一元二次方程的实际应用精讲精练

1、5.实际问题与一元二次方程 学习目标1.经历分析具体问题中的数量关系,建立方程模型解决问题的过程,认识方程模型的重要性,并总结运用方程解实际问题的重要性.2.通过列方程解应用题,进一步提高逻辑思维能力和分析问题,解决问题的能力.预习导引在一次数学检测中,赵亮对下道应用题的解答过程如下:试题:某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可以售出20件,每件盈利40元,为了扩大销售,增加利润,尽量减少库存,商场决定采取适当的降价措施,经调查发现,如果每件衬衫降价1元,商场平均每天多售出2件,若商场平均每天要盈利1200元,每件衬衫应降价多少元?解:设每件衬衫应降价x元,则每件所获得的利润为(40x)元,但每天

2、可多销出2x件,每天可卖(20+2 x)件,根据题意可列方程:(40x)(20+2x)=1200 方程化简整理为:x230x+200=0 解得:x1=20 x2=10答:若商场每天要盈利1200元,每件应降价10元或20元.当试卷发下时,赵亮发现本题被扣去1分,他百思不得其解,为什么要扣去1分呢?你能帮赵亮同学找找原因吗?与同伴交流自己的想法.实际问题的解,不仅要满足所列方程,还应符合题目中的每一个条件.点拔当降价20元或10元时,每天都能盈利1200元,因要尽量减少库存,在获利相同条件下,降价愈多,销售越快,才能满足题目中的要尽量减少库存的要求,故应选择每件降价20元.因而列方程解应用题时应

3、认真审题,不能漏掉任何一个条件.知能互动1.列一元二次方程解应用题的特点:一元二次方程的应用是一元一次方程应用的继续和发展,能用一元一次方程解的应用题,一般可用算术方程解.而用一元二次方程解的应用题,一般不能用算术方法求解.由于一元二次方程的次数为二次,所以其应用相当广泛,其中面积问题,两次增长的平均增率和储蓄问题,经营问题,数字问题中涉及到积的一些问题,都是代表类型.(1)数字问题:要能正确地表示诸如多位数,奇偶数,连续整数的形式.如:一个三位数abc可表示为 连续两个偶数可表示为 连续两个整数可表示为 这类问题常常间接设未知数,相等关系由题目的关键语句”译”出.(2)平均增长率(增长率或降

4、低常)问题;在此例问题中,一般有变化前的基数(a),增长率(x)变化的次数(n),变化后的基数(b),这四者之间的关系可用公式_ 表示.这类问题中等量关系通常由这个公式及由相关的词语”译”出.(3)经营问题,这也是近年来中考中出现频率高的应用问题.在这类问题中有进价(a)售价(b)利润(p)件数(n)等相关的量.这些量之间的关系可用公式 表示,同时件数(n)又经常与售价(b)关联,在解答此类问题时,一定要准确地找到反映它们关系的代数式.(4)其它问题,在近年的中考中,常常出现一些贴进生活,生产的实际问题,如:规划、方案设计、测量统计、几何应用,与物理及其它学科之间的渗透的问题等.解答这些问题时

5、,等量关系一般从已知公式或题目中的关键词句”译”出.(1.(1)100a+10b+c 2n 2n+2 n n+1 (2)a(1+x)n=b (3)p=(ba)n)2.列一元二次方程解应用题的一般步骤:和列一元一次方程解应用题一样,列一元二次方程解应用题的步骤可归纳为”审,设,列,解,答”.(1)审:认真审题,分析题意,弄清已知和未知,寻找相等关系;(2)设:就是设未知数,分直接设未知数和间接设未知数,所谓直接设未知数就是问什么设什么,反之就是间接设未知数.到底选择何种方式设未知数,要以有利于列出方程为准则.(3)列:就是根据题目中的已知量与未知量之间的相等关系列出方程.列一元二次方程解应用题时

6、,一般会产生两个解,必须检验每个解是否符合题意,正确取舍.(4)解:就是求出所列方程的解. (5)答:就是书写答案,在答之前应对解得的方程的解进行检验,舍去不符合实际意义的解.3.如何探求应用问题中的等量关系.列一元二次方程解应用题,关键是正确地找到等量关系.如何迅速地探求出相等关系列出方案呢?(1)要正确熟练地作语言与式子的互化.(2)充分运用题目中所给的条件.(3)要善于发现利用间接的,潜在的等量关系.(4)对一般应用题,可以从以下几个方面着手寻找相等关系.利用题目中的关键语句作为相等关系.利用公式、定理作为等量关系.从生活、生产实际经验中发现等量关系.名题探究例1.已知一直角三角形三边长

7、为三个连续偶数,试求这个直角三角形三边长及面积.命题意图本例考查列一元二次方程解答有关的数字问题.解析用含未知数的代数式表示出三个连续的偶数,再根据勾股定理列出方程求解.解:设直角三角形三边长分别为n,n+2,n+4,(n为偶数:n2+(n+2)2=(n+4)2。化简,整理,得:n24n12=0 解得: n1=6,n2=2 由于三角形的边长不能为负数,所以取n=6n+2=8,n+4=10 即,两直角边为6,8,斜边为10. 三角形面积为.答:直角三角形三边长为6,8,10,面积为24.思路探究几何中的定理是我们列方程的等量关系的重要来源.例2.某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今明两年的投

8、资总额为12万元,求该校这两年在实验器材投资上的平均增长率是多少?命题意图本题主要考查平均增长率问题.解析本例属于平均增长率问题,若设平均增长率为x,则今年的投资额为2(x+1)万元,明年的投资额为2(x+1)2万元,由今明两年的投资总额为12万元可列方程.解:设这两年在实验器材投资上的平均增长率为x,根据题意可列方程:2(1+x)+2(1+x)2=12化简整理得:x2+3x4=0 解这个方程得:x1=1,x2=4(负值不合题意,应舍去)答:该校这两年在实验器材投资上的平均增长率为100%.思路探究在本例中,12万元是两年的投资总额,不是最后一年的投资额,不能错误地列出方程2(1+x)2=12

9、;另外在解这个方程时,还可把(1+x)当作一个整体,用换元法解.例3.如图所示,ABC中,B=90,点P从A 点开始沿AB边向点B以2厘米/秒的速度移动,点Q从B点开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动.(1)如果P,Q分别从A,B同时出发,经几秒钟,使PDQ的面积等于8厘米2?(2)如果P,Q,分别从A,B同时出发,并且P到B点又继续在BC边上前进,Q点到达C点后又继续在CA边上前进,经过几秒钟,使PCQ的面积等于12.6厘米2?命题意图本例主要考查一元二次方程知识与几何知识的综合运用,培养学生分析问题解决问题的能力. 解析先用含未知数的代数式表示出三角形的底和高,再根据三角形的面积公式列

10、方程.解(1)如图所示,设经过x秒,使得PBQ的面积为8厘米2,则PB的长度为(6x)cm,BQ的长度为2xcm,根据题意可列方程得:， 解之得:x1=2,x2=4 经过 2秒,点P到离B点4cm处,点Q到离B点的4cm处；经过4秒，点P距离B点2cm处,点Q到距离B点8cm处.即经过2秒或4秒,PBQ面积为8cm2. (2)设经过y秒,点P移到BC上,且有CP=(14y) cm,点Q移到CA上,且有CQ=(2y8) cm,作PDAC于D.(如图) AC=由CPDCAB得 PD=. 根据题意可列方程：解这个方程得：y1=7,y2=11 当y=7时，点P在BC上距C点7cm处，点Q在CA上距离C

11、点6cm处，使PCQ面积为12.62。当y=11时，点P在BC上距离C点3cm处，点Q在CA上距离C点14cm处，1410，点Q已不在CA上，即此解不存在 y=7 即经过7秒钟，PCQ的面积为12.6厘米2.思路探究象本例这一类动点问题一般要考查代数知识与几何知识的综合运用.解题的关键是要有动态观点,弄清点的运动特征.动态问题,作静态分析,分类讨论,列出方程.例4.某儿童玩具商店将进货价为30元的一种玩具以40元售出,平均每月能售出600个.调查表明:这种玩具售价每上涨1元,其销售量将减少10个,为了实现平均每月12000元的销售利润,这种玩具的售价应定为多少?这时进这种玩具多少个?命题意图本

12、例考查经营销售问题.解析设每玩具涨价x元,则售价为(40x)元,每一只玩具的利润为(40+x30)元,销售的件数为(60010x)件,根据总利润为12000元列出方程.思路探究每一只玩具利润和销售总量均与上涨的价格有关,因而设上涨的价格为未知数较合适,用含未知数的代数式表示每一只玩具的利润和销售量.解:设每件玩具涨价x元，根据题意可列方程：(40+x30)(60010x)=12000解之，得：x1=20,x2=30 检验知x1=20,x2=30均符合题意所以，每只玩具售价应定为60元或70元，进货量应为400只或300只。中考链接例5.某农户1988年承包荒山若干亩,投资7800元改造后种果树

13、2000棵,其成活率为90%,在2010年夏季全部结果时,随意摘下10棵果树的水果,称得重量如下(单位:千克):8,9,12,13,8,9,10,11,12,8(1)根据样本平均数估计该农户2001年水果的总产量是多少?(2)此水果在市场出售每千克售1.3元,在果园每千克售1.1元,该农户用农用车将水果拉到市场出售,平均每天出售1000千克,需8人帮助,每人每天付工资25元,若两种出售方式都在相同的时间内售完全部水果,选择哪 种出售方式合理?为什么?(3)该农户加强果园管理,力争到2013年三年合计纯收入达57000元,求2012年,2013年平均每年增长率是多少?命题意图本例考查平均数意义及

14、应用,方案的选择,平均增长率等知识.解析(1)中由样本平均数估计出总体平均数,进而估计出2001年水果的总产量,(2)通过计算,比较哪种销售方式所获收入多,(3)根据2001,2002,2003年纯收入的和为57000元,列方程求解.解(1)(千克)2001年水果总产量为200090%10=18000(千克)(2)在果园出售时收入为1.118000=19800元送到市场销售收入为23400元,用人工费为3600元,实际收入19800元,因市场销售还有运输费等费用,故在果园出售合理.(3)设平均每年的增长率为x,根据题意可列方程:(198007800)1+(1+x)+(1+x)2=57000解得

15、:x1=3.5(不合题意,应舍去)x2=0.5=50%答(1)2001年的水果总产量为18000千克.(2)在果园销售合算.(3)年平均增长率为50%. 达标训练一、选择题：1.某商品两次价格下调后,单价从5元变为4.05元,则平均每次调价的百分率为 A.9% B.10% C.11% D.12%2.容器里装满纯酒精,倒出一半后用水加满,再倒出,再用水加满,此时容器内酒精浓度为 A.15% B.12.5% C.37.5% D.25%3.某超市一月份的营业额为200万元,一,二,三月份的营业额为1000万元,设平均每月的营业额为增长率为x,则 A.200+2002x=1000 B.200(1+x)

16、2=1000 C.200+2003x=1000 D.2001+(1+x)+(1+x)2=10004.从正方形的铁片上,截去5cm宽的一个长方形铁皮,余下的面积为84cm2,则原来正方形面积最大可能为 cm2.A.84 B.109 C.144 D.4205.一个数字和为10的两位数,把个位与十位数字对调下得到一个两位数,这两个数之积是2296,则这个两位数为 A.28 B.82 C.28或82 D.不确定6.元旦期间,一个小组有若干人,新年互送贺卡一张,已知全组共送贺卡132张,则这个小组共有 人.A.11 B.12 C.13 D.147.北京市政府为迎接2008年奥运会,决定改善城市面貌,绿化

17、环境,计划经过两年时间,绿地面积增加44%,则这两年平均每年绿地面积的增长率是 A.19% B.20% C.21% D.25%二、填空题：8.两个连续奇数的平方和为202,则这两个奇数是 9.直角三角形的面积为6,两直角边的和为7,则斜边长为 10.某工厂第一季度平均每月增产10%,一月份产值a元,那么三月份产值为 .三、解答题：11.一块耕地大小尺寸如图所示,要在这块耕地上沿东西和南北方向分别挖二条和四条水渠,如果水渠的宽相等,而且要保证余下的可耕地面积为9600平方米,那么水渠应挖多宽?12.某网络公司2000年各项经营收入中,经营电脑配件收入600万元,占全部经营总收入的40%,该公司预

18、计2002年经营总收入达到2160万元,且计划从2000到2002年每年经营总收入的年增长率相同,问2001年的预计经营总收入为多少万元?13.用篱笆围成一个长方形花坛,其中一面靠墙,且在与墙平行的一边开一个2米宽的门,现有能围成91米长的篱笆,墙长为50米,花坛的面积要达到1080平方米,你能设计出符合要求的方案吗?不妨试试看.14.我国由水蚀和风蚀造成的水土流失面积达356万平方公里,其中风蚀造成水土流失面积比水蚀造成的水土流失面积多26万平方公里.(1)问水蚀,风蚀造成的水土流失面积各是多少平方公里?(2)西北某省重视水土流失问题,2010年治理了水土流失面积400平方公里,该省逐年加大

19、治理力度,计划今明两年治理水土流失面积都比前一年增长 一个相同的百分数,到2013年底,使这三年治理水土流失面积达到1324平方公里,求该省今明两年治理水土流失面积每年增长的百分数.15.生产一种玩具熊猫,每日最高产量为40只,且每日产出的产品全部售出,已知生产x只玩具熊猫的成本为R(元),售价为每只P(元),且R,P与x的关系式为R=500+30x,P=1702x,当日产量为多少时,每日获得的利润为1750元?16.已知直角三角形周长为,斜边上的中线长为1,求这个直角三角形的面积.17.某公司向银行贷款20万元资金,约定两年到期时一次性还本付息,利息是本金的12%,该公司利用这笔贷款经营,两

20、年到期时除还清贷款的本金及利息外,还盈余6.4万元,若在经营期间每一年比前一年资金增长百分数相同,试求出这个百分数.18.某电厂规定,该厂家属区每户居民如果一个月的用电量不超过A度,那么这居民这个月只须交10元电费;如果超过A度,则这个月除了仍要交10元的用电费以外,超过的部份还要每度按交费.(1)该厂某户居民2月份用电90度,超过了规定的A度,则超过的部份应交电费 多少元(用A表示)(2)下表是这户居民3月、4月用电情况和交费情况:月份用电量(度)交电费总数(元)3802544510 根据上表数据,你能求电厂规定的A的值吗?试试看.19.如图所示,在ABC中,AB=AC,A=36,BD平分A

21、BC交AB于D,已知AB=4 cm,你能求出底边BC吗?试试看.20.如图所示,客轮沿折线ABC从A点出发经B再到C匀速航行,货轮从AC的中点D出发沿某一方向匀速度直线航行,将一批货物送达客轮,两船同时起航,并且同时到达折线ABC的某点E处,已知AB=BC=200海里,ABC=90,客轮是货轮速度的2倍. (1)选择:两船相遇之处E点 A.在线段AB上 B.在线段BC上 C.可以在线段AB上,也可以在线段BC上(2)求货轮从出发到两船相遇共航行了多少海里?21.某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品,该商店可以自行定价,若每件商品售价为a元,则可卖出(35010a)件,但物价局限定每件商品

22、加价不能超过进价的20%,商店计划要赚400元,需要卖出多少件商品?每件商品售价多少元?22.汽车租货公司共有出租车120辆,每辆汽车的日租金为160元,出租业务天天供不应求,为适应市场需求,经有关部门批准,公司准备适当提高日租金,经市场调查发现,一辆汽车日租金每增加10元,每天出租的汽车相应地减少6辆.若不考虑其它因素,公司将每辆汽车的日租金提高几个10元?(1)能使公司的日租金总收入达到19380元?(2)使公司的日租金总收入最高?最高是多少?达标训练答案提示1B 2.C 3.D 4.C 5.A 6.B 7.B 8.11,9或9,11 9.5 10.1.21a元11.解:如图所示,把这六条

23、路移到靠边的部位,设路宽为x米,根据题意可列方程(1622x)(644x)=9600, 整理为:x297x+96=0 解之:x1=1 x2=96 .而x2=96不符合题意 x=1答:路宽为1米.12.解:2000年的经营总收入为60040%=1500(万元)设年增长率为x,则1500(1+x)2=2160 (1+x)2=1.44 1+x=1.2(舍去1+x=1.2)1500(1+x)=15001.2=1800(万元) 答:2001年预计经营总收入为1800万元.13.解:设垂直于墙的边长为x米,则平行于墙的长为(91+22x)米,根据题意,得x(91+22x)=1080解之:x1=24,x2=

24、22.5 经检验均符合题意. 当x1=24时,91+22x=45;当x2=22.5时,91+22x=48米答:花坛的长和宽分别为45米,24米或48米,22.5米.14.解(1)设水蚀造成的水土流失面积为x平方公里,则风蚀造成的水土流失面积为(x+26)万平方公里,根据题意有:x+(x+26)=356, 解之:x=165, x+26=191.故水蚀与风蚀造成的水土流失面积分别为165万平方公里和191万平方公里.(2)设该省今明两年治理水土流失面积每年增长的百分数为x,依题意,得400+400(1+x)+400(1+x)2=1324 解得:x1=0.1 x2=3.1(不符合题意,应舍去)故平均每年增长的百分数为10%15.解:依据题意有(1702x)x(500+30x)=1750, 解之得x1=25,x2=45(不符合题意应舍去),即日产量为25只时,每月获得利润为1750元.16.解:设直角边分别为a,b,根据题意有:a+b=,22得:2ab=1.答:此三角形面积为.17.解:设这个百分数为x,根据题意有:20(1+x)2=6.4+20(1+12%). 解得x1=0.2,x2=2.2(不合题意应舍去).答:这个百分数为20%.18.解(1) (