空气动力学Chapter2-10

1、2.10,达朗伯佯谬儒可夫斯基定理,完全流体中的圆柱不受升力和阻力的作用。,通过对圆柱表面的压力进行积分来证明。,考虑作用于维物体单位长度上的力。,如图。圆柱断面上点,P,上的微小中心角,d,?,形成的面积元为,dA,?,ad,?,（,a,为圆柱的半,径）。作用于这上的力为,pad,?,，指向圆柱,中心。,将这个力分解成,x,方向的成分,dX,，,y,方向,的成分,dY,dX,?,pad,?,?,cos,?,dY,?,?,pad,?,?,sin,?,?,?,0,到,2,?,进行积分，得到对单位,对它们从,长度圆柱在,x,和,y,方向的作用力分别为,X,?,a,?,2,?,0,p,cos,?,d

2、,?,Y,?,?,a,?,2,?,0,p,sin,?,d,?,从伯努利定理得,1,2,2,2,2,p,?,p,?,?,?,V,(,1,?,4,sin,?,),?,p,0,?,2,?,V,sin,?,2,代入下列公式,?,2,?,0,cos,?,d,?,?,0,?,sin,?,cos,?,d,?,?,0,?,sin,?,d,?,?,0,?,得积分的结果为,X,?,0,（达朗伯佯谬）,0,0,2,?,2,2,?,2,?,0,sin,?,d,?,?,0,3,Y,?,0,但是，真实气体中存在粘性，任何物体都,受到阻力。,除了摩擦应力以外，压力分布也同完全流,体不同。,两者的不同在物体的后端较大，像圆柱

3、那,样梯度很大的情况下更加明显。,用这时的压力分布进行积分，则,X,?,0,。,圆柱绕流的流动重合,完全流体的均匀来流,(a),围绕圆柱形成的循环流,(b),有循环的流动,(c),(a),和,(b),两种情况下都不存在力,而,(c),的情况下则产生向上的力,原因：圆柱的上侧流动被加速，下侧流动,被减速。,从伯努利定理得知，从同一状态出发的流,体，速度大时压力小，速度小时压力大。,圆柱的上侧压力小，下侧压力大，因此产,生向上的压力差。,例：乒乓球、网球、棒球等球类运动中。,使球旋转，由于粘性而产生循环，从而形,成与前进方向垂直的力。这种力使球行进,方向偏转。,这种现象是由德国的物理学家马格纳斯发

4、,现，称为马格纳斯效果,(Magnus effect),。,库塔儒可夫斯基定理：,在速度为,V,的均匀来流中垂直放入维,物体，物体周围的环量为,?,，流体的密度,为,?,时，在与均匀来流和物体轴垂直方向，,?,V,?,的力。,物体单位长度产生,圆柱情况下的证明,圆柱表面上的流速分为两部分,均匀来流所形成的流速,v,?,2,V,sin,?,循环流所形成的流速,v,?,?,2,?,a,两者的和为,v,?,2,V,sin,?,?,?,2,?,a,圆柱表面的压力系数为,p,?,p,?,v,?,?,?,C,p,?,?,1,?,2,?,1,?,?,2,sin,?,?,?,1,2,?,aV,?,V,2,?,

5、?,V,2,2,2,2,由此可得圆柱单位长度的表面压强为,1,?,?,2,?,p,?,p,?,?,?,V,?,2sin,?,?,?,2,2,?,aV,?,?,2,?,?,?,V,?,2,2,?,p,0,?,2,2,?,sin,?,?,2,?,V,sin,?,?,a,8,?,a,将此式代入求力的公式，得,X,?,0,Y,?,?,V,?,图为真实气体中的旋转圆柱周围的流线图，,产生伴流，并有阻力。,无论物体的形状如何，只要是周围有环量，,就会产生垂直于流动方向的力。,机翼的升力也是由此产生的。,机翼是最有效地产生环量的物体。,将机翼放在静止的流体中，从静止状态渐,渐加速，最终形成定常的，均匀来流，

6、流,过机翼。,(a),是流体为完全流,体时的流线图。流,体在机翼后缘向上,卷起。,一般地，后缘薄而尖，流速很大。因此压,强十分低。流体为空气等真实流体时，由,于粘性作用，流体不能绕过后缘，逆压而,上。,于是如,(b),所示，向,这样，就形成了如,所示的在后缘平,下游放出涡,(c),滑合流的流动。,(c),流动可以分解成完,全流体无环量流,(a),和,有环量流,(d),。,机翼通过从后缘放出,涡，而在机翼周围形,成环量，产生有库塔,儒可夫斯基定理所,表示的升力。,2.11,静的升力效果,气球、汽艇等轻航空机是利用静的升力,而浮升。,飞机等重航空机也受到静的升力。,静的升力是由阿基米德定律给出的浮

7、力，,其大小等于物体排开流体的重量。,气体的情况下，比起动的升力来，静的浮,力小得可以忽略不计。,而且，飞机机体内部空气的密度或是等于,外部的，不能产生实质性升力。,必须像轻航空机那样，在气囊中充满比空,气密度小的气体，才能产生有效的浮力。,静的浮力和动的升力两者产生的原因不同，,但是都以压强的形式起作用。,如同伯努利定理那样，由流体的运动产生,的动的升力和由重力而产生的浮力可以分,开来考虑。,如图所示。,均匀来流方向取,x,轴，重力方向取,y,轴，与两轴垂直方,向取,z,轴。流体密,度,?,为一定的完全,流体。,作用于物体表面上各轴方向的力的成分分,别为,X,?,?,p,cos,?,dA,A

8、,Y,?,?,?,p,sin,?,sin,?,dA,A,Z,?,?,?,p,sin,?,sin,?,d,A,A,将伯努利定理,代入，得,1,2,p,?,?,?,v,?,?,gz,?,C,2,1,2,X,?,?,?,?,v,cos,?,dA,?,?,g,?,z,cos,?,dA,A,2,A,1,2,Y,?,?,?,v,sin,?,sin,?,dA,?,?,g,?,z,sin,?,sin,?,dA,A,2,A,1,Z,?,?,?,v,2,sin,?,cos,?,dA,?,?,g,?,z,sin,?,cos,?,dA,A,2,A,各式的第项积分，得,?,A,z,cos,?,dA,?,0,?,A,z,sin,?,sin,?,dA,?,0,?,A,z,sin,?,cos,?,dA,?,Q,这里，,Q,为物体的体积。浮力,B,B,?,?,gQ,z,作用于,方向,各轴向的力分别为,1,X,?,?,?,?,v,2,cos,?,dA,2,A,1,Y,?,?,?,v,2,sin,?,sin,?,dA,2,A,1,Z,?,?,?,v,2,sin,?,cos,?,dA,?,B,2,A,作业,速度为,V,的均匀来流中的机翼表