第一讲初等数学在物理竞赛中的应用

1、第一讲 初等数学在物理竞赛中的应用一、函数1正比例函数k为常数2反比例函数 k为常数3一次函数 k、b为常数xyo正比例函数k0k0xyo二次函数k0xyo一次函数bxyo二次函数a0，函数有极小值；若a0，函数有极大值。（2）函数是否存在y=0的x值，取决于AB例题1质量为M的均匀板AB与水平面呈夹角斜靠在墙角，B通过铰链固定在水平地面上，A端与竖直光滑面接触，如图所示。现有一质量为m的小物体（可视为质点）从A端静止释放，小物体与板之间的动摩擦因数为（0）(1) 若为定值时，当且仅当a1= a2= an时，有最大值()/n。(2) 若为定值时，当且仅当a1= a2= an时， 有最小值n。4

2、mss2s1v03mox8040PvBvAPxyS vvxvyX3m3三角不等式 例题1如图所示，一堵墙高4m。一水枪喷口与墙角在同一水平面，且距离墙角3m。不计空气阻力，g=10m/s2。求水枪喷出的水能越过墙的最小速度及对应的水枪的仰角。ABC例题2A、B两个质量都是M的恒星相距L。现有一质量为m的彗星C沿AB的垂直平分线进入A、B的引力作用区域。求彗星的最大加速度。ds例题3在美丽的草原上，有一半径为r =10km的湖泊，湖上鸟儿嬉戏，宁静而充满生机，令人神往。在距离湖心d=80km处有一条笔直的公路，一人从公路旁距离湖心s=160km的小镇，开车去湖边。汽车在公路上行驶的速度为v1=8

3、0km/h，在草原上行驶的速度为v2=40km/h，问用时最短的行驶路线，并求最短时间。ABb例题4如图所示，斜面底边长为定值b，小物体从斜面顶端A从静止开始自由滑下，小物体与斜面间的动摩擦因数为。求斜面的倾角=？时，小物体从A滑到B历时最短。三、三角函数和差角公式: 二倍角公式： 升降幂公式: 三倍角公式: 半角公式: 万能公式: A四、求极值的方法1、代数方法（1）二次函数的极值（2）利用一元二次方程的判别式（3）利用不等式（4）配方例题如图所示，单位长度质量为m0、总长度为L的链条放在光滑桌面上，链条将自由滑动。求拐角处A点链条的张力的最大值。P2、利用三角函数例题1如图所示，在倾角为的

4、斜面正上方有一固定点P，由P点到斜面上任意一点Q搭一根光滑细杆，现从P点由静止释放一套在细杆上的小圆环，请确定小圆环从P点滑到Q点，所用时间最短时，Q点的位置。hAB例题2在仰角=/6的雪坡上举行跳台滑雪比赛，如图所示。运动员从坡上方A点开始下滑，到起跳点O时借助设备和技巧，保持在该点的速率而以与水平成角的方向起跳，最后落在坡上B点，坡上OB两点距离L为此项运动的记录。已知A点高于O点h=50m，运动员从坡上方A点滑到起跳点O的速度大小为。忽略各种阻力、摩擦，求最远可跳多少米，此时起跳角为多大？. P3、利用几何方法例题1如图所示，地面上有一固定的球面，球的斜上方P处有一小球。现需要确定一条从

5、P到球面的光滑斜直轨道，使小球从静止开始沿轨道滑行到球面上所用时间最短。AB公路例题2某人由A点出发，要与在公路上的一人接头，然后立即赶往B点，设此人一直以恒定的速率运动，要使此过程用时最短，接头地点应选在何处？4、利用物理方法（1）加速度a=0时，物体的速度有极值；（2）同一直线上运动的两个物体速度相等时，距离有极值； 五、圆锥曲线在平面解析几何中，把圆、椭圆、双曲线和抛物线统称为圆锥曲线。它们的标准方程分别是：1、圆： 圆心坐标（x0，y0），半径为R 2、椭圆： （ab0） 中心坐标（0，0），半长轴为a，半短轴为b，半焦距，离心率，准线方程3、双曲线： （a0 b0）中心坐标（0，0）

6、，实轴长为2a，虚轴长为2b，半焦距，离心率，准线方程，渐近线4、抛物线：顶点坐标（0，0），焦点坐标（），离心率e=1，准线方程圆锥曲线的一般形式为： （A、B、C不能同时为0）（1）若，对应的曲线为椭圆或圆；（2）若，对应的曲线为抛物线；（3）若，对应的曲线为双曲线；圆锥曲线还具有以下光学性质：（1）椭圆：从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆面反射后，汇聚于椭圆的另一个焦点；（2）抛物线：从抛物线的焦点发出的光线经过抛物面反射后，变成平行光线；（3）双曲线：从双曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线面反射后，反向延长线汇聚于双曲线的另一个焦点；例题1、一个礼花弹竖直向上发射，达到最高点时爆炸。爆炸成的各碎片都以相同的速率v0向四面八方炸开。设爆炸点距离地面