三角函数的应用(一

1、三角函数的应用(一)执教：钱如平 班级：高三(1) 地点：本教室 时间：20021121教学目标：合理地运用三角换元法及三角函数的有关知识解决数学问题，将三角知识与 其他知识有机结合以培养学生综合运用知识解题的能力教学方法：讲练结合教学重点：三角函数及三角式的恒等变形，实际问题三角化教学难点：将实际问题转化为三角问题新课引入：三角是高中代数的重要内容之一，每年的高考试题中约有30来分，在复习中要注意三角函数及三角式的恒等变形。在许多数学问题中，三角是作为工具应用的，有时运用“三角换元法”可将其他问题转化为三角问题，有时在解题中需将其他知识与三角知识有机地结合起来。小题训练：(1) 若x(0，)

2、，则函数y(1sinx) (1cos2x)的最大值是 （ ） （A） （B） （C） （D） 提示：y(1sinx)2sin2x(22sinx)sinxsinx x(0，) sinx0，1sinx0 y 当且仅当22sinxsinx即sinx时取等号，故选（D） 说明：本题将三角知识与基本不等式有机地结合了起来(2) 已知x、yR，且，则xy的最小值为 （ ） （A）12 （B）16 （C）6 （D）24 提示： x、yR，且 可令cos2，sin2，(0，)xysec29csc210(tan29cot2)10616当且仅当tan29cot2即tan23时等号成立 说明：1本题巧妙地运用三角换

3、元法化繁为简，便于求解。此题用其他方法（如基本 不等式或化归为关于x的分式函数），则易错且麻烦。 2这里限定(0，)是非常有必要的（为什么？） 3非三角问题转化为三角问题有时是较方便的。 一般地，形如：x、yR，xy1(或r 2)； x、yR，xy1(或r 2) x 2y 21(或r 2) x 2y 21(或r 2) 的条件均可考虑用三角换元法将其三角化(3) P是以F1，F2为焦点的椭圆上一点，且PF1F2， x y OPF1F22aa PF2F12，则椭圆的离心率等于 （ ） （A）2cos1 （B）2sin1 （C）1sin （D）1cos 提示：在PF1F2中，由正弦定理有： 由合分比

4、定理知： 即 e2cos1 或：e 4cos232cos1 （这里要记住三倍角公式）说明：1本题将三角知识与解几知识结合在一起，并综合用到椭圆的定义、正弦定理、合分比定理等知识，是一道综合题2这里可将2推广到一般的角来求离心率（留作作业），并且对双曲线也有同样的问题可解决3本题是否可考虑用特殊值来处理？如令30(令45就不能一步到位地解决)注：一般说来，特殊化考虑总要较一般化考虑来得更方便，但这里似乎是个反常（留作学生思考）(4) 函数yx的值域是 提示： 1x20 x1，1 令xcos，0， 则ycoscossinsin() ， sin()，1 y1，说明：1本题采用了三角换元法，注意对角的

5、范围的限制 2若改为求函数y的最值，又如何换元？(5) 若复数z的模为1，辐角，则|z2z2|的取值范围是： 提示：设zcosisin， |z 2z2|cos2isin2cos2isin2|2|cos2| 2， cos2 2|cos2|0，1例1 设复数z1、z2的模都是1，辐角分别是和，其中(o，2o)，已知z1i ，求tg的值。解：由题意：z1cosisin， z2cos ()isin ()sinicos z1(cossin)i(cossin)i cossin 两边平方得：sin2 2(2，4) cos2 tan或或：sincos sin、cos是一元二次方程x 2x0的两根 tan或说明

6、：此题明显应将z1、z2用三角形式表达，然后由共轭复数概念得到三角关系式，是道基本题，可让学生独立完成ABCDha例2 水渠横断面为等腰梯形（如图所示），渠深为h，梯形面积为S，为了使渠道的渗水量达到最小，应使梯形两腰及下底边长之和为最小，问此时腰与下底夹角应该是多少？分析：这里涉及多个字母，首先应搞清已知条件中哪些字母是定值，哪些字母是变量 解：由已知：CEhcot BChcsc2x1y S(CDhcot)h CDhcot 设两腰及下底边长之和为l ，则 lCD2BChcot2hcsc (0，) 令f() ，(0，) 要求l的最小值就是要求f()的最大值 f()表示两点(sin，cos)、(0，2)连线的斜率 f()max lminh 当l取最小值时 当腰与下底夹角为时渠道渗水量最小 说明：1得到l (0，)后也可用万能置换法解 令mtan (0，1)，则 当且仅当tan m(0，1) 即时取等号 2这是一个实际应用题，将其转化为三角问题来解思路自然，条理清晰 3此题分析后直接将解答过程用幻灯打出，以节省时间