九年级数学下册 27.2 相似三角形的性质教案 （新版）新人教版

1、27.2 相似三角形的性质 一、教学目标1核心素养 通过相似三角形性质的学习，初步形成基本的几何直观、运算能力、推理能力2学习目标(1)理解并掌握相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比相似三角形对应线段的比等于相似比.(2)理解并掌握相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.(3)能利用相似三角形的性质解决一些简单问题3 学习重点 相似三角形性质定理的探索、理解及应用4学习难点 相似三角形性质定理的探索、理解及应用相似三角形的性质与判定的综合应用二、教学设计（一）课前设计1预习任务任务1 阅读教材P37，思考：相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中

2、线的比都等于相似比吗？怎么证明？任务2 阅读教材P38-39，思考：相似三角形的周长有什么关系？相似三角形面积比与相似比有什么关系？2预习自测1.ABC与DEF的相似比为38，则ABC与DEF的对应高之比为() A13 B34 C38 D9642.已知ABCEFD，相似比为35，且ABC的周长为24，则EFD的周长为() A15 B20 C40 D1203.两个相似三角形对应边上的中线长分别是9cm和24cm，若较小三角形的周长是63cm ，面积是27cm2，则较大三角形的周长为_cm，面积为_cm2.（二）课堂设计1.知识回顾（1）全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等、对应边相等，对应高

3、、对应中线、对应角平分线也分别相等.全等三角形的周长相等、面积相等.（2）相似三角形定义：三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形.（3）相似三角形的识别方法有：证二组对应角相等证三组对应边成比例证二组对应边成比例，且夹角相等（4）相似三角形的特征：如右图，ABC 边：对应边成比例 角：对应角相等 相似比：相似比=对应边的比值=.（5）我们预习本课相似三角形的性质有哪些？怎么证明？2问题探究问题探究一 相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比吗？ 重点、难点知识活动1 提出问题，引导探究 问题：三角形中有各种各样的几何量，例如三条边的长度，三个内角的度数，高、

4、中线、角平分线的长度，以及周长、面积等如果两个三角形相似，那么它们的这些几何量之间有什么关系呢？ 探究：如图，ABC，相似比为k，它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？如图，分别作ABC和 的对应高AD和AD . ABC， B= B .又 ABD和ABD都是直角三角形， ABD ABD.类似地，可以证明相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比也等于 k.归纳：相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比.一般地，我们有：相似三角形对应线段的比等于相似比.活动2 例题讲解例1 如图，在ABC中，AD是BC边上的高，矩形EFGH内接于ABC，且长边FG在BC上，矩形相

5、邻两边的比为12，若BC30cm，AD10cm，求矩形EFGH的周长【知识点：相似三角形的性质应用；数学思想：数形结合】解：设HGxcm，则EH2xcm. 易得APEH. AD10cm，AP(10x)cm. 四边形EFGH为矩形，EHBC， AEHABC 解得x=6HG6cm，EH12cm. 矩形EFGH的周长为36cm. 点拨：当利用三角形相似求线段长，涉及三角形高时，可根据相似三角形对应高的比等于相似比求线段长.活动3 应用练习1.已知ABCDEF，若ABC与DEF的相似比为，则ABC与DEF对应中线的比为() A. B. C. D.【知识点：相似三角形的性质应用；数学思想：数形结合】解：

6、A2.已知ABCABC，BD和BD分别是两个三角形对应角的平分线，且ACAC23，若BD4 cm，则BD的长是() 【知识点：相似三角形的性质应用】 A3 cm B4 cm C6 cm D8 cm解： C问题探究二 相似三角形的周长比等于相似比，面积的比等于相似比的平方？ 重点、难点知识活动1 阅读思考，合作探究阅读与思考：两个相似三角形的周长、面积有什么关系呢？探究：如果ABCABC，相似比为k，那么ABC与ABC的周长比和面积比分别是多少？已知：ABC，相似比为k. ADBC于D，于.求：（1）；（2）. 解： （1）由ABCABC， 得k， k， k； （2）由kkk2. 归纳结论：相似

7、三角形周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.活动2 例题讲解例1：如图，在ABC和DEF 中，AB = 2DE，AC = 2DF，A=D 若ABC的边BC上的高为6，面积为，求DEF的边EF 上的高和面积【知识点：相似三角形的判定与性质应用；数学思想：数形结合】解：在ABC和DEF中， AB = 2DE，AC = 2DF, ，又D=A， DEFABC，DEF 与ABC 的相似比为. ABC的边BC上的高为6，面积为，DEF的边EF上的高为面积为点拨：此题由“两边成比例且夹角相等的两三角形相似”，可证得 DEFABC，再利用相似三角形性质求的高和面积.例2.如图,在ABC中,DEFGBC，G

8、IEFAB，若ADE、EFG、GIC的面积分别为20cm2、45cm2、80cm2，求ABC的面积。【知识点：相似三角形的判定与性质应用；数学思想：数形结合】解：DEFGBC，GIEFAB，ADEEFGGIC，SADE：SEFG=AE：EG=20：45，AE：EG=2：3，SEFG：SGIC=EG：GC=45：80，EG：GC=3：4，AE：AC=2：9，而ADEABC，SADE：SABC=AE：AC=4：81，SABC=20=405（cm）故答案为：405cm 点拨：此题是由平行得三角形相似，再由“线段比等于面积比的算数平方根”求得线段比，最后由相似三角形性质“面积比等于相似比的平方”，求得

9、所求三角形面积.活动3 应用练习1.已知ABCDEF，相似比为31，且ABC的周长为18，则DEF的周长为() A2 B3 C6 D54【知识点：相似三角形性质】解： C2.如图，点D、E分别是ABC边AB、AC上的点，且DEBC，2BD3AD，那么ADE的面积ABC的面积（ ） A2：3 B4：9 C2：5 D4:25【知识点：相似三角形性质；数学思想：数形结合】解： C问题探究三 如何应用三角形相似证题？几何证题中，证明两线段之间的数量关系和位置关系是几何中的基本题型之一由相似三角形对应边成比例推出“相等”或“倍分”是判断数量关系的常用方法，由角的关系推出“平行或垂直”是判断位置关系的常用

10、方法活动1 合作探究 利用相似三角形证线段的数量关系和位置关系1.证明两线段的相等关系例1.如图，已知在ABC中，DEBC，BE与CD交于点O，直线AO与BC边交于点M，与DE交于点N.求证：BMMC.【知识点：相似三角形的判定与性质；数学思想：转化思想】分析：此题若利用三角形全等来证，很困难.可由平行线，得三角形相似，利用成比例线段来证.证明：DEBC.NEOMBO.同理可得.DEBC，ANEAMC.同理可得，.MC2BM2.BMMC.点拨：此题利用“等比代换”是关键.2.证明两线段的倍分关系例2.如图，AM为ABC的角平分线，D为AB的中点，CEAB，CE交DM的延长线于E.求证：AC2C

11、E.【知识点：相似三角形的判定与性质；数学思想：转化思想】分析：由平行线，得三角形相似，利用比例线段证.证明：如图，延长CE，交AM的延长线于F. ABCF，BAMF，BDMCEM， BAMCFM， ，. 又BA2BD，CF2CE.又AM平分BAC，BAMCAM，CAMF，ACCF，AC2CE.点拨：此题利用了“等比代换”、“等线代换”.3.证明两线段平行例3.在ABC中，D，E，F分别为BC，AB，AC上的点，EFBC，DFAB，连接CE和AD，分别交DF，EF于点N，M.求证：MNAC.【知识点：相似三角形的判定与性质；数学思想：转化思想】分析：要证MNAC，可证EMNEFC，可证MENF

12、EC.证明：EFBC，AEMABD，AMFADC，.又DFAB，.又MENFEC，MENFEC.EMNEFC.MNAC.点拨：要证两直线平行，可证其同位角或内错角相等，而相似三角形可得角相等，因此可设法证三角形相似.4.证明两线垂直例4.如图，在ABC中，D是AB上一点，且AC2ABAD，BC2BABD，求证：CDAB.【知识点：相似三角形的判定与性质；数学思想：转化思想】分析：要证CDAB，可证ADCBDC90.题中有成比例的线段，可证得三角形相似，从而得角相等.证明：AC2ABAD，.又AA，ACDABC.ADCACB.又BC2BABD，.又BB，BCDBAC.BDCBCA.ADCBDC.

13、BDCADC180，ADCBDC90.CDAB.点拨：当题中已知有成比例的线段时，应根据其比例式证得相似的三角形，再利用相似三角形性质得角相等或成比例的线段.活动2 应用练习1.如图，一直线和ABC的边AB，AC分别交于点D，E，和BC的延长线交于点F，且AE：CEBF：CF.求证：ADDB.【知识点：相似三角形的判定与性质；数学思想：转化思想】证明：如图，过C作CGAB交DF于G点CGAB，ADBD.2.如图，已知点D为等腰直角三角形ABC的斜边AB上一点，连接CD，DECD，DECD，连接CE，AE.求证：AEBC.【知识点：相似三角形的判定与性质；数学思想：转化思想】证明：如图，过点C作

14、COAB于点O. DECD，DECD，ECDCED45.ABC是等腰直角三角形，CABB45.CABCED.又AOCEDC90，ACOECD.又ACEECOOCDECO45，ACEOCD.ACEOCD.CAECOD90.又ACB90，CAEACB180.AEBC.3课堂总结【知识梳理】(1)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比相似三角形对应线段的比等于相似比.(2)相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.【重难点突破】（1）应用相似三角形的性质，其前提条件是两个三角形相似，不满足前提条件，不能应用相应的性质（2）在应用性质“相似三角形面积的比等于相似比

15、的平方”时，要注意有相似比求面积必要平方，反过来，由面积比求相似必要开方（3）当相似三角形的问题中出现高、中线或角平分线时，要考虑用相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比；当相似三角形中出现周长或面积时，要考虑用相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.（4）相似多边形除了对应角相等，对应边成比例外，也有对应线段的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方的性质，以后也可以直接利用.4随堂检测1.已知ABC，AB=4，ADBC于D，于.则AD：=（ ）A5：2B4：25C2：3D2：5【知识点：相似三角形性质】2.已知ABC与DEF相似，且它们

16、对应角平分线的比为1：4，则ABC与DEF的周长比为（）A1：2B1：3C1：4D1：16【知识点：相似三角形性质】3.如图，点D、E分别为ABC的边AB、AC上的中点，则ADE的面积为10平方厘米，则四边形BCED的面积为（）A40平方厘米 B30平方厘米 C20平方厘米 D10平方厘米【考点：相似三角形的判定与性质】4.如果两个相似三角形的面积比是81，那么它们的周长比是()A81 B41 C641 D1【知识点：相似三角形性质】5. 如图，ABC中，过AB边上的D点作DEAC，交BC边于E，连接AE、CD交于O，若SBDESCDE13，则SDOESAOC的值为() A. B. C. D.

17、【考点：相似三角形的判定与性质；数学思想：数形结合】（三）课后作业基础型 自主突破1. 下列说法中，正确的个数是（ ） 相似三角形的周长比等于对应中线的比；相似三角形对应高的比等于相似比；相似三角形的面积比等于相似比；相似三角形对应角平分线的比等于相似比.A1 B2 C3 D4【知识点：相似三角形性质】2.如果两个相似三角形对应角高之比为16，那么它们对应中线之比为()A18B16C14D13【知识点：相似三角形性质】3.两个相似三角形对应中线的比是23，周长的和是40，则两个三角形的周长分别为（） A12和28 B18和22 C16和24 D14和26【知识点：相似三角形性质】4.如果两个相

18、似多边形面积的比为1：6，则它们的相似比为（ ）A1：36 B1：6 C1：3D1：【知识点：相似三角形性质】5. 如图，在ABC中，MNBC，AM=2MB，S四边形BCNM=24，则SABC=_.【知识点：相似三角形的判定和性质；数学思想：数形结合】6. 在平行四边形ABCD中，点G在BC上，且BG=3GC，AG交BD于点F，则SBGFSAFD=_.【知识点：相似三角形的判定和性质,平行四边形性质；数学思想：数形结合】能力型 师生共研7.如图，在ABC中，D,E分别为AB,AC中点，BE，CD相交于点O，连接DE，下列结论：=；=；=；=其中正确的个数有（）A1个 B2个 C3个 D4个【知

19、识点：相似三角形的判定和性质】8.如图，D、E分别是ABC的边AB、BC上的点，且DEAC，AE、CD相交于点O，若SDOE：SCOA=1：25，则SBDE与SCDE的比是（）A1：3 B1：4 C1：5 D1：25【知识点：相似三角形的判定和性质】9.如图，ABC中，BC=16.把ABC沿BC边向右平移得到DEF，当其重叠部分的面积是ABC面积的时，ABC平移的距离BE长为_.【知识点：相似三角形的判定和性质；数学思想：数形结合】10.如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点OAE=DE，CE交BD于点F，且OF=2（1）求BD的长；（2）若DCF的面积为4，求四边形ABCE

20、的面积【知识点：相似三角形的判定和性质，平行四边形性质；数学思想：数形结合】探究型 多维突破11.如图，ABC中，延长AB到D，过BC上的点F作FEBD，P为ABC外一点，AP/BE且AP=BE，如果，ABC的面积为20，那么PBC的面积为（ ）A.10 B.12 C.15 D.16【知识点：相似三角形的判定和性质，平行四边形性质；数学思想：数形结合】12.一块三角形铁皮ABC，BC=180mm，AGBC于，AG=120mm要把它加工成一个矩形零件，使矩形的QM边在BC上，其余两个顶点P,N分别在AB，AC上（1）如图1，当PN=2PQ时，求这个矩形零件的两条边长；（2）如图2，当矩形零件的面

21、积达到最大时，求此矩形零件的两条边长【知识点：相似三角形的判定和性质，二次函数最值；数学思想：数形结合】自助餐1.如图，六边形ABCDEF六边形GHIJKL，相似比为5:3，则下列结论正确的是（ ）A.E=KB.六边形ABCDEF的周长=六边形GHIJKL的周长2 C.S六边形ABCDEF=S六边形GHIJKD.BC=HI【知识点：相似三角形的判定和性质】2.如图，ABC中，AE为BC边上的中线，BC=12，EAC=B，则线段AC的长为（）A6 B4 C6 D4【知识点：相似三角形的判定和性质】3.如图，四边形ABCD中，ADBC，ABBC，ACCD，AB4，DC6，则ABC与DCA的面积比为

22、( )A23 B49 C25 D.【知识点：相似三角形的判定和性质；数学思想：数形结合】4.如图，已知菱形ABCD的面积为50,把菱形ABCD沿着对角线AC向右平移得到菱形EFGH.当AE=AC时，则图中阴影部分的面积为（）A50 B60 C64D80【知识点：相似三角形的判定和性质，菱形性质；数学思想：数形结合】5.如图，这是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射到桌面后在地面上形成（圆形）的示意图. 已知桌面直径为1.6米，桌面离地面1米. 若灯泡离地面3米，则地面上阴影部分的面积为（ ）A.、0.64米2 B、0.81米2 C、1.44米2 D、5.76米2【知识点：相似三角形的判

23、定和性质，圆面积；数学思想：数形结合】6.如图，矩形ABCD中，AD=15，AB=10，E为AB的中点，F在边BC上，且BF=2FC，AF分别与DE、DB相交于点M，N，则MN的长为（）A B C D【知识点：相似三角形的判定和性质，矩形性质；数学思想：数形结合】7. 如图，ABC中，AB=15，AC=12，BC=18如果动点D以每秒3个单位长度的速度从点B出发沿边BA向点A运动，此时直线DEBC,交AC于点E.记x秒时DE的长度为y，则y关于x的函数关系是_.（要写出x的取值范围）【知识点：相似三角形的判定和性质；数学思想：数形结合】8.已知：在平行四边形ABCD中，点E在直线AD上，AE=

24、AD，连接CE交BD于点F，则EF：FC的值是【知识点：相似三角形的判定和性质，平行四边形性质；数学思想：数形结合、分类讨论】9.如图，在四边形ABCD中，ABC90，AB3，BC4，CD10，DA，则BD的长为_【知识点：相似三角形的判定和性质，勾股定理；数学思想：数形结合】10.如图，P是矩形ABCD边BC上一点，APF90，PF交AC于M，交CD于F，BNAC于N，BN交AP于点H.（1）求证：ABPPCF；（2）找出图中与ABH相似的三角形，并证明；（3）若P是BC中点，BC=2AB，AB=2，求PM的长。【知识点：相似三角形的判定和性质，矩形性质，直角三角形性质；数学思想：数形结合】

25、11. 如图，在RtABC中，ACB=90，BC=cm，ABC=30，动点M从点B出发，在BA边上以每秒2cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB 边上以每秒cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒（0），连接MN（1）若BM=BN，求t的值；（2）若MBN与ABC相似，求t的值；（3）当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小值【知识点：相似三角形的判定和性质，三角形面积，二次函数图象及性质；数学思想：数形结合、分类讨论】12.如图，在RtABC中，斜边BC=cm,AB=2cm,点P,Q同时以1cm/秒的速度分别从点A，B出发，在线段AB上相向而行当点P到达点B时，P

26、, Q两点同时停止运动以AP为一边向上作正方形APDE，过点Q作QFBC,交AC于点F.设点P的运动时间为t秒，正方形APDE和梯形BCFQ重合部分的面积为Scm（1）当t=_秒时，点P与点Q重合；（2）当t=_秒时，点D在QF上；（3）当点P在Q, B两点之间（不包括Q, B两点）时，求S与t之间的函数关系式【知识点：相似三角形的判定和性质，正方形性质；数学思想：数形结合、分类讨论】五参考答案预习自测1. C2. C3.168 192随堂检测1. D2.C3.B4.D5.B课后作业基础型1.C2.B3.C4.D5.276.916 由已知得BG：AD=3：4，SBGFSAFD=9：16.能力型

27、7.C 由题意得正确， 由DOECOB，应有=，不正确； 由ABCADE，DOECOB，得，正确； =，正确.故选C. 8. B 由DEAC，得DOECOA，BEDBCA.SDOE：SCOA=1：25，DE：AC=1：5，BE：BC=1：5，BE：EC=1：4SBDE：SCDE=BE：EC=1：4. 故选B. 9. 根据题意，EG/AB，GEC=B,EGC=A，GECABC，即，。即ABC平移的距离为.10.（1）平行四边形ABCD，ADBC，AD=BC，OB=OD，DEF=BCF，EDF=FBC，EFDCFB，AE=ED，ED=AD=BC，即，即BF=2DF，设OB=OD=x，则有BD=2x

28、，BF=OB+OF=x+2，DF=x2，x+2=2（x2），解得：x=6，BD=2x=12；（2）EFDCFB，且相似比为1：2，EF：CF=1：2，SEFD：SCFD=1：2，DCF的面积为4，EFD面积为2，ECD面积为6，S平行四边形ABCD=ADh，SECD=EDh=ADh，S平行四边形ABCD=4SECD=24探究型11. C 提示：连接FP, 延长AP交BC的延长线于H, 过点A、P分别作,垂足M、N.FEBD,又APBE，E、F、P共线，即,四边形APEB是平行四边形，EP=AB，又， EF=DB=AB=PF,PF=AB,ABHPFH,. ABC的面积为20，PBC的面积为15，

29、故选C.12.（1）设矩形的边长PN=2ymm，则PQ=ymm，由条件可得APNABC，即，解得y=，PN=2=（mm），答：这个矩形零件的两条边长分别为mm，mm；（2）设PN=xmm，由条件可得APNABC，即，解得PQ=120xS=PNPQ=x（120x）=x2+120x=（x90）2+5400，S的最大值为5400mm2，此时PN=90mm，PQ=12090=60（mm）自助餐1. D2. A BC=12，CE=6，B=EAC，C=C，CBACAE，AC2=CEBC=612=72，AC=6. 故选A3. B ADBC，ACB=DAC.又B=ACD=90，ABCDCA.S ABC ：S

30、DCA =AB：CD =4：6=4：9. 故选B4. C 由题意可得，菱形ENCM菱形ABCD，,AE=AC，,.菱形ABCD的面积为50,菱形ENCM面积为18.图中阴影部分图形的面积为：(50-18)2=64()故选：C5. C 由题意知，灯泡离桌面2米，桌面与阴影是相似图形，相似比是2：3，两个图形的半径的比就是相似比，设阴影部分的直径是xm，则1.6：x=2：3解得：x=2.4，因而地面上阴影部分的面积为：S=r=1.44米2故选C 6.D 过F作FHAD于H，交ED于O，则FH=AB=2.BF=2FC，BC=AD=15，BF=AH=15，FC=HD=5，AF=10，OHAE，=，OH=AE=，OF=FHOH=AEFO，AMEFMO，= AM=AF=ADBF，ANDFNB，=，AN=AF=MN=