第7章 相交线与平行线（知识+5大易错+）（知识清单）（解析版）-人教版(2024)七下

第七章相交线与平行线一、相交线1.邻补角：有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角（互补）。2.对顶角：两边互为反向延长线的两个角（相等）。3.垂线：-相交成直角时，两条直线互相垂直。-过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。-垂线段最短。4.点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度。二、平行线及其判定1.定义：在同一平面内，不相交的两条直线。2.基本事实：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。3.判定方法（满足其一即可）：-同位角相等→两直线平行。-内错角相等→两直线平行。-同旁内角互补→两直线平行。三、平行线的性质1.两直线平行→同位角相等。2.两直线平行→内错角相等。3.两直线平行→同旁内角互补。（判定：由角的关系推平行；性质：由平行推角的关系。）四、命题与平移1.命题：-定义：判断一件事情的语句。-组成：题设（条件）+结论。-真假命题：判断是否正确的命题。2.平移：-定义：在平面内，图形沿某一方向移动一定距离。-性质：-平移前后，图形的形状、大小不变。-对应点连线平行（或在同一直线上）且相等。-对应角相等，对应线段平行且相等。五、核心要点总结-相交线：关注“角的关系”（邻补角、对顶角）。-垂线：关注“最短距离”。-平行线：判定：看角→证平行。性质：有平行→得角关系。-平移：图形运动，形状大小不变，位置改变。易错点1对同位角、内错角、同旁内角辨别不清易错总结1.找不准前提：必须由两条直线被第三条直线所截形成，忽略“三线八角”结构易错判。2.形状位置混淆：同位角呈“F”型（同侧同位置），内错角呈“Z”型（内部交错），同旁内角呈“U”型（内部同侧）。仅凭感觉观察易混。3.脱离截线判断：角的“同位”“内错”关系取决于截线，忽视截线则无法准确定位。4.注意事项：先确定截线与被截线，再按固定模型（F、Z、U）识别；多画图强化记忆，避免主观臆断。【例1】（2026七年级下·全国·专题练习）下列各图中，和是同位角的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了同位角的概念，熟练掌握同位角的概念是解题的关键；根据同位角的概念分析是否为同位角即可．【详解】解：已知同位角的定义：两条直线被第三条直线所截时，在截线同侧，且在被截两直线同一方向的位置上形成的两个角；A、两角不在截线同侧，不是同位角，不符合题意；B、图中所标两角不是两条直线被第三条直线所截得到的，不符合题意；C、符合同位角定义，符合题意；D、图中所标两角不是两条直线被第三条直线所截得到的，不符合题意；故选：C．【变式】（24-25七年级下·四川泸州·月考）如图所示，下列说法：与是同位角；与是同旁内角；与是内错角；与是内错角；与是同位角，其中正确的有（）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】D【分析】此题主要考查了三线八角，在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成““形，内错角的边构成““形，同旁内角的边构成“”形．根据同位角、内错角、同旁内角的定义进行解答即可．【详解】解：与是同位角，此选项正确；与是内错角，并不是同旁内角,此选项错误；与是内错角，此选项正确；与是内错角，此选项正确；与是同位角，此选项正确；故正确的有个．故选：．易错点2平行线的判定和性质多结论题易错总结1.判定与性质混淆：判定（由角关系推平行）与性质（由平行推角关系）是互逆过程，审题不清易颠倒使用，导致循环论证。2.条件遗漏：在复杂图形中，易忽视“三线八角”基本结构，将非截线形成的角误用于推导。3.结论过度引申：平行仅能推出特定的角关系（同位等、内错等、同旁内互补），不能直接得出所有角相等或所有线平行。4.注意事项：严格分清题设与结论；先标记已知平行或角等，再逐步推导；多结论题需逐一验证，防止“想当然”。【例2】（24-25七年级下·全国·期中）如图，，平分，，，；则下列结论：①；②平分；③，④，其中正确结论的个数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】此题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质和角平分线的定义是解题的关键．根据平行线的性质可得；平行线的性质可得，求得，根据角平分线的定义求得；求得，，即可得到，推得平分；根据题意求得，即可得到．【详解】解：∵，，∴；故①正确；∵，∴，∴，又∵平分，∴；故③正确；∵，∴，∴，∴，∴平分；故②正确；∵，∴，∴；故④正确．故正确结论的个数有4个．故选：D．【变式】（25-26七年级上·江苏南京·月考）如图，，平分交于点，，，、分别是，延长线上的点，和的平分线交于点．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的有（

）A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③④【答案】A【分析】本题考查了平行线性质，角平分线的定义，解题关键是掌握两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．先根据平行线的性质得到，再根据等角的余角相等得到，则利用得到，于是可对①进行判断；所以，由于，则，然后利用1不能确定等于可对②进行判断；根据平行线的性质得到即所以从而得到，于是可对③进行判断；根据角平分线的定义得到，，而，所以由，然后根据四边形的内角和可计算出，从而可对④进行判断．【详解】解：∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，①正确；∴，∵平分，∴，∴，∵不能确定等于，∴不成立，②错误；∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，③正确；∵和的平分线交于点，∴，，∵，∴，在四边形中，，④正确．故选：A．易错点3旋转使两直线平行的多解题易错总结1.忽略旋转方向：旋转分顺时针与逆时针，仅考虑一种方向会漏解。2.终点状态单一：旋转后两直线平行，可同位角相等或内错角相等，对应不同旋转角，易只求一种。3.周期性遗漏：旋转角可加减360°整数倍，忽略周期性会丢多组解。4.注意事项：明确旋转中心与初始图形；画图分析所有可能平行位置；列出角等关系方程，并考虑旋转周期（±k·360°）。【例3】（24-25七年级下·江西宜春·期末）五一假期，“绚丽赣江景，多彩英雄城”南昌一江两岸主题灯光秀盛大上演．在赣江边两条笔直且平行的观景栈道上分别设有P，Q两盏激光灯（如图），若光线按顺时针方向以每秒的速度旋转至便立即回转，并不断往返旋转；光线按顺时针方向每秒的速度旋转至边就停止旋转，此时光线也停止旋转．若光线先转45秒，光线才开始转动．当光线旋转时间为秒时，．【答案】或或【分析】本题主要考查平行线的性质及一元一次方程的应用，熟练掌握平行线的性质及一元一次方程的应用是解题的关键．设当光线旋转时间为秒时，．根据运动情形分种情况①当时，延长交于点，②当时，延长交于点，③当时，延长交于点，结合平行线的性质及一元一次方程求解，即可解题．【详解】解：光线按顺时针方向以每秒的速度旋转至，则光线到所用时间为：，光线按顺时针方向每秒的速度旋转至边，且光线先转45秒，则光线到所用时间为：，设当光线旋转时间为秒时，．①当时，延长交于点，，，，，，解得，②当时，延长交于点，，，，，，解得；③当时，延长交于点，，，，，，解得；综上所述，或或，故答案为：或或．【变式】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，将三角板与三角板摆放在一起，其中，，，固定三角板，将三角板绕点A按顺时针方向旋转，当点E落在射线的反向延长线上时停止旋转．设的旋转速度为/秒，旋转时间为t，若它的一边与的某一边平行（不含重合情况），．【答案】5秒或15秒或35秒或45秒或50秒【分析】本题考查了平行线的性质，三角板中的角度计算，掌握平行线的性质是解题的关键．分①当，②当，③当，④当，⑤当时，分别画出图形即可求解．【详解】①当时，∵，∴，∴，∴（秒）；②当时，∵，，∴∵，∴A，D，C共线，∵，∴（秒）；③当时，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴（秒）；④当时，，；∵∴，∴（秒）；⑤当时，∵，∴，∴（秒），综上所述，t的值为5秒或15秒或35秒或45秒或50秒，故答案为：5秒或15秒或35秒或45秒或50秒．易错点4平行线的判定和性质综合问题易错总结1.逻辑循环：混淆“判定”与“性质”，错误地使用平行关系来证明其自身成立的条件。2.条件借用不当：在复杂图形中，易将某一对平行线的性质结论，错误地用于另一组未经验证的直线关系推导。3.模型识别错误：不能从复杂图形中准确分离出“三线八角”基本模型，导致找错同位角、内错角。4.注意事项：严格遵循“由因导果”的推理链；用不同标记清晰区分已知条件和待证结论；先标出所有平行线，再逐一推导角关系。【例4】（25-26七年级上·江苏盐城·月考）如图，在四边形中，A为延长线上一点，连接交于点F，且．(1)若，求的度数；(2)若，判断与的位置关系，并说明理由．【答案】(1)(2)，理由见解析【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）由内错角相等，两直线平行得出，再由两直线平行，同旁内角互补得出，结合题意计算即可得解；（2）由内错角相等，两直线平行得出，再由两直线平行，内错角相等得出，结合题意可得，从而即可得出结果．【详解】（1）解：∵，∴，∴，∵，∴，∴；（2）解：，理由如下：∵，∴，∴，∵，∴，∴．【变式】（25-26七年级下·全国·课后作业）已知直线，被直线所截．(1)如图①，平分，平分（平分的是一对同位角），则与满足________时，；(2)如图②，平分，平分（平分的是一对内错角），则与满足________时，；(3)【拓展设问】如图③，平分，平分（平分的是一对同旁内角），则与满足什么条件时，？为什么？【答案】（1）

（2）（3）

见解析【分析】（1）根据角平分线定义得出，，，当时，求出，根据平行线的判定推出即可；（2）根据角平分线定义得出，，，当时，求出，根据平行线的判定推出即可；（3）根据角平分线定义得出，，，当时，求出，根据平行线的判定推出即可．【详解】（1）解：．与满足时，，理由如下：平分，平分，，，，，；（2）解：．与满足时，，理由如下：平分，平分，，，，，．（3）解：与满足时，．理由如下：平分，平分，，．，，．易错点5平行线中的拐点探究问题易错总结1.辅助线误作：过拐点作平行线是通法，但辅助线方向画错或未作，导致无法转化角。2.角度关系混乱：将“拐角”与平行线所成角（同位角等）的关系弄反，结论错位。3.忽略多拐点：对连续拐点问题，未逐段转化，试图一步到位，易出错。4.注意事项：紧扣“过拐点作已知平行线的平行线”这一核心方法；按“作线-转化-建立等量关系”步骤推理；多拐点问题可视为单拐点模型的组合。【例5】（四川省攀枝花市2025-2026学年七年级上学期期末联考数学试卷）小明同学在完成七年级上册数学的学习后，遇到了一些问题，请你帮他解决一下．(1)如图1，已知，，，则；(2)如图2，已知，平分，平分，、所在直线交于点E，若，，求的度数；(3)将图2中的点B移到点A的右侧，得到图3，其他条件不变，若，，请你求出的度数（用含α，β的式子表示）．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义，平行公理的推论，解决问题的关键是正确的作出辅助线．（1）过点E作，根据平行线的性质，得到，根据平行线的传递性，可得，从而可得，即得答案；（2）过点E作，根据平行线的性质及角平分线的定义，可逐步求得，，即可求得答案；（3）过点E作，根据平行线的性质及角平分线的定义，可逐步求得，，即可求得答案．【详解】（1）解：过点E作，，，，，．故答案为：．（2）解：过点E作，平分，，，，，，平分，，，，，；（3）解：过点E作，平分，，，，，，平分，，，，，．【变式】（24-25七年级下·辽宁大连·月考）综合与实践【问题情境】在数学综合与实践课上，老师让同学们借助“两条平行线，和一副直角三角尺”开展数学活动．【操作发现】（1）如图1，小明把三角尺角的顶点放在直线上，，若，则．（2）如图2，小颖把等腰直角三角尺的两个锐角的顶点，分别放在直线，上，请用等式表示与之间满足的数量关系．(不用证明)【综合应用】（3）在图2的基础上，小亮把三角尺角的顶点放在点处，即，如图3，平分交直线于点，平分交直线于点．将含角的三角尺绕着点转动，且使始终在的内部，请问的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，说明理由．【学以致用】（4）已知：直线，三角板中，．三角板如图4位置放置，在线段上取点，连接并延长交直线于点，在线段上取点，连接并延长交的角平分线于点，若，且．探究与之间的数量关系并说明理由．【答案】（1）（2）（3）不变，，理由见解析（4），证明见解析【分析】本题综合考查平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识，利用平行线的性质导角是解题的关键．（1）考查平行线的“同位角相等”性质，结合已知和三角尺的角()，利用平角列等式计算角度；（2）考查平行线的“内错角相等”性质，通过作辅助线(过作平行线)，可证明角度和为；（3）考查平行线性质及角度等量代换，通过设未知数表示相关角度，推导的固定值，进而得出的固定值；（4）考查平行线的“同位角相等”、三角形内角和定理，通过设未知数表示，逐步推导与的表达式，最终确定数量关系．【详解】解：（1）∵，∴(两直线平行，同位角相等)，∵，∴，∵，∴，∴，即，∴．故答案为：；（2）如图，过点作，∴，∵，∴，∴，∵，∴．故答案为：；（3）不变，，理由如下：∵、分别平分、，∴，，设，∵，∴，，∵，∴，∴，∴，同（2）可得，即；（4）设，则，．∵，∴．∵，∴，,，∴，∴．∵，∴，∴，∴．∵平分，∴x．∵，∴．∴x．∴．一、单选题1．（24-25七年级下·河北邯郸·期末）如图，直线a，b被直线所截，则下列说法中正确的是（

）

A．与互余 B．与是同位角C．与不是对顶角 D．与是同位角【答案】D【分析】此题主要考查了对顶角、同旁内角和同位角．根据对顶角、同旁内角、同位角定义分别分析即可．【详解】解：A、与是同旁内角，不一定互余，故原题说法错误；B、与是同旁内角，故原题说法错误；C、与是对顶角，故原题说法错误；D、与是同位角，故原题说法正确；故选：D．2．（25-26八年级上·湖北黄冈·月考）如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线，交于主光轴上一点，若，则的度数是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解决本题的关键．根据平行线的性质，即“两直线平行，同旁内角互补”，由此可求解与的度数，再根据由此可求解．【详解】解：∵，且，∴，∵，且，∴，∴∵，∴的度数是．故选：A．3．（25-26七年级上·黑龙江绥化·月考）将一副三角尺按如图所示的方式摆放，已知，，，则①，②，③，④．结论不正确的有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】B【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，三角板中角度的计算，根据，即可判断①；由，得到，即可判断③；过点F作，根据平行线的性质求出，然后根据平行线的性质求出的度数，即可判断②；由即可判断④．【详解】解：，，故①正确；，，故③不正确；过点F作，如图，，，，，，，故②正确；，，，故④正确．∴正确的有3个，不正确的有1个，故选：B．4．（24-25七年级下·湖南岳阳·期末）如图1，，分别在上，．如图2，将绕点以的速度逆时针转动，将绕点以的速度逆时针转动，若它们同时开始转动，设转动时间为秒，当转至所在射线后，二者同时停止转动，则在旋转过程中，当与互相平行或垂直时，的值为（）A．秒或秒 B．秒或6.5秒C．2秒或6.5秒 D．2秒或秒【答案】A【分析】本题考查了一元一次方程的应用、平行线的判定与性质，当运动时间为t秒时，，，当与互相平行时，利用“两直线平行，同旁内角互补”，可列出关于t的一元一次方程，解之即可得出t的值；当与互相垂直时，由，可列出关于t的一元一次方程，解之即可得出t的值，综上即可得出答案．【详解】解：当转动时间为t秒时，，，当与互相平行时，，即，解得：；当与互相垂直时，，即，解得，∴当与互相平行或垂直时，t的值为秒或秒．故选：A．二、填空题5．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，和是直线，被直线所截得的角；和是直线，被直线所截得的角；直线AC，BC被直线AB所截得的同旁内角是．【答案】ABCDBE同位ABCDAC内错和【分析】此题主要考查了三线八角，解题的关键是掌握同位角的边构成““形，内错角的边构成““形，同旁内角的边构成“”形．根据同位角、内错角：同旁内角的定义分别进行分析即可．【详解】解：如图，和是直线，被直线所截得的同位角；和是直线，被直线所截得的内错角；直线，被直线所截得的同旁内角是和．故答案为：①；②；③；④同位；⑤；⑥；⑦；⑧内错；⑨和．6．（25-26七年级上·海南海口·期末）如图，小明观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：已知，，，则的度数是．【答案】/度【分析】本题考查了平行线的性质．首先过点C作，根据两直线平行内错角相等可得：，根据两直线平行同位角相等可得：，，根据角之间的关系可得：，等量代换可得：．【详解】解：如图所示，过点C作，∴，，∵，∴，又∵，∴∴．故答案为：．7．（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图，平分交于点，点为线段延长线上一点，，则下列结论正确的有．①；②；③；④

【答案】①②④【分析】此题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义等知识，根据可证明，则，，即可判断①正确；根据角之间的关系得到，即可得到，故②正确；由角平分线和等量代换得到，即可判断④正确，无法判断③．【详解】解：∵∴∴，∴，，故①正确；∵，∴∴，∴，故②正确；∴，∵平分交于点，∴∴，故④正确；∴无法证明；故③不正确，结论正确的有①②④；故答案为：①②④8．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，，点，分别是，上的一点，射线绕点顺时针旋转，速度为每秒1度，射线绕点顺时针旋转，速度为每秒3度，旋转至与重合便立即回转，当射线旋转至与重合时，与都停止转动，若射线先转动40秒，射线才开始转动，则射线转动秒后，与平行．【答案】20或80【分析】本题考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，设射线转动t秒，两射线互相平行，分两种情况进行讨论，根据平行线的性质得出方程，解方程即可求解．【详解】解：设转动后与交于点，转动后与交于点，当时，如图1，，，，，，解得；②当时，如图2，，，，，解得，综上所述，射线转动20或80秒，两射线互相平行；故答案为：20或80．三、解答题9．（2025七年级上·福建泉州·专题练习）如图，直线，直线交于点，交于点，，是直线上的动点（不与重合），以为直角顶点作直角三角形，且，点在直线右侧，记．(1)当点在点右侧时，若，求的度数；(2)在点运动过程中，若射线、、满足其中一条射线平分另外两条射线所构成的角时，求的度数．【答案】(1)(2)或【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线定义，三角形外角的性质，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论．（1）根据，，求出，根据平行线的性质求出，根据，求出结果即可；（2）分两种情况：当平分时，当平分时，分别画出图形，求出结果即可；【详解】（1）解：∵，，∴，∴，∵，∴，∵，∴；（2）解：当平分时，如图所示：∵平分，∴，∵，∴，∵，∴；当平分时，如图所示：∵平分，∴，∵，∴，∵，∴；综上分析可知：的度数为或．10．（25-26七年级上·吉林长春·期末）【问题提出】如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角有什么数量关系？【问题探究】已知的两边和的两边分别平行．（1）同学甲画出如图1所示的图形，，，通过测量，猜想，你知道其中的原因是什么吗？请写出证明过程；（2）同学乙在探究中发现存在的情况，在图2中画出一个以点O为顶点且满足条件的，直接写出此时和的数量关系为_______；（3）归纳结论：如果一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角______或______．【结论应用】已知的两边分别与的两边平行，则和的角平分线所在直线的位置关系是_______．【答案】问题探究：（1）见解析；（2）；（3）相等，互补；结论应用：平行或垂直【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键．问题探究：（1）由两直线平行，内错角相等得出，，从而即可得证；（2）由两直线平行，内错角相等得出，由两直线平行，同旁内角互补得出，从而即可得出结果；（3）根据（1）（2）即可得出结论；结论应用：分两种情况，结合角平分线的定义，逐项计算即可得出结论．【详解】解：（1）∵，∴，∵，∴，∴；（2）如图：即为所求，，∵，∴，∵，∴，∴；（3）归纳结论：如果一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等或互补；结论应用：如图，当时，为的角平分线，为的角平分线，，令与相交于点，作平分，∵为的角平分线，为的角平分线，平分，∴，，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，，∴；如图，当时，为的角平分线，为的角平分线，，令与相交于点，作平分，令交于点，∵为的角平分线，为的角平分线，平分，∴，，，∵，∴，∵，∴，∴，，∴，∵，∴，∴；综上所述，的两边分别与的两边平行，则和的角平分线所在直线的位置关系是平行或垂直．11．（24-25七年级上