主振型的正交性

1、All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,12.7.1,主振型的第一正交性,0,2,Y,M,K,n,个自由度体系的振型方程为,设,i,为第,i,个自振频率，其相应的振型为,j,为第,j,个自振,频率，其相应的振型为,将它们分别代入上式，可得,i,Y,j,Y,i,i,i,Y,M,Y,K,2,a,j,j,j,Y,M,Y,K,2,b,对式,a,两边左乘以,对式,b,两边左乘以,则有,T,j,Y,T,i,Y,i,T,j,i,i,T,j,Y,M,Y,Y,K,Y,2,c,j,T,i,j,j,T,i,Y,M,Y,Y,K,Y,2,d,将式,d,两边转置，将有,i,T,j,j,i,T,j,Y

2、,M,Y,Y,K,Y,2,e,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,将式,c,减去式,e,得,0,2,2,i,T,j,j,i,Y,M,Y,当,时，得,j,i,式,12-83,称为主振型的第一正交性，它表明，对于质量,矩阵,M,不同频率的两个主振型是彼此正交的,0,i,T,j,Y,M,Y,12-83a,即,n,s,sj,si,s,Y,Y,m,1,0,12-83b,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,12.7.2,主振型的第二正交性,将式,12-83a,代入式,c,可得,0,i,T,j,Y,K,Y,12-84,式,12-84,称为主振型的第二正交性

3、，它表明，对于刚度矩,阵,K,不同频率的两个主振型也是彼此正交的,12.7.3,主振型正交性的物理意义,1,第一正交性的物理意义,将式,分别乘以,和,可以得出以下,两式,n,s,sj,si,s,Y,Y,m,1,0,2,i,2,j,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,式,a,说明第,i,主振型惯性力在第,j,主振型上所做的虚功为零；式,b,说明第,j,主振型惯性力在第,i,主振型上所做的虚功为零。因此,第一正交性的物理意义是：相应于某一主振型的惯性力不会在,其他主振型上做功,n,s,j,sj,i,si,i,s,Y,Y,m,1,2,0,主振型幅值,第,主振型惯性力幅值,第

4、,a,n,s,i,si,j,sj,j,s,Y,Y,m,1,2,0,主振型幅值,第,主振型惯性力幅值,第,b,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,2,第二正交性的物理意义,由式,12-84,，可推导出,1,1,0,j,n,n,sr,ri,sj,s,r,k,Y,Y,第,主振型幅值,c,由式,c,可知,第二正交性的物理意义是：相应于某一主振,型的弹性力不会在其他主振型上做功,3,小结,主振型的正交性可理解为：相应于某一主振型作简谐振动的,能量不会转移到其他振型上去，也就不会引起其他振型的振,动。因此，各主振型可单独存在而不互相干扰,All Rights Reserved,重

5、庆大学土木工程学院,例,12-29,试验算例,12-26,所求得的主振型是否满足正交关系,解：由例,12-26,得知质量矩阵和刚度矩阵分别为,1,0,0,0,5,1,0,0,0,5,1,3,m,M,1,1,0,1,3,2,0,2,5,4,3,k,K,又三个主振型分别为,3,2,1,1,Y,5,1,1,1,2,Y,25,0,75,0,1,3,Y,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,1,验算第一正交性,0,5,1,1,3,1,5,1,2,1,5,1,1,5,1,1,1,1,0,0,0,5,1,0,0,0,5,1,3,2,1,3,3,2,1,m,m,Y,M,Y,T,同时，有,0,3,1,Y,M,Y,T,0,3,2,Y,M,Y,T,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,2,验算第二正交性,0,5,1,1,5,0,5,1,1,1,1,1,0,1,3,2,0,2,5,4,3,2,1,3,3,2,1,k,k,Y,K