高一抽象函数模型化(定稿)教

1、高一数学培优抽象函数（教）抽象函数常见题型解法一、定义域问题例1. 已知函数的定义域是1，2，求f(x)的定义域。解：的定义域是1，2，是指，所以中的满足从而函数f(x)的定义域是1，4例2. 已知函数的定义域是，求函数的定义域。解：的定义域是，意思是凡被f作用的对象都在中，由此可得所以函数的定义域是 例3. 函数的定义域为，则函数的定义域是_。 分析：因为相当于中的x，所以，解得或。二、求值问题例3. 已知定义域为的函数f(x)，同时满足下列条件：；，求f(3)，f(9)的值。解：取，得因为，所以又取得2. f(x)的定义域为，对任意正实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y) 且f(4)

2、=2 ，则 （ ） 例4.定义在的函数满足，则等于（ ） A2 B3 C6 D9法二：所以法三： 二. 求参数范围 这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉“”符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用。例：奇函数在定义域（-1，1）内递减，求满足的实数的取值范围。解：由得，为函数，又在（-1，1）内递减，变式：（较难） 已知是定义在（）上的偶函数，且在（0，1）上为增函数，满足，试确定的取值范围。 解：是偶函数，且在（0，1）上是增函数， 在上是减函数， 由得。 （1）当时， ，不等式不成立。 （2）当时， （3）当时， 综上所

3、述，所求的取值范围是。五、单调性问题例. 设f(x)定义于实数集上，当时，且对于任意实数x、y，有，求证：在R上为增函数。证明：在中取，得若，令，则，与矛盾所以，即有当时，；当时，而所以又当时，所以对任意，恒有设，则所以所以在R上为增函数。评析：一般地，抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，则变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联。变式：.定义在R上的函数f(x)满足：对任意实数m，n，总有，且当x0时，0f(x)0的结论。这是解题的关键性步骤，完成这些要在抽象函数式中进行。由特殊到一般的解题思想，联想类比思维都有助于问题的思考和解决。六、奇偶

4、性问题根据已知条件，通过恰当的赋值代换，寻求与的关系。例. 已知的定义域为R，且对任意实数x，y满足，求证：是偶函数。 分析：在中，令， 得 令，得 于是故是偶函数。变式. 已知函数对任意不等于零的实数都有，试判断函数f(x)的奇偶性。解：取得：，所以又取得：，所以再取则，即因为为非零函数，所以为偶函数。 所谓抽象函数，是指没有明确给出函数表达式，只给出它具有的某些特征或性质，并用一种符号表示的函数。抽象来源于具体。抽象函数是由特殊的、具体的函数抽象而得到的，高中大量的抽象函数都是以中学阶所学的基本函数为背景抽象而得，解题时，若能从研究抽象函数的“模型”入手，根据题设中抽象函数的性质，通过类比

5、、猜想出它可能为某种基本函数，变抽象为具体，变陌生为熟知，常可猜测出抽象函数所蕴含的重要性质，并以此作为解题的突破口，必能为我们的解题提供思路和方法。常见的抽象函数对应的初等函数模型如下:初等函数模型抽象函数性质正比例函数一次函数二次函数（a0）f（x+y）=f（x）+f（y）+2axy-c指数函数 对数函数 幂函数 （备注：解小题可用具体函数，解大题得赋值（要求书写格式），只能通过赋值解决问题。）一以正比例函数为模型的抽象函数正比例函数是满足函数恒等式的最常见的模型。若我们能从这个具体的模型出发，根据解题目标展开联想，给解题带来了思路。例1、已知函数对任意实数，均有，且当时，求在区间2，1上

6、的值域。分析：由题设可知，函数是的抽象函数，因此求函数的值域，关键在于研究它的单调性。解：设，当，即，f（x）为增函数。在条件中，令yx，则，再令xy0，则f（0）2 f（0）， f（0）0，故f（x）f（x），f（x）为奇函数，f（1）f（1）2，又f（2）2 f（1）4， f（x）的值域为4，2。 例2 已知函数对任意实数都有，且当时，求在上的值域。 解：设 且， 则， 由条件当时， 又 为增函数， 令，则 又令 得 故为奇函数， ， 上的值域为10、已知函数对任意非零实数都有，且时,。 （1）试判断函数的奇偶性；（2）求函数在上的值域；（3）解不等式。10、解：（1）令 再令令，得 为偶

7、函数（2）又且在上是单调递增函数 解得故不等式的解集为二、以一次函数为模型的抽象函数一次函数y=ax+b是满足函数恒等式f（x+y）=f（x）+f（y）-b的最常见的模型。例5 已知函数对任意有，当时，求不等式的解集。分析：由题设条件可猜测：f（x）是yx2的抽象函数，且f（x）为单调增函数，如果这一猜想正确，也就可以脱去不等式中的函数符号，从而可求得不等式的解。 解：设且 则 ， 即， 故为增函数， 又 因此不等式的解集为。以指数函数为模型的抽象函数由指数函数的性质知是满足恒等式的重要函数之一。例5、设函数的定义域为，且满足对任意，有，且当时，。（1） 求的值；（2）判断的单调性并证明的你的结论；解：（1）令（2）任取 令令（或）函数在上单调递减。变式：已知函数对于一切实数、满足(0)0，且当0时，1 （1） 当0时，求的取值范围（2）判断在R上的单调性分析：由可知f（x）是指数函数的抽象