1,x,2,x,n,变量的类型,1,离散型变量：取值有限个或可数无穷个孤立,的数值,譬如,a,掷一次骰子得到的数,b,一只母鸡一周里下的蛋数,2,连续型变量：可能取值为某范围（或某区间,内的任何值。可能取的值

11、间不存在间隙,譬如,a,小麦株高,b,奶牛产奶量,2,概率分布,变量的概率分布描述该变量的所有值的分布,的规律，也就是变量对应的总体的分布,概率分布,频数分布,总体的值的分布,样本的值的分布,2.1,离散型概率分布,离散型概率分布也就是,一个函数或表,它定义了这个,离散变量的所有值对应的概率,1,概率函数,P,X,x,p,x,定义了值,x,的概率,显然概率函数应满足,p,x,0,p,x,1,x,x,例一,p,x,x,0,1,2,3,是不是一个概率函数,5,0,1,2,3,6,解,p,x,1,所以,p,x,不可能是概率函数,5,5,5,5,5,x,例二，已知,P,X,k,c,k,1,k,其中，常

12、数,0,且,接近于,0,试求,c,的值,k,1,2,是变量,X,的概率函数,解：因为,P,X,k,是概率函数，所以有,P,X,k,1,即,k,1,c,k,1,1,k,k,c,1,k,1,k,1,k,2,由微积分可知,e,1,2,3,6,1,k,1,所以,e,1,k,k,1,k,k,k,因此,c,k,1,k,k,e,1,2,概率分布表：列出变量的每个值及其概,率,譬如，掷一次骰子的概率分布表为,x,1,2,3,4,5,6,P(x,1/6,1/6,1/6,1/6,1/6,1/6,2.2,连续型概率分布,连续型变量的一个特征是取的值非常多（不可数,无法象离散型变量那样对每一个值赋予一个概率,所以，在

13、研究连续型变量时，我们不研究它取每个值,的概率，即,P,X,x,，而是研究它在一个区间中,取值的概率。具体来说，有三种形式,P,aXb,P,Xc,P,Xd,另一方面原因,P,X,x,0,对于任何,x,在研究连续型变量概率时，,“,均可相应,换成,而概率数值不变,P,aXb,P,a,X,b,P,Xc,P,X,c,P,Xd,P,Xd,问题：怎样求这三种概率,答：借助于,密度函数,f(x,曲线,或称概率分布,密度曲线,f(x,的图,形,每个连续型变量都有它自己的密度函数曲线,密度函数曲线总在,x,轴的上方，且曲线,下的总面积等于,1,P,a,X,b,f,x,曲线下在,a,和,b,之间的面积,f,x,

14、dx,a,b,P,X,c,f,x,曲线下在,c,左边的面积,c,f,x,dx,P,X,d,f,x,曲线下在,d,右边的面积,f,x,dx,d,一个术语,分布函数或称累积分布函数,是随,机变量,X,取得小于,x,0,的值的概率,F,x,0,P,X,x,0,x,0,f,x,dx,F(x,0,在分布函数已知的情况下，概率也可以通过分布函,数来求,所以,P,a,X,b,F,b,F,a,P,X,c,1,P,X,c,1,F,c,P,X,d,F,d,1,x,2,例一（指数分布），已,知变量,X,的密度函数为,f,x,e,x,0,2,a,求该变量的分布函数,b,求,P,X,2,c,求,P,1,X,2,解,a,

15、F,x,0,x,0,0,1,x,2,x,2,x,0,e,dx,e,0,1,e,2,x,0,2,1,b,P,X,2,F,2,1,e,c,P,1,X,2,F,2,F,1,1,e,1,1,e,1,2,e,1,2,e,1,第三节,总体特征数,样,本,特,征,数,样本平均数,x,样本标准差,s,样本方差,s,2,称做,统计量,从样本计算来的量称为统计,量，它的数值随样本的不,同而不同,称做,总,体,特,征,数,总体平均数,也称数学期望,总体标准差,总体方差,2,参数,值是恒定的,1,随机变量的数学期望,E(X,也就,是总体平均数,随机变量,X,的数学期望是指长期观测,X,所得数据的平均数,记作,E(X,

16、也就是总体平均数,计算公式,离散型随机变量,E,X,p,x,x,x,连续型随机变量,E,X,均可理解成变量,或总体）每,个值根据概率,的加权平均,f,x,xdx,例一，用一种复合饲料,饲养动物，每天增重,x,i,斤，相应的概率分布为,p,x,i,试求每天增重的数学期,望是多少,每天增重,x,i,0.5,1.0,1.5,2.0,P(x,i,0.10,0.20,0.50,0.20,解,E,X,p,x,i,x,i,i,1,4,0,10,0,5,0,20,1,0,0,50,1,5,0,20,2,0,1,4,1,x,2,例二，已知变量,X,的密度函数为,f,x,e,x,0,2,求该变量的数学期望,解,E

17、,X,f,x,xdx,0,1,x,2,e,xdx,2,x,d,e,0,x,2,分部积分法,xe,x,2,0,e,0,x,2,dx,2,2,随机变量的方差,Var(X,也就是,2,总体平均数,随机变量,X,的数学期望是指长期观测,X,所得数据的方差，记,作,Var(X,也就是总体方差,2,称为总体标准差,计算公式,离散型随机变量,Var,X,p,x,x,2,x,2,连续型随机变量,Var,X,2,均可理解成变量,或总体）每,个值离均差的,平方根据概率,的加权平均,f,x,x,2,dx,例三，接本节例一，求,每天增重的方差是多少,每天增重,x,i,p(x,i,x,i,x,i,2,x,i,2,p(x

18、,i,0.5,1.0,1.5,2.0,解,0.10,0.20,0.50,0.20,0.9,0.4,0.1,0.6,0.81,0.16,0.01,0.36,0.081,0.032,0.05,0.072,Var,X,p,x,i,x,i,0,081,0,032,0,05,0,072,2,i,1,4,0,235,1,例四，设某均匀分布变,量的密度函数为,f,x,0,x,2,试求,2,该变量的数学期望和方,差,解,E,X,f,x,dx,0,2,2,0,1,x,2,dx,0,1,2,4,2,Var,X,f,x,x,dx,0,2,2,2,0,1,1,2,x,1,2,3,3,统计学里关于数学期望和方差运算,的一些运算公式,假设,c,和,A,为常数,X,为随机变量，则,数学期望,E,c,c,E,cX,cE,X,E,