第三章随机过程的功率谱密度

1、第三章,随机过程的功率谱密度,主要内容：,?,随机过程的功率谱密度函数,?,平稳随机过程功率谱密度函数的性质,?,功率谱密度函数与自相关函数的关系,?,平稳随机过程的自相关时间和等效功率谱,带宽,?,联合平稳随机过程的互功率谱密度,?,白噪声与色噪声,3.1,功率谱密度函数,3.1.1,确定信号的频谱和能量谱密度,3.1,功率谱密度函数,3.1.1,确定信号的频谱和能量谱密度,确定信号,是在,的非周期实函数，,的傅立叶变换存在的充要条件是：,(1).,满足狄利赫利条件,(2).,总能量有限，即,则信号,的傅立叶变换为,傅立叶反变换为,根据巴塞伐,(Parseval),定理,(,总能量的谱表达式

2、,),称为信号的能量谱密度。,3.1.2,随机过程的功率谱密度,?,随机过程的样本函数,不满足傅立叶存在的,绝对可积和能量可积条件，傅立叶不存在。,图,3-1,样本函数,?,采取截断函数,规范化随机信号，使之满,足傅立叶变换条件。,保留有限区,间的数据,置其它区,间为,0,图,3-2,及截断函数,截断函数定义为：,当,T,为有限值时，截断函数满足傅立叶变换,条件，傅立叶变换为,傅立叶反变换为,由巴塞伐定理得,对上式两边除,2T,?,样本函数在时间区间,的平均功率。,?,由于样本函数是随机过程的任何一个样本函数，,取决于随机试验，平均功率具有随机性。,?,可采用集合平均消除样本函数的随机性，即,

3、两边取极限,若设,上式表示为,称为随机过程,的功率谱密度。,如随机过程是宽平稳过程时，则,3.2,功率谱密度与自相关函数之,间的关系及其性质,?,自相关函数是从时间域上描述随机过程统,计特性的重要特征。,?,功率谱密度是从频率域上描述随机过程统,计特性的重要特征。,?,自相关函数,功率谱密度？,自相关函数,?,随机过程,功率谱密度,time,frequency,图,3-3,功率谱密度与自相关函数,3.2.1,维纳,辛钦定理,平稳各态历经随机过程,的自相关函数,和功率谱密度,有如下关系：,功率谱密度与自相关,函数是傅立叶变换对,证明：由功率谱密度函数定义,在区间,则有,定义,令,则,得证。,功率

4、谱密度与自相关函数时间,平均值是傅立叶变换对,3.2.2,功率谱密度的性质,1.,功率谱密度为非负实函数，即,证明,:,根据功率谱密度定义,2.,功率谱密度函数为,的偶函数,即,证明,:,由功率谱与自相关函数的关系,同理,3.,平稳随机过程的功率谱密度是可积函数,即,证明,:,对于平稳随机过程有,平稳随机过程的均方值有限,平稳随机过程的功率谱密度可积,即,4.,功率谱与相关函数,随机过程,平稳随机过程,平稳各经历态过程,偶函,数,非负,实数,可积,图,3-4,随机过程及其功率谱密度函数,3.2.3,功率谱,与,平均功率,1.,平均功率是功率谱在频率空间的积分,证明：,平稳各态历经,2.,特定频

5、率,上平均功率,3.,单边谱密度,与双边谱密度,物理谱密度,函数,4.,函数,?,功率谱密度指单位带宽上平均功率；,?,直流与周期平稳随机过程在频率轴有离散,谱线；,零带宽上有限,功率,?,无限,的功率谱密度,图,3-5,周期平稳随机过程及其功率谱密度,?,随机过程的功率谱密度不一定可积，即,?,函数,图,3-6,函数,?,利用,函数，含有直流分量或周期分量的,平稳随机过程的功率谱密度可表示为,图,3-7,直流分量,图,3-8,周期分量,?,若功率谱密度函数为常数，则自相关函数,为,函数。,图,3-9,常功率谱函数,图,3-10,自相关函数,例,3-1,平稳随机过程,的自相关函数为,求该随机过

6、程的功率谱密度函数。,解：由维纳辛钦定理，有,图,3-11,例,3-1,3.2.4,几种常见的,与,例,3-2,已知平稳随机过程,，具有功率谱密度为,求该过程的自相关函数。,解：由上例可知，若自相关函数具有,的形式，则功率谱密度为,，本题中,则自相关函数具有如下形式,显然,因此,所以自相关函数为,3.3,平稳随机过程的自相关函数时,间和等效功率谱带宽,?,自相关函数反映随机过程在不同时刻的关,联程度。,自相关时间从数量上直,观描述随机过程的在时,间上关联范围。,?,功率谱密度函数描述随机过程的平均功率,沿频率轴的分布。,等效功率带宽从数量上,直观描述随机过程在频,率上分布范围。,3.3.1,自

7、相关时间,相同的方差,相同的数学期望,(a),(b),图,3-12,和,的样本函数曲线,(a),(b),图,3-13,和,的自相关函数,(a),(b),图,3-14,自相关时间,因为,由于,因此,扩展比,，有,要大一些，,?,k,1,能描述相关,程度,自相关时间定义：,通常，当,时，可认为,与,的相关性,已经很弱，实际上已经不相关了。,3.3.2,等效功率谱带宽,相同的方差,相同的数学期望,0,(a),t,0,(b),t,图,3-15,和,的样本函数曲线,(a),图,3-15,功率谱,(b),图,3-15,等效功率带宽,因为,所以,，且,?,?,能描述出随机,过程起伏程度,等效功率带宽定义：,

8、通常，,说明了,中起伏的最高频率。,3.3.3,时间带宽乘积,相同的方差,相同的数学期望,0,(a),t,0,(b),t,图,3-16,和,的样本函数曲线,?,?,变化缓慢，,变化快，,；,起伏频繁程度低，,变化起伏频繁程度,高，,。,常数,?,时间带宽乘积：,例,3-3,设随机过程,的自相关函数为,试求该随机过程的自相关时间和等效功率谱,带宽。,解：由自相关函数定义,等效功率谱带宽,例,3-4,已知平稳过程,的谱密度为,求,的自相关函数，自相关时间和等效带宽。,解：由自相关函数与功率谱关系有,图,3-17,例,3-4,3.4,联合平稳过程的互功率谱密度,?,自相关函数反映随机过程在不同时刻的

9、关,联程度。,功率谱密度函数,?,互相关函数反映多个随机过程在不同时刻,的关联程度。,互功率谱密度函数,3.4.1,互功率谱,?,随机过程的样本函数不满足傅立叶存在的,绝对可积和能量可积条件。,?,采取截断函数规范化随机信号，使之满足,傅立叶变换条件。,保留有限区,间的数据,置其它,区间为,0,保留有限区,间的数据,置其它,区间为,0,图,3-18,样本函数及截断函数,截断函数,和,满足傅立叶变换的绝对可,积和能量有限条件，即,傅立叶变换分别为,在时间范围,据巴塞伐定理,用,代换,内，,和,的互功率为,，则有,互功率也可表示为,?,由于,和,具有随机性，,、,和,也,具有随机性；,?,为消除单

10、一样本的随机性，采取样本的统计,平均来得到随机过程,和,的互功率。,将时间范围扩展至,，即,设,则,互功,率谱密度,3.4.2,互功率谱的物理意义,设实随机过程,，它由两随机过程,相加：,自相关函数为,和,对自相关函数取时间平均,则,的功率谱密度为,绞联、耦合部分在频率空,是,和,间上的表现。,3.4.3,互功率谱与互相关函数的关系,1.,两个随机过程,和,的互相关函数,互功率谱,之间满足,和,其中,证明：根据互功率谱定义有,由傅立叶变换,2.,若随机过程,和互功率谱,和,联合平稳，互相关函数,之间满足,证明：据联合平稳过程的性质，有,将其带入一般关系式，就可得此关系。,3.4.4,互功率谱性

11、质,1.,2.,3.,若随机过程,和,正交，则,4.,若随机过程,数,，则,和,不相关，且的均值为常,3.5,白噪声和色噪声,?,按功率谱密度函数的形状，可分为白噪声,和有色噪声；,功率,谱,函数形状,?,白噪声可分为理想白噪声和带限白噪声。,理想,白噪声,带限白噪声,(a),(b),图,3-19,色噪声,(,a,),和白噪声,(b),(a),(b),图,3-20,理想白噪声,(,a,),和带限白噪声,(b),3.5.1,理想白噪声,定义：,若,为一个具有零均值的平稳随机过,程，其功率谱密度均匀分布在,的整个区,间，即,其中,为一正实数，则称,称白噪声。,白噪声的自相关函数,为白噪声过程简,图,3-21,理想白噪声自相关函数,自相关时间：,等效带宽：,平均功率：,图,3-22,理想白噪声,?,理想白噪声是数学上的理想化模型,1.,实际过程的平均功率是有限的；,2.,现实中的信号都具有一定的惯性，在短时间内的状态总,存在一定的相关性。,?,工程中，只要随机过程的功率谱密度在一,个比系统带宽大得多的频率范围内近似均,匀分布，则可视为白噪声。,带限白噪声,3.5.2,带限白噪声,定义：,若,为一个具有零均值的平稳随机,过程，其功率谱密度在某一个有限频率范,围内均匀分布，而在范围外为零，则称随,机过程为带限白噪声。,低通型带限白噪声：,带通型带限白噪声：,(