变分问题学时

1、变分问题,Outline,3.1,泛函概念,3.2,变分及变分方程,3.3,变分问题及,Euler,边值问题,3.4,约束条件下的变分问题,3.5,线性算子方程化为变分方程,3.6,波动方程标准变分原理,3.7,波动方程修正变分原理,3.8,波动方程广义变分原理,泛函，简单地说，就是以整个函数为自变量,的函数这个概念，可以看成是函数概念的,推广,设对于,某一函数集合内的,任意一个函数,y(x,有另一个数,Jy,与之对应，则称,Jy,为,y(x,的,泛函,3.1,泛函概念,泛函不同于复合函数,例如,g,g,f,x,对于,后者，给定一个,x,值，仍然是有一个,g,值与之,对应；对于前者，则必须给出

2、某一区间上的,函数,y,x,才能得到一个泛函值,J,y,定义在,同一区间上的,函数不同，泛函值当然不,同为了强调泛函值,J,y,与函数,y,x,之间的依,赖关系，常常又把函数,y,x,称为变量函数,泛函是函数空间到数值空间的映射，取不同的函数,形式，得到不同的泛函值。泛函一般都是取包含该,函数的定积分形式,2,1,x,x,J,U,x,F,x,U,x,dx,U(x,是定义在,x1,x2,上的可取函数的集合。上式从,积分的角度讲,J,是,x,的积分函数，但从泛函的角度,讲,J,是变量,x,和,U,x,可取形式的双变量函数,如果变量函数是二元函数,u(x; y,则泛函为,3.2,变分原理或泛函极值问

3、题,先回忆一下有关函数极值的概念,可以用同样的方法定义泛函的极值,简单函数,U(x,简单泛函,2,1,x,x,J,U,x,F,x,U,x,dx,自变量的微分,表示自变量的微小变化,dx,函数的变分,U,x,表示函数形式的微小变化,dx,的变化引起的函数值的变化,可以利用级数,展开,2,2,1,2,1,2,U,x,dx,U,x,U,x,dx,U,x,dx,dU,x,d,U,x,函数的线性主部,dU(x)=U,x)dx,二阶微分,2,2,d,U,x,U,x,dx,n,阶微分,n,n,n,d,U,x,U,x,dx,dx,的变化引起的函数值的变化，可以利用级数展开,2,2,1,1,2,2,1,1,2,

4、2,2,1,2,x,x,x,x,x,x,x,x,J,U,U,J,U,F,x,U,U,dx,F,x,U,dx,F,F,Udx,U,dx,U,U,泛函的线性主部,2,1,x,x,F,J,U,x,Udx,U,二阶变分,2,1,2,2,2,2,x,x,F,J,U,x,U,dx,U,n,阶变分,2,1,n,x,n,n,n,x,F,J,U,x,Udx,U,泛函取极值等价于一阶变分等于零,与,Euler,微分方程等价,0,F,U,3.3,变分问题及,Euler,边值问题,泛函取极值又称为泛函驻定，由于变分方程,与,Euler,方程等价，所以,可以通过求解变分方,程获得,Euler,方程的解,所以可以通过求解

5、,Euler,方程获得变分方程的解，为电磁场问题,求解增添了新的方法,1,首先，由于变分是对函数,y,进行的，独立于自,变量,x,所以，变分运算和微分或微商运算可交,换次序,2,变分运算也是一个线性运算,3,直接计算，就可以得到函数乘积的变分法则,4,变分运算和积分,微分的逆运算,也可以交换次序,5,复合函数的变分运算，其法则和微分运算完全相同,只要简单地将微分法则中的,d,换掉即可,这里注意，引起,F,变化的原因，是函数,y,的变化，而自变量,x,是不变化的所以，绝对不会出现,项,一、简单泛函,2,1,x,x,J,U,x,F,x,U,x,dx,0,J,U,x,边界条件,1,2,U,x,a,U

6、,x,b,二、含一阶导数的泛函,2,1,x,x,J,U,x,F,x,U,x,U,x,dx,2,1,2,2,1,1,0,x,x,x,x,x,x,x,x,if,U,x,U,x,F,F,J,U,x,dx,U,U,F,d,F,F,dx,U,dx,U,U,积分变换,F,d,F,U,dx,U,1,2,0,0,x,x,x,x,F,U,F,U,等价,Euler,方程,附加边界条件,变分中，二阶边界条件无需强加，自然满足条件,三、含一阶偏导数的泛函,2,1,x,x,y,z,x,J,U,x,F,r,U,U,U,U,dv,x,y,z,x,y,z,v,x,y,z,v,if,U,r,F,F,F,F,J,U,x,dv,U

7、,U,U,U,F,F,F,F,x,y,z,dv,U,U,U,U,v,S,v,A,A,A,Bdv,B,dS,cos,cos,cos,x,y,z,v,x,y,z,S,v,F,F,F,F,J,U,x,dv,U,x,U,y,U,z,U,F,F,F,n,x,n,y,n,z,dS,U,U,U,x,y,z,F,d,F,d,F,d,F,U,dx,U,dy,U,dz,U,等价,Euler,方程,附加边界条件,变分中，二阶边界条件无需强加，自然满足条件,cos,cos,cos,0,x,y,z,r,S,F,F,F,n,x,n,y,n,z,U,U,U,四、含二阶偏导数的泛函,2,1,x,x,y,z,x,J,U,x,F

8、,r,U,U,U,U,dv,2,2,2,2,2,2,2,2,2,xx,yy,zz,v,x,y,z,xx,xx,yy,yy,if,U,r,F,F,F,F,J,U,x,dv,U,x,U,y,U,z,U,F,F,F,F,F,n,x,y,z,U,x,U,U,y,U,zz,zz,S,v,F,dS,U,z,U,2,2,2,2,2,2,0,xx,yy,zz,F,F,F,F,U,x,U,y,U,z,U,等价,Euler,方程,附加边界条件,变分中，二阶边,界条件无需强加,自然满足条件,0,x,xx,xx,y,yy,yy,z,zz,zz,r,S,v,F,F,n,x,U,x,U,F,F,y,U,y,U,F,F,z

9、,U,z,U,例题,2,2,J,U,r,U,U,U,f,2,2,J,U,r,U,U,f,dv,2,xx,yy,zz,F,U,U,U,U,f,2,xx,yy,zz,F,U,U,U,f,U,xx,yy,zz,F,F,F,U,U,U,U,2,0,r,S,v,U,f,U,U,n,n,作为完整的泛函极值问题，在列出泛函取极值的必要条件、即,Euler,Lagrange,方程后，还需要在给定的定解条件下求解微分方,程，才有可能求得极值函数,需要注意,Euler,Lagrange,方程只是泛函取极值的必要条件,并不是充分必要条件在给定的定解条件下,Euler,Lagrange,方,程的解可能不止一个，它们只

10、是极值函数的候选者到底哪一,几,个解是要求的极值函数，还需要进一步加以甄别,和求函数极值的情形一样，甄别的方法有两种,一种是直接比较所求得的解及其“附近”的函数的泛函值,根据泛函极值的定义加以判断这种方法不太实用，至少会涉,及较多的计算,另一种方法是计算泛函的二级变分,2J,如果对于所求得的,解，泛函的二级变分取正,负,值，则该解即为极值函数，泛函,取极小,大,这种方法当然比较简便，但如果二级变分为,0,则,需要继续讨论高级变分,实际问题往往又特别简单：这就是在给定的边界条件下,Euler,Lagrange,方程只有一个解，同时，从物理或数学内容上,又能判断，该泛函的极值一定存在，那么，这时求

11、得的,唯一解一定就是所要求的极值函数,3.4,约束条件下的变分问题,如果实际应用场合，只允许泛函的可取函数值,能从符合一定条件的子集中选取，并寻找泛,函驻定的极值，问题就成为约束条件下的变,分问题。类似于约束条件下的函数极值方法,求解，通过,Lagrange,乘法求解,设有二元函数,f(x; y,它取极值的必要条件是,先回忆一下多元函数的极值问题,还有二元函数的条件极值问题，即在约束条件,常用,Lagrange,乘子法来处理多元函数的条件极值问题,下求函数,f(x; y,的极值问题，就可以引进,Lagrange,乘子,而定义一个新的二元函数,在约束条件,由此可以求出,代回到约束条件中，定出,L

12、agrange,乘子,的数值,就可以求出可能的极值点,x; y,仍将,x,和,y,看成是两个独立变量，这样，这个二元函数取极,值的必要条件就是,容易看出，消去，这就能化为上面给,出的必要条件,一、微分方程形式的约束条件,2,1,0,x,x,J,U,x,F,x,U,x,U,x,dx,0,1,2,i,x,U,U,i,m,附带约束条件,1,2,i,i,m,设待求,Lagrange,乘子,2,1,1,m,x,i,i,x,i,J,U,x,J,U,x,x,x,U,U,dx,1,m,i,i,i,F,x,U,U,F,x,U,U,x,x,U,U,2,1,0,x,x,J,U,x,F,x,U,x,U,x,dx,新的

13、泛函,新的被积函数,新的变分,新的变分对应,Euler,方程,0,F,d,F,U,dx,U,例,求泛函,在边界条件,和约束条件,下的极值曲线,采用上面描述的,Lagrange,乘子法，可以得到必要条件,一、泛函方程形式的约束条件,2,1,1,2,x,i,i,x,x,U,U,dx,C,i,m,附带约束条件,2,1,0,x,x,J,U,x,F,x,U,x,U,x,dx,1,2,i,i,m,设待求,Lagrange,乘子,2,1,1,1,m,m,x,i,i,i,x,i,i,J,U,x,J,U,x,x,x,U,U,dx,C,新的泛函,2,1,1,1,2,m,i,i,i,i,x,i,i,x,F,d,F,

14、d,U,dx,U,U,dx,U,x,U,U,dx,C,i,m,新的变分对应,Euler,方程,3.5,线性算子方程化为变分方程,泛,函,等价,Euler,方程,微,分,算,子,积,分,算,子,矩,阵,算,子,一、正算子的确定性问题,U,f,A,min,J,U,U,U,U,f,f,U,A,等价,证明,J,V,U,U,U,f,f,U,U,U,U,f,f,U,U,U,f,f,A,A,A,A,A,0,U,U,A,A,A,算子正性和对成性得,0,I,J,V,J,U,U,f,U,f,A,A,A,所以,当,U,满足算子方程时,JU=min,第一步,if,V,U,第二步,if,V,U,是复常数,U,f,A,可

15、以得到,且算子必须是正算子,二、下有界算子的本征值方程,U,U,A,定理一,下有界算子特征值方程的所有特征值都是实数,且任何两个本征值对对应的本征函数正交,min,min,U,U,J,U,U,U,A,定理二,本征值的最小值定理，本征值的最小值满足,设本征值序列,若已知方程的前,n,个特征值及其,特征向量，则后续特征值是泛函,在约束条件,下的极小值，满足泛函,1,2,3,n,min,min,U,U,J,U,U,U,A,0,1,2,k,U,U,k,n,A,1,1,1,1,1,1,1,0,1,2,n,n,n,n,n,n,n,k,U,U,J,U,U,U,U,U,k,n,A,定理三,后序本征值定理,目前

16、求解特征问题可以选择方法,U,U,A,J,U,U,U,U,U,A,同确定性问题,通过求解特征值方程，可以求得与算子的维数相,同个数的特征值以及特征向量，但是特征值越大,计算精度越差（正交性难以有效保证,三、正定算子的广义本征值方程,U,U,A,B,定理一,正定算子广义特征值方程的所有广义特征值都,是实数，且任何两个本征值对对应的本征函数广义正交,min,min,U,U,J,U,U,U,A,B,定理二,广义本征值的最小值定理，本征值的最小值满足,1,2,3,n,min,min,U,U,J,U,U,U,A,B,0,1,2,k,U,U,k,n,B,1,1,1,1,1,1,1,0,1,2,n,n,n,

17、n,n,n,n,k,U,U,J,U,U,U,U,U,k,n,A,B,B,设本征值序列,若已知方程的前,n,个特征值及其,特征向量，则后续特征值是泛函,在约束条件,下的极小值，满足泛函,定理三,后序广义本征值定理,四,S,L,方程的泛函,3.6,波动方程标准变分原理,内积定义,如前面的讲述，在如上内积定义下，要求算子方程必须自,伴、正定,但是由于我们只关心原来的算子方程的解,至于在此点泛函到底是取极大点、极小点还是拐点，我们,并不一定在意,泊松方程,算子,3.7,波动方程修正变分原理,标准变分原理只能处理齐次边界条件，当边界条件,成为非齐次时，算子就不满足自伴条件,u,构造新的函数,其中,u,是满足非齐次,边界条件的任意函数,3.8,波动方程广义变分原理,0,2,0,0,0,2,1,r,t,t,H,t,t,t,t,t,t,B,E,D,H,J,B,E,D,J,E,J,2,0,0,2,1,r,t,t,E,J,E,2,0,0,2,2,0,0,2,1,1,2,1,1,2,r,v,v,r,J,E,t,t,dV