人教A版数学必修4第一章三角函数教学设计

1、人教A版数学必修4第一章三角函数教学设计第一部分（整章内容）一、 教材分析：1教学内容：任意角、弧度制、任意角的三角函数、三角函数的诱导公式、三角函数的图象与性质、函数的图象、三角函数模型的简单应用。2在模块内容体系中的地位、作用：（1）加深对数学与实践关系的认识。三角函数是刻画现实世界某些现象的重要数学模型。周期变化现象在现实中大量存在，如音乐的旋律、波浪、昼夜的交替、潮汐、钟摆的运动、交流电等，这些现象都可以用三角函数来描述。实际上，三角函数的产生、发展与解决具有周期性变化规律的问题的需要密切相关。因此，三角函数的学习能使学生加深认识数学与实践的紧密联系，通过用三角函数解决实际问题的实践体

2、会数学的作用和价值，学习用数学的观点看待和处理日常生活以及其他学科的问题的方法。（2）认识数学内容的联系性，学习数学研究的方法。三角函数与数学1中的函数概念有着特殊与一般的关系，三角函数的研究以一般函数概念及其研究方法为指导，同时三角函数的学习可以加深对函数概念的理解。三角函数及其性质与圆及其性质有着直接的联系，三角函数的研究很好地体现了数形结合思想。在三角函数模块的研究中，借助单位圆进行几何直观是非常重要的手段，而且这也是使学生学会数形结合地思考和解决问题的好机会。学生可以从三角函数及其性质与圆及其性质的联系、几何以及三角函数的联系等，体会不同数学知识在内容与方法上的联系性，学习数学中发现问

3、题、提出问题和解决问题的基本方法。3总体教学目标：通过实例，学习三角函数及其基本性质，体会三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用。（1）了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化。（2）借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。（3）借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式（，）的正弦、余弦、正切），能画出，的图象，了解三角函数的周期性。（4）借助图象理解正弦函数、余弦函数在0，2，正切函数在（）上的性质（如单调性、最大和最小值、图象与x轴交点等）。（5 ）理解同角三角函数的基本关系式：（6）结合具体实例，了解的实际意义；能借助计算器或计算机画出的图象，观察参数A，对函

4、数图象变化的影响。（7）会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。4重点、难点分析：重点：任意角三角函数概念，同角三角函数的基本关系式，诱导公式及其用，正弦曲线的画法和正弦函数的性质。难点是：弧度制的概念，综合应用本章公式进行简单的三角函数式的化简和证明，周期函数的概念，函数的图象与正弦曲线的关系。解决这些重点和难点的关键是使学生熟练掌握任意角三角函数的定义，讲清正弦曲线的画法和正弦函数的性质。二、教学方式：1 改进呈现方式，用恰时恰点的问题引导学生学习。在保证内容体系的合理性、科学性的前提下，加强教材的问题性和思想性，在知识的发生发展过程中，利用“观察”

5、“思考”“探究”等栏目，提出恰时恰点的问题，把数学概念的概括过程和数学思想方法的形成过程设计成为一系列的问题，启发学生的积极主动思维。这样，可以使学生感到概念的发展和数学思想方法的形成是自然的，不是强加于人的。2使用信息技术本模教学中，比较适合使用信息技术的内容是三角函数及其性质的研究。“标准”中明确提出了“借助计算器或计算机画出的图象，观察参数，对函数图象变化的影响”的要求，在“说明与建议”中提出“应鼓励学生使用计算器和计算机探索和解决问题。例如，求三角函数值，求解测量问题，分析中参数变化对函数的影响等”。根据“标准”的要求和建议，本模块对使用信息技术问题作了如下处理：（1）用计算器进行角度

6、制与弧度制的互换；（2）用计算器求三角函数的值；（3）用计算器的sin1、cos1、tan1键，求角；（4）讨论的图象时，在边空中提示，“可以用五点法作图，有条件的也可以用计算器或计算机作图。在计算机的帮助下，对函数的图象变化的影响能直观地得到反映”；（5）在用三角函数模型解决问题的过程中，提倡使用计算机进行函数拟合等。相应的，在角的两种度量制的互换、求三角函数值、作函数图象等方面都降低了要求，这样做可以为学生借助信息技术探索数学规律，从事一些富有探索性和创造性的数学活动提供时间和空间。因为有了信息技术，教科书中引进了一些计算量大、需要根据数据选择和修正函数模型才能解决的问题。三、教学资源有关

7、讨论图象的课件在网上可以找到，也可以使用图形计数器。四、教学建议1充分利用三角函数与学生已有经验的联系创设问题情景。 三角函数是描述周期现象的重要数学模型，在学生的已有经验中，像日出日落，月圆月缺，春夏秋冬，24节气，时针旋转都是日常经验，对于这些周期变化现象及出现的原因，学生在地理课中都接触过、学习过；单摆，圆周运动，弹簧振子是学生在物理中学习过的，这些都是认识周期现象的变化规律，体会三角函数模型的意义的很好载体，教学中可以充分利用它们来创设三角函数的学习情境。2 充分利用相关知识的联系性，引导学生用类比的方法进行学习，加强教学的“思想性”。三角函数与数学1的函数概念是一般与特殊的关系，教学

8、中应当注意发挥学生头脑中函数概念及在指数函数、对数函数的学习中建立的经验的指导作用。通过联系和类比，使学生明确三角函数与已有函数概念的共通性，同时认识三角函数的特殊性描述周期现象的最有力的数学模型，从而明确需要研究的问题及其研究方法。3充分发挥几何直观的作用，注重数形结合思想方法的运用。在三角函数的教学中，要充分发挥单位圆的作用，并且要注意逐渐使学生形成用单位圆讨论三角函数问题的意识和习惯，引导学生自主地用单位圆探索三角函数的有关性质，提高分析和解决问题的能力。4把握教学要求，不搞复杂的、技巧性强的三角变换训练。弧度是学生比较难接受的概念，教学中应使学生体会弧度也是一种度量角的单位（圆周的所对

9、的圆心角或周角的），随着后续课程的学习，他们将会逐步理解这一概念，在此不必深究。另外，在三角函数中被删减的内容（如任意角的余切、正割、余割，三角函数的奇偶性，已知三角函数求角，反三角函数符号arcsinx等）以及降低要求的内容（如任意角概念，弧度制概念，同角三角函数的基本关系式，诱导公式等）都不要随意补充或提高要求。第二部分（章节内容）教学设计1 任意角和弧度制一、教学目标1 通过对生活中相关实例的观察，了解任意角的概念，体会引入任意角的必要性和实际意义；2 能够建立适当的坐标系来讨论任意角，并会判断任意角终边在直角坐标系中的位置；3 了解弧度概念以及用弧度度量角的方法；4 掌握弧度与角度的换

10、算关系，能进行弧度与角度的互化（可借助计算器）；5 初步培养学生从数、形两方面认识数学概念的意识。二、教学重点、难点重点：认识根据实际需要拓展数学概念的必要性；了解任意角和弧度制的概念，能正确进行弧度与角度的换算。难点：对弧度概念的理解；将终边相同的角用集合表示。有人说弧度就约等于“糊涂”，为什么弧度比较难理解呢？角的大小是一个量。就像长度，重量，速度，温度等量一样。物理中，我们知道，一个量的度量常常用不同的方法来测量，不同的测量方法最基本的差异是使用不同的测量单位。例如，温度有两种我们熟悉的度量单位，摄氏和华氏，中国人习惯使用摄氏温度，西方人则习惯使用华氏温度，很多人甚至并不知道摄氏温度和华

11、氏温度的单位是如何确定的。 “角度”容易被接受的原因之一是用“自己”度量“自己”，并且日常生活中我们经常使用这个单位，久而久之，就不太容易接受其他的角度度量单位了。 （2）用“弧度”来度量角，需要一个过程。首先，需要确定长度单位，用这个长度单位做一个圆，我们知道圆弧是有长度的，例如，整个圆周的长度是2。接着用长度单位来测量弧的长，我们把长度为1的弧所对应的角作为角的弧度单位，称为一弧度角，这样我们就确定了度量角的新的单位。最后必须说明：选择的长度单位不同，但得到的一弧度的角都是相同的，弧度指得是一个比值，它不依赖于圆半径的大小，这需要用到相似的概念。即，需要证明任何两个圆都是相似的，这要用到极

12、限的思想。对于这一点在中学时不要求的。 （3）“弧度”与“角度”的区别在于，角度是“自己”量“自己”，弧度是用“其他的东西”量角，即用“长度”量角，这是容易造成不习惯的地方。也正是由于这一点，弧度给我们带来很多好处。【知识结构】【教学资源建议】 任意角、弧度标准表述标准要求的具体化与深广度分析大纲相应的要求了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化了解任意角的概念：平面内一条射线着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。理解象限角和终边相同的角的概念及其表示。例如：第一象限角：k360 k360+90, kZ或（k360，k360+90）kZ第二象限角：k360+90 k360+180

13、, kZ或（k360+90，k360+180）kZ第三象限角：k360+180 k360+270, kZ或（k360+180，k360+270）kZ第四象限角：k360+270 k360+360, kZ或（k360+270，k360+360）kZ终边在x轴上的角:S= k180, kZ终边 在y轴上的角: S= k180+90, kZ所有与角终边相同的角，连同角在内，可以构成一个集合: S= = k360+, kZ理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算高中课程不要求的：对于判断一个角是第几象限角，只要求是具体的角，而不要求抽象的角。如：“已知是第三象限角，则分别是第几象限角

14、？”“标准”里不作要求。【课时安排】建议本节3课时：第1、2课时：任意角概念，象限角、终边相同的角；第3课时：弧度的概念及角度与弧度的换算。【教学方法与学习指导策略建议】（一） 任意角概念的引入 1几种处理方式（1）教师引导学生回顾所学角的定义后，提出问题：角定义中，射线绕顶点在某一平面内旋转，方向是否确定，旋转量有没有指名必须在一周内？指导学生分组讨论，并要求在现实生活中找到模型，说明原有概念的局限性，得出拓展角概念的必要性；最后，对照书本定义并要求做出角的图形已形成完整概念。（2）环节1：呈现生活中实际问题，引导学生概括总结原有角概念的局限性（从旋转方向和周数两个方面认识），此环节的教学重

15、在使学生体会到数学概念的产生或发展都有其内在的必然性，从而树立起数学学习是一个使认识不断发展、深化的过程，是一个使问题的解决方法不断丰富的过程；环节2：指出拓展角概念的必要性，引导学生给角重新下定义，并探讨用不同图形表示不同角（正角、负角及零角），形成对任意角的完整认识，此环节突出了从直观上阐释新概念内涵的特点，使新概念在学生头脑中较易生根；环节3 ：考虑在直角坐标系中表示任意角，得出象限角及终边相同角的概念，此环节主要是为下面学习三角函数的内容作好铺垫。（3）提出“拨手表指针”问题，引导学生感受推广角概念的必要性，使他们明确：要正确的表达“校准”手表的过程，需要同时说明指针的旋转量和旋转方向

16、。教学时，可以先让学生描述如何“校准”的过程，然后让学生体会仅用0360的角已经难以回答当前的问题，进而引出学习课题。接着，可类比正负数的规定，说明正角、负角是用来表示具有相反意义的旋转量，其正、负规定是出于习惯。 总之，不论哪种设计，均要突出数学概念是从需要（解决实际问题或数学内部发展需要）中引入，又根据需要不断发展的特点。理解数学概念时尽可能借助图形语言，充分体现数与形的完美结合。2 几种问题情境（1）在体操比赛中，转体。（2）钟表分针一昼夜转了多少度？（3）汽车、轮船驾驶的方向盘，可以顺时针旋转，也可以逆时针旋转，旋转角度也不局限于之间。（二）象限角、终边相同的角1处理方式建议象限角（1

17、） 引入象限角是为了便于研究三角函数。（2） 象限角的定义是在角的顶点与平面直角坐标系的原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合的前提下进行的。若角的终边落在坐标轴上，该角不属于任何象限。（3） 引导学生体会在直角坐标系内讨论角的好处。提醒学生，在统一的“标准”下，使角的讨论得到简化，由此还能有效地表现出角的终边位置的“周而复始”的想象，为进一步学习“终边相同的角”打下基础。终边相同的角以某一具体角为例，利用信息技术，在平面内建立适当的坐标系，画出该角，同时，按的整数倍旋转角的终边，观察角的变化规律，从而将数、形联系起来，使角的几何（图形）表示和代数（符号）表示相结合。为了使学生更好的归纳一般形

18、式，可在这个过程让学生进行操作、思考、讨论。最好能由学生得出共同认识：kZ；是任意角；终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无限多个，它们相差的整数倍。2典型例题例1 在0360之间，找出与下列各角终边相同的角，并分别判定各是哪个象限的角。（1）150；（2）700；（3）940突出计算手段，体会用代数的方法（用360去除所给定的角，使商为整数，余数在给定的范围内）在确定角终边位置的作用。明确直角坐标系是我们认识角的重要工具；借助计算判断角终边位置是一种快捷而高效的方法。例2终边在某一直线上（往往是特出位置）的角的集合本例题一方面要注意是角的终边是射线而不是直线，另一方面是将几何语言“在某直线

19、上”转化为代数语言“与某角终边相同”，还要注意对终边在某一直线上的角集合的统一表达式的获得过程的学习与理解。同时进一步理解终边位置相同的角不止一个，从而加深对任意角的认识；用特出位置的角来加深对终边相同的集合表示的形象理解。（三）弧度的引入处理方式建议（1） 把学生分成若干小组，老师指出，我们已会用图形表示一个角，并会用度表示角的大小，但是否思考过下面的问题： 的角是如何规定的？ 用一个圆心角所对的弧长来度量一个圆心角的大小（先不分正负）是否可行？同一个圆心角在半径不等的圆中所对弧长相等吗？ 用一个圆的半径来度量该圆一个圆心角的大小是否可行？其值会不会由于圆半径的变化而变化？ 如何定义圆心角的

20、大小？说明这种度量的科学性及好处。要求学生分组讨论以上问题（注意小组成员的分工与合作），写出结果并在班级内交流，师生共同确定答案。此法要注意能否有效组织小组合作学习；教师要避免学生放任自流，要体现教师在问题设计及促进学生积极思考方面的作用；注重课堂交流能力的培养，使学生在不断的交流中，逐渐明晰自己的思路。（）把学生分成若干小组。做实验：每小组分一根同样长度的绳子、不同长度的无刻度的“尺子”，要求学生分别测量各自绳子的长度（以“尺”为单位，并要求在班级内汇报结果。以此说明，同样大小的东西采用不同的度量方式将会有不同的结果，从而引入度量角的新方法：弧度制。在探讨角度制的本质后，作实验：每小组发一个

21、硬纸片做成的圆形图片，一段等于半径长的细铁丝，启发学生用它来量圆周，并考虑得到的结果是什么，随后在探讨弧度的规定，明确结论。思考圆的半径的大小对度量圆心角的值有什么影响（思考题）用什么圆度量最方便（为引入单位圆简化问题做准备）此法突出“活动教学”的特点让学生动手又动脑是真正的目的。（三） 角度与弧度互化抓住关系式：熟悉特殊角的角度与弧度的互化利用计算器加强弧度与度的转换，缩短对弧度度量角的感知时间，尽快习惯用弧度度量角。任意角的三角函数教学设计一、教学目标1借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；2会将任意角的正弦值、余弦值、正切值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；并关注它

22、们是如何随角的变化而变化的；3初步了解三角函数的概念，通过讨论三角函数的一般性质加深对函数一般概念的理解；4能根据三角函数定义或三角函数线判断三角函数值在各个象限的符号；5理解终边相同角的三角函数值相同的含义，初步感知周期性；6理解同角三角函数的两个基本关系式；会利用同角三角函数的基本关系式进行简单三角函数式的化简、求值及恒等式的证明；7进一步体会数形结合思想学习数学概念、拓展原有概念得到新概念的方法，通过认知冲突，初步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力。二、教学重点、难点 重点：借助单位圆理解任意角三角函数的概念，初步认识三角函数是描述客观世界中周期性变化规律的重要数学模型。由三角函

23、数定义式结合单位圆导出同角三角函数的两个基本关系式，并会应用它化简、求值及证明。难点：任意角的正弦、余弦、正切函数定义及其在单位圆上的几何表示（正确作出各三角函数线）；应用平方关系式求三角函数值，结果需要讨论，也是学习中的一个难点。三、知识结构四、教学资源建议1任意角的三角函数标准表述标准要求的具体化与深广度分析大纲相应的要求借助单位圆理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义理解任意角的正弦、余弦、正切函数的定义。设是任意一个角，它的终边与单位圆交于点P(x , y), 那么：（） y叫做的正弦，记作sin,即siny（） x叫做的余弦，记作cos,即cosx（） 叫做的正切, 记作ta

24、n, 即tan=掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，并会利用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦和正切。了解任意角的余切、正割、余割的定义理解同角三角函数的基本关系式：sinx + cosx=1 ,理解同角三角函数的基本关系式：sinx + cosx=1 ,例如：已知sin，且是第二象限角，求cos, tan的值掌握同角三角函数的基本关系式：sinx + cosx=1 ,tanx cotx=12初高中三角函数的差异（1）初中讲授的三角函数是静态的，主要讨论直角三角函数的边角关系，通过边的比值反映角的大小，而不是从函数的角度来认识。正弦、余弦、正切都是在给定直角三角形中定义的，因此角度之限制在0到

25、90度。可以说，解直角三角形是初中这部分内容的定位。（2）高中是从函数的角度来研究三角函数的，因此它强调的是变化规律。如何研究的变化规律？我们以正弦函数为例，有以下几个过程是需要特别注意。 从一般角的概念给出正弦函数的定义； 从单位圆正弦函数的图像； 从正弦函数的图像理解反映正弦函数变化的基本性质：周期（频率）、单调区间、零点、极值点等；从研究正弦函数的两个基本图形：单位圆、正弦函数图像正弦函数的基本公式：如sinx=sin(x+2nx) , 等等； 从对基本正弦函数y=sinx的理解影响一般正弦函数y=Asin(x+)变化的参数：周期，相位，振幅A等； 从对一般正弦函数y=Asin(x+)变

26、化的参数初步理解深入认识它们几何意义和物理意义。等等。 对上述过程的理解并不完全是在正弦函数学习中完成的。老师们可以把三角函数的学习过程与高中课程其他内容学习有机的结合起来，如，与物理的电学知识，与三角恒等变形等内容结合起来。（3）在高中三角函数的学习中，有两件事是非常重要的，一个是图形直观，一个是数形结合。例如，学习正弦函数时，图形直观通过两个图体现，单位圆和正弦函数图像，两个图是贯穿始终的。单位圆在以往的教学中没有引起足够的重视。欧拉在三角函数领域的工作就是从单位圆开始的，单位圆不仅仅是为说明定义而绘制的图像，在学习三角函数的整个过程中，它都会为我们提供很好的几何直观。3如何用解析几何思想

27、理解三角函数定义？（1）前面我们强调了单位圆在学习三角函数中的作用。首先，单位圆的作用反映在对任意角的理解，从锐角，直角，钝角，平角，周角，一直到任意角，它们会很清晰地反映在单位圆中。（2）一般三角函数的定义是借助于单位圆给出的。如图所示： Y M a X 在单位圆中，给定一个角，角的终边与单位圆相交于一点M的坐标（a,b）就完全地确定了所有三角函数的值。即sin=b,cos=a,tan=(a不为0)，等。点M的坐标蕴涵着丰富的含义，包括代数的和几何的含义。如，b是一个数，它的符号表示点M所处的位置，当b大于0，点M处于第一或第二象限，当b 小于0，点M处于第三或第四象限，b等于0，点M处在x

28、轴上；这样，a，b都大于0，则M点位于第一象限，角是第一象限角。数形结合在这里体现得十分清楚，正弦函数的几何意义就是点M纵坐标b的几何意义。它较正弦函数线更直接、更准确，因为，正弦函数线很难体现正负关系。对于正弦、余弦函数作图来说，运用解析几何的坐标思想也要方便一些。对正切函数，需要做一个转化，把点M（a,b）转换为（1，），这个点的纵坐标就直接、准确地反映了正切的几何意义。而正切函数线很难体现正负关系。（） 三角函数线的使用是历史的原因造成的，早期的三角学是“静态”数学，函数思想，解析几何的思想的产生比“静态”的三角学要晚。在现代的数学教育中，应该强化解析几何的思想，在一些教材中，淡化了三角

29、函数线，强调了解析几何的思想，这将会变成趋势。五、课时安排 建议本节3课时： 第1课时，任意角三角函数定义； 第2课时，三角函数值符号及终边相同角的三角函数值之间关系； 第3课时，同角三角函数的基本关系式。六、教学方法与学习指导策略建议（一）三角函数的定义1处理方式建议（） 教师在介绍三角函数描述周期运动变化规律的实例后，辅以课件展示三个函数值在其他象限的值的变化，确立拓广三角函数概念的必要性，采用类比方法，探讨新概念定义，培养学生拓展原有数学概念得到新概念的能力。锐角三角函数任意角的三角函数角的范围090任意大小借助图形直角三角形猜测图形：直角坐标系定义式略略定义本质线段长度比值与直角三角形

30、边长大小无关猜测探索：比值与点（用来定义的）在终边上的具体位置无关（2）在（1）中探讨出“比值与点在终边上的具体位置无关后”，将问题特殊化，引入单位圆概念，直接用单位圆上点的坐标来定义三角函数。然后把三角函数的一般定义作为思考题留给学有余力的学生课后探讨。教学中应向学生指出，三角函数定义中，是一个任意角，同时它也是一个实数（弧度数），“它的终边与单位圆交于点P（x,y）”，实际上包含两个对应关系，即实数（弧度）对应于点P的纵坐标y正弦，实数（弧度）对应于点P的横坐标x余弦，认识清楚上述对应关系，是理解三角函数定义的关键。 用单位圆上点的坐标定义三角函数有许多优点。其中最主要的是使正弦函数、余弦

31、函数从自变量到函数值（单位圆上点的横、纵坐标）之间的对应关系更加简单明了，突出了三角函数的本质，有利于学生利用已有的函数概念来理解三角函数；其次是更好的建立了三角函数的数形结合，使单位圆中的三角函数线与定义的联系更明显；更有利于我们结合直观图形讨论三角函数的定义域及其他一般性质、同角三角函数的基本关系式、诱导公式等。由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，三角函数就可以看成以实数（角的弧度数）为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数。2问题情境 （1）电流i（单位：A）随时间t（单位：s）变化的函数关系是:i= isint , t（2）弹簧挂着的小球作上下振动，时间t（单位

32、：s）与小球相对于平衡位置（即静止时的位置）的高度h(单位：cm)之间的函数关系是：h= 2sin(t+) , t.(二) 三角函数线1教学建议通过将三角函数定义特殊化、几何化，探讨三角函数线。 三角函数线是学生学习中的一个难点，同时也是数形结合讨论三角函数的重要工具。可以让学生回顾，定义中终边上点的选取的任意性，把此点特殊化，选取终边与单位圆的交点，即可将定义式化简，再解释坐标的几何意义。 正弦线、余弦线、正切线分别是正弦、余弦、正切函数的一种几何表示。它们都是与单位圆有关的平行于坐标轴的有向线段。如果规定一条线段的其中一个端点为起点，另一个为终点，这条线段就有了从起点指向终点的方向，于是把

33、它叫做有向线段。当有向线段与数轴平行时，我们可根据此线段的方向与数轴的方向相同或相反，分别给它的长度加上正号或负号，就得到此有向线段的数量，它是一个实数。可以用有向线段的数量来表示角的终边与单位圆交点的坐标，从而可以表示角的三角函数。2典型例题例1根据几何形式定义（三角函数线）求一个角的三角函数值。 先求出这个角的终边与单位圆交点的坐标，再由三角函数线定义解得。例2已知角终边上任一点的坐标，求角的三角函数值。 例3若，求证：sintan 本例主要是为了突出在寻找解决问题突破口时，三角函数线在代数关系转化为直观几何图形过程中的作用。（三）三角函数值符号在给出了三角函数的定义后，可设置“探究”活动

34、，留给学生主动学习的空间，引导学生通过自己的思维活动得出结论。建议把此部分作为定义的数形结合的应用，尤其要重视单位圆在确定三角函数值符号中的作用，深化对定义的理解。在得出结论后，要要求学生借助坐标系记住结论。（四）同角三角函数的基本关式1教学建议建议采用自学辅导式学习方法，以单位圆中的三角函数线作为认知基础，在单位圆中构造出以任意角的正弦线、余弦线为直角边的直角三角形是得出同角三角函数的基本关式的关键。利用几何图形从勾股定理中得出同角三角函数的“平方关系”是容易的；随后，再利用代数定义式找到“平方关系”，进而启发找到“商的关系”，也可以引导学生结合正切线，利用相似三角形的性质对关系式做出解释，

35、总之，讨论同角三角函数的基本关时，数形结合思想起这非常重要的作用。教师把注意力放在对公式应用时特点及方向的指导上。 “同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角（在使得函数有意义的前提下）关系式都成立。2典型例题 例1 化简：，其中为第二象限角。 学生对于化简到什么形式往往不清楚。一般，要实现函数名称尽量少，角尽可能少，运算尽可能简单（如次数尽量低、分母尽可能不含三角式、尽量不带根号等），即算到用目前所掌握知识不能再算为止。 例2 已知，求的值 此题关键是将未知用已知表达，因此选择关系式，问题便可迎刃而解。1。3-1。4三角函数诱导公式 、 三角函数的图象与性质教学设计一、学习目标

36、1理解正弦、余弦、正切的诱导公式（2k（kZ），），能运用这些诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明。2了解三角函数的周期性，知道三角函数yAsin（x），yAcos（x）的周期为（）。3能画出ysin x，ycos x，ytan x的图象，并能根据图象理解正弦函数、余弦函数在0，2，正切函数在（）上的性质（如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等）。二、重点、难点重点：正弦、余弦、正切的诱导公式（五组）以及诱导公式的综合运用，函数ysin x，ycos x，ytan的图象和性质。难点：理解诱导公式、用一句话概括诱导公式，切实掌握

37、诱导公式是难点；利用正弦线画出函数ysin x在0，2上的图象、利用正弦线和诱导公式画出函数ycos x曲线、周期函数与最小正周期的意义都是难点；利用正切线画正切函数在（）上的图象、并使直线x=确实成为此图象的两条渐进线也是本单元的难点。三、教学内容安排（约8课时）三角函数诱导公式诱导公式：2k（kZ）， 1节课诱导公式： 1节课综合运用练习 1节课画出ysin x，ycos x，的图象 1节课周期函数与最小正周期的意义 1节课正弦函数、余弦函数在0，2 上的性质 1节课画出正切函数图象，正切函数在（）上的性质 1节课小结与综合练习 1节课四、教学方法与学习指导策略建议：1改进呈现方式，用恰时

38、恰点的问题引导学生学习。在保证内容体系的合理性、科学性的前提下，加强教材的问题性和思想性，在知识的发生发展过程中，利用“观察”“思考”“探究”等栏目，提出恰时恰点的问题，把数学概念的概括过程和数学思想方法的形成过程设计成为一系列的问题，启发学生的积极主动思维。这样，可以使学生感到概念的发展和数学思想方法的形成是自然的，不是强加于人的。例如，三角函数的诱导公式可以按教材方式，通过这样两个问题情景引出： 思考：我们利用单位圆定义了三角函数，而圆具有很好的对称性。能否利用圆的这种对称性来研究三角函数的性质呢？例如，能否从单位圆关于x轴、y轴、直线y=x的轴对称性以及关于原点O的中心对称性等出发，获得

39、一些三角函数的性质呢？ 探究：给定一个角。 终边与角的终边关于原点对称的角与有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？终边与角的终边关于x轴或y轴对称的角与有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？终边与角的终边关于直线y=x对称的角与有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？其中，“思考”中的问题是到位的，它对利用单位圆的性质讨论三角函数的性质具有一般思想方法的引导作用；“探究”中的问题比较具体，可以直接引起学生对诱导公式的探究活动。设计这样的问题系列，就是希望学生在问题的引导下，开展积极主动的思维活动，自己独立推导出三角函数的诱导公式，另外，这样的做法对于学生思考“应当从哪些方面来研究三角

40、函数”，即应当如何提出问题，也是有启发的。再例如正弦函数图象的呈现方式与过去的教材不同，它是以一个“简谐运动”实验的图象呈现给学生一个直观印象，这就是正弦曲线，然后再具体地利用正弦线画出比较精确的正弦函数图象，下面的内容与过去基本相同。所以教学中注意改变一下呈现方式2要根据学生的生活经验，创设丰富的情境，使学生体会三角函数模型的意义。例如，在学生的已有经验中，像日出日落，月圆月缺，春夏秋冬，24节气，时针旋转都是日常经验，对于这些周期变化现象及出现的原因，学生在地理课中都接触过、学习过；单摆，圆周运动，弹簧振子是学生在物理中学习过的，这些都是认识周期现象的变化规律，体会三角函数模型的意义的很好

41、载体，教学中可以充分利用它们来创设三角函数的学习情境。总之1.3三角函数诱导公式、1.4三角函数的图象与性质与过去教材比较，主要是删去了一些内容和呈现方式有所改变。所以教师课堂设计的工夫主要是内容的呈现方式和创设的情境。1。4-1。6单元设计方案一、教学内容1.4 三角函数的图像与性质1.4.1正弦函数、余弦函数的图像1.4.2正弦函数、余弦函数的性质1.4.3正切函数的性质与图像1.5函数的图像1.6三角函数模型的简单应用二、教学设计在我们的生活中有很多现象具有周期性，三角函数具有周期性，这是中学数学学习中其他基本函数所没有的。对三角函数的认识首先从对函数图像的直观感知开始，通过对部分图像的

42、分析，结合函数的周期性，归纳出整个定义域上正弦函数、余弦函数的性质。利用计算机或图形计算器作图，并根据函数的图像变换知识，得出正弦型函数的图像，并对生活中一些具有周期性的现象进行数学建模，利用三角函数的性质解决实际问题。教学目标：1、 理解用几何法作正弦函数的图像，掌握五点法作正弦函数、余弦函数的图像。2、以正弦函数、余弦函数的图像为表象，理解周期函数的定义，会使用定义求三角函数的周期；掌握三角函数的性质，并能简单应用。 3、掌握正切函数的图像与性质，练习使用正切函数线分析函数的性质。4、掌握函数的图像的做法，能从图像变换的角度分析上述函数与正弦函数的图像之间的关系。 5、 培养学生的应用意识

43、和数学建模能力。教学重点：1、五点法作正弦函数的图像。数学问题解决中求简意识、求精意识的培养。2、运用函数的性质研究函数的最值问题、单调区间问题及比大小问题。3、正切函数的单调性与值域。4、函数解析式中的待定系数对函数图像的影响。5、培养学生的数学阅读能力与审题能力。教学难点：1、理解简谐运动试验得出的是三角函数的图像。2、将图形特征概括为严谨的数学语言及对函数性质的应用意识的培养。3、通过正切线的变化归纳正切函数的性质，理解用函数的图像与用三角函数线研究问题，在本质上是一致的。4、探究函数解析式中的待定系数对函数图像的影响。5、 选择合适的函数，将实际应用问题转化为数学问题教学内容安排：课时安排：共8课时1.4 三角函数的图像与性质 4课时1.5函数的图像 2课时1.6三角函数模型的简单应用 2课时具体教学内容安排：1、演示实验：“简谐运动”：质子位移s随时间t的变化的图像，使学生初步感知三角函数的图像；根据正弦线的定义，运用描点法作出正弦函数在一个周期的图像；简化作图过程，寻找一个周期内的关键点即五点法，作出正弦函数的图像，在对图像的精确度要求不高时，这是简洁、常用的方法。针对五点法作图，配备教师例题及学生练习。2、观察