初中数学疑难习题

1、初中数学难题1.在等腰三角形ABC中，AB=AC，P,Q分别是AC,AB上的点，AP=PQQBBC，求角ACQ的度数。解：过Q作QE/BC，使得QE=QB，连接EP,EC则四边形BCEQ为菱形，由EC/AB得出ECP=A=PQAPC=AC-AP=AB-BQ=AQ,EC=BQ=PQ故ECPPQA故PE=AP=PQ=QE，PQE为等边三角形，故图中的x=20，因此ACQ=30.2.在图1至图3中，点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中点四边形BCGF和CDHN都是正方形AE的中点是M （1） 如图1，点E在AC的延长线上，点N与点G重合时，点M与点C重合，求证：FM=MH，FMMH；（2）将图1

2、中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图2，求证：FMH是等腰直角三角形；（3）将图2中的CE缩短到图3的情况，FMH还是等腰直角三角形吗？（不必说明理由）（1）证明：四边形BCGF和CDHN都是正方形，又点N与点G重合，点M与点C重合，FB = BM = MG = MD = DH，FBM =MDH = 90FBM MDHFM = MHFMB =DMH = 45，FMH = 90FMHM（2）证明：连接MB、MD，如图23-2，设FM与AC交于点PB、D、M分别是AC、CE、AE的中点，MDBC，且MD = BC = BF；MBCD，且MB=CD=DH四边形BCDM是平行四边形 CBM =CD

3、M又FBP =HDC，FBM =MDHFBM MDHFM = MH，且MFB =HMD又MDBC，FMDAPM，FMH =FMDHMD =APMMFB =FBP = 90FMH是等腰直角三角形（3）解：FMH是等腰直角三角形3 如图，在等腰RtABC与等腰RtDBE中，BDE=ACB=90，且BE在AB边上，取AE的中点F，CD的中点G，连接GF（1）FG与DC的位置关系是 FGCD，FG与DC的数量关系是 FG=$frac12$CD；（2）若将BDE绕B点逆时针旋转180，其它条件不变，请完成下图，并判断（1）中的结论是否仍然成立？请证明你的结论解 析 （1）证FG和CD的大小和位置关系，我

4、们已知了G是CD的中点，猜想应该是FGCD，FG=$frac12$CD我们可通过构建三角形连接FD，FC，证三角形DFC是等腰直角三角形来得出上述结论，可通过证明全等三角形来证明，延长DE交AC于M，连接EM，证明三角形DEF和FMC全等即可我们发现BDMC是个矩形，因此BD=CM=DE由于三角形DEB和ABC都是等腰直角三角形，BED=A=45，因此AEM=A=45，这样我们得出三角形AEM是个等腰直角三角形，F是斜边AE的中点，因此MF=EF，AMF=BED=45，那么这两个角的补角也应当相等，由此可得出DEF=FMC，这样就构成了三角形DEF和EMC的全等的所有条件，DF=FC这样就得出

5、三角形DFC是等腰三角形了，下面证直角根据两三角形全等，我们还能得出MFC=DFE，我们知道MFC+CFE=90，因此DFE+CFE=DFC=90，这样就得出三角形DFC是等腰直角三角形了，也就能得出FGCD，FG=$frac12$CD的结论了（2）和（1）的证法完全一样（1）FGCD，FG=$frac12$CD（2）延长ED交AC的延长线于M，连接FC、FD、FM，四边形BCMD是矩形CM=BD又ABC和BDE都是等腰直角三角形，ED=BD=CME=A=45，AEM是等腰直角三角形又F是AE的中点，MFAE，EF=MF，E=FMC=45EFDMFCFD=FC，EFD=MFC又EFD+DFM=

6、90，MFC+DFM=90即CDF是等腰直角三角形，又G是CD的中点，FG=$frac12$CD，FGCD如图，以ABC的三边为边，在BC的同侧作三个等边ABD、BEC、ACF（1）判断四边形ADEF的形状，并证明你的结论；（2）当ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？是矩形？ 解 析 （1）由题意易得BDEBAC，DE=AC=AF，同理可证，EF=AB=AD，ADEF为平行四边形；（2）AB=AC时，可得ADEF的邻边相等，所以ADEF为菱形，AEDF要是矩形，则DEF=90，由DEF=BED+BEC+CEF，可推出BAC=150时为矩形 解 答 （1）四边形ADEF为平行四边形，证明：ABD和EBC时等边三角形，BD=AB，BE=BC；DBA=EBC=60，DBA-EBA=EBC-EBADBE=ABC；在BDE和BAC中BD=BADBE=ABCBE=BC，BDEBACDE=AC=AF同理可证：ECFBCA，EF=AB=ADADEF为平行四边形；（