7车辆随机振动基础

1、9车辆随机振动车辆的随机振动实际上是车辆运行时的振动响应，这种响应主要是由于轨道不平顺的随机激励而引起的。 本章主要介绍随机振动以及相关的概念，以及单轴车模型在随机激励下响应的基本特征，初步了解车辆随机振动的分析计算方法和改善车辆运行平稳性的途径。 所讨论的是车辆系统，其结构和参数是对称的，因此垂向和横向的强迫振动响应是解耦的，可以分别独立研究。 对于机车而言，它产生振动的因素，除线路的构造和状态，轮对的构造和状态外，柴油机组和输助机组的构造和状态也会起到激扰作用（对柴油机）；电动机的构造和状态对电力机车也会起到激扰作用。 对车辆和机车的振动过程研究中，可在增加一组外力来反映这些作用。 第一节

2、 随机过程的统计特性 一、随机过程的统计特性 1随机过程的基本概念 一切物理现象可分为两类： 在给定的时间内能确定其物理变量的现象就称为确定性现象； 如 在一静止的车辆上置一激振器，以激起车体在弹簧装置上的振动，激励力是已知的简谐力，车体受激励而产生的振动?t?FsinF0规律由来描述。车体在任意时间t的振幅和加速度都?)x(xt)?sin(t?0可由计算确定，这种振动称为确定性的振动，它由确定性的激励所引起。 反之在给定时间t物理变量不能预先确定的现象称为随机现象。 如在任意时间t的振动变量不能预先确定，而只能用概率统计的方法对其进行整体描述，这种振动称为随机振动。 在随机振动中的一些量如振

3、幅和加速度称为随机变量。 随机变量是在随机试验的结果中能取到不同数值的量。 不能用确定性函数来描述但具有一定统计特性的过程称随机过程： 为随机过程。 个随机变量的总集合。随机过程是一簇n 其中任一个元素称为随机过程的样本。横坐标，以振动量（位移、速度和加速t振动的时间历程：以时间 度）为纵坐标的线图，常称为振动波形图。 (t1n x(t) 2 ? x(t) n t t+ t t ?m21 1 在研究许多随机过程时通常作如下徦设： 1） 平稳性假设 若一随机过程x（t）在任何时间t时的概念统计规律与t+?11时的一样，即过程的概率统计规律不因时间的推移而改变，则称x(t)为平稳随机过程； 2）

4、各态历经性徦设 随机振动的统计特性是考虑全部子样而得到的。如果在任一时间t跨越总集合的统计特性与单个子样x(t)的统计特性相ii 等，则称这个随机过程为各态历经的。随机振动过程的概率分布符合正态（高斯）分布规律。 3) 二、随机变量的概率密度和均值 采用时域上的各种参数和频域上的参 为了描述随机过程的特性， 数来进行。先了解如下概念。 幅值概率密度1的每是它的样本空间，对于E（概率的定义：E是随机试验，S的概率，如果，称为事件AP（A）A一事件赋予一实数，记为 它满足下列条件： ，（A）1有。 对于每一事件A 0P1 1（S）。 2 P）有A 对于两两互不相容的事件（ 3。?2,k?1,K )

5、）P（A）P） P（A）P（A ?AA?An21n12 幅值概率密度用表示.)p(x是随机变量瞬时值出现于某一单位幅值区间内的幅值概率密度)xp( 概率。 之间的概率是x+x到随机振动幅值处于x)(xpx? 幅值 t ttTn31 2 在振动时间历程上 x+x 1 x )(t?t?t?x? n12Tn1? t ?t iT?xi?1 T 概率密度曲线 愈精确。?T?x?dx? 2 x与x对应的面积就是x与 2121之间的幅值出现的概 x 0 xx+?x11 x 其值为 2?)xP(dx)p(xx1 2 统计平均值与概率分布 随机振动的幅值特性由时间域内的下列均值来描述： 1）平均值 1?T? 或

6、?dxx?)xpEx(dt)xE(x?t T?02) 平均绝对值 1?T 或 ? dxxpx?(xE)dt)Exx(?t T?03） 均方值 1?T 或2222?dx)xpxxE?(dtxE?)t(x T?0）均方根值4 1T? 或 22?dtx?)(txdxp(x?x)xrmsrmsT0?代表了随机变量的稳态量。x(t)的算术平均值，为平均值T时间内xE ?和标当平均值就分别等于统计学中的方差和0时，22?xxExErms 。准离差? 方差的定义为 22?dx)p(x?E(xx? 表示随机变量在其平均值两边的分布特性。 均方值和均方根值能表征随机振动所含的能量，是个重要的描述 量。? 对于振

7、幅为的正弦波，平均值0xxE02x? 均方值 2222?0?dx(px(x?Ex)xxE?xp()dx) 2? ，幅值x随机振动的概率分布通常服从正态分规律，若振动瞬时值为? m的平均值。xE21m)(x?其幅值概率密度 ?e 2?2?2m值的改变将使曲线沿x轴平移而不改变其形状。 改变时将使曲线形状改变，但曲线和x轴之间所围的面积仍然不变而等于1。 愈小，则该面积愈集中于平均值m的附近。 随机振动幅值的概率主要分布在3之间。占到99.7%。? +x x(t) 3 ? m m 0 p(x) 3? 0 -x 随机振动幅值的正态分布 m+3作为随机振动的最大幅值。因此常把? 正态分布的均方值可由这

8、两式求得，? ， 22?dxx(?pxE(x)? 2?dxxx)p(x?E?2 m +22?xE 三、随机过程的相关函数与功率谱密度函数 （一）相关函数 1自相关函数 的平均值随机过程的自相关函数定义为?)?x(tx(t)? 即 ?)?Ex(t)x(R(t)x对于各态历经随机过程，每个样本函数的自相关函数定义为 1T ?dtt)limx(tR(?)?)x( xT0?T? ?)R(x ? t 2xE 2m X X t o21 T 时间历程 自相关函数曲线 描述的是一个特定的瞬时幅值与先前某一瞬时t时的幅值?)t?(的关联程度。小，x(t+)与x(t)关系密切； 大，x(t+)与x(t)关系不密切

9、。x(t)所决定的成分减少。也就小。当，x(t+)与x(t)无关，此时，? 就衰减到随机变量平均值的平方，或衰减到零。 时，自相关函数为当01?T 22?x?limdtt)?Ex(0R() xT0?T上式表明，自相关函数的最大值即等于该随机变量的均方值。 如果x(t)是周期性函数，则其自相关函数也是周期性的。 2互相关函数 两个不同的平稳随机函数x(t)与 y(t)之间的互相关函数定义为： ? ?)t?x(t)yR()?E(xy? 和?)x)(tR()?E?y(tyx对各态历经过程，可以用样本函数的互相关函数来表示，即 1T ?dt)(t)yt(Rlim)?(x xyT0?T1T ?dtt?)

10、()(?(R)limytx yxT0?T?对于大多数随机过程，时差越大则相关性越弱，当很大时，可以 y互不相关，此时有x认为与 ?m?)?)?R(mR(?yxyxyx但其左右的对称轴不象互相关函数的图线形状和自相关函数相类似，时互相关函数达到最大值。时，而是在某一后者是在00 （二）、功率谱密度函数 1功率谱密度函数 从频域上，用功率谱密度函数来描述。 1） f）表示。功率谱密度函数用W（x用谱密度的均方值对随机变量的频率结构进行描述。对随机振动而 言，表示振动能量在频率域上的分布。内的均方值除以带宽在微小频带宽度x(t)其定义为随机变量f? 11?T ） W（flim2?dtt)(xx? f

11、?T?f0?T ：某一窄频的带宽； ：在范围内的变量，即经过带宽为的窄带滤波器后的变量，)(txf? （位移、加速度、速度等）如振动量。（动能，项，中含有表示了系统的能量如振动系统的位能。W（f）2)(xtx 粘性阻尼消耗的能量都和振幅的平方成正比）。）表示了能量的度量，借用“功率”来命名，f故W（x ）本身并不包含功率的意思，故称其为均方谱密度函数（f实际上Wx 更确切。 ）PSD还被称为：功率谱（power spectral density 自功率谱 谱密度 f ） W（ x纵坐标为W（f）； x横坐标为 f； 频率范围在f 、f之间； baf、 f的振动分量较大； 21f O f f f

12、 fb 2 a 1 宽频带的随机功率谱图 频谱图可通过将实测的随机振动的时间历程记录经频谱分析仪得到。 2/单位频率。功率谱密度函数的单位：（随机变量单位） 2/H是振动位移的时间历程时，其谱密度单位为（位移）当x(t)如 Z。 2/H）是振动加速度的时间历程时，其谱密度单位为（g 当x(t)Z。 2m/周x(t)是轨道不平顺波形时，其谱密度单位为（mm） 当。 功率谱图形的意义： 1T?f lim2?dt)f)x?(tW( f?xT0?T?f?0上式左边为上图中以阴影表示的微面积； 右边为微小宽带内的均方值。 于是在整个频带范围内由W（f）和横坐标所围的面积就等于全x?的总的均方值即等于x(

13、t)部宽带内的相应的均方值之和。2XE 功率谱的作用： 通过对它的分析，有助于了解随机振动的机理，有助于进行振动模拟。如已测得轨道不平顺的功率谱，就可对其进行谱型模拟，用它作激励函数在室内对车辆进行振动模拟试验，由此而得到试验结果和车辆在实际线路上运行的结果具有相同的特性。 在随机过程理论的推理中，常用傅里叶变换来表明自相关函数和功率谱密度函数间的关系： 1? （1）?j?d()R)(s?e x?2? ?）2 （ ?j?d(R()?eSxx? 称为自相关函数的傅里叶变换，而则称为的傅?)S(S)()()RR(xxxx里叶逆变换。 ? 在（2）式中令0则得 ?d?S()R(0)xx? 因，故22

14、?d)?xS(ExER(0)?xx?等于曲线与横坐标轴之间这样，又得到了均方值2?)(SxEx面积的关系式。 上式中的称为双边功率谱。 W（f）称为单边功率谱?)S(xx ） W（f ?)S(xx ?dd df f ?d? ?)(?(d?d) ?22 两种功率谱的关系式为 2d= W（f）df?)S(xx而f=/2 df=d/2 所以，有W（f）4 ?)(Sxx2互功率谱密度函数 两个随机过程的互谱密度函数定义为这两个过程的互相关函数的傅里叶变换。即 1? ?j?d)eS(?)R( xyxy?2? 1? ?j?d(S(e)?)R yxyx?2?互谱密度的一个重要性质是两者为共轭复数，即 ?)(

15、S)S(xyyx ?)S()S(yxxy 第二节 线性系统随机响应的基本特性 当系统的激励与响应可以用线性微分方程描述时，成为线性系统。 若系统方程中的系数不随时间而变，则称为常系数线性系统。 一、线性系统的基本特性 常系数线性系统具有如下特性： 1） 叠加性：若系统的激励函数x(t)单独作用下，对应于某一响应1为y(t),在x(t)作用下的响应为y(t),则在x（t）x(t)、。x（t）n21n1n的同时作用下总的响应y(t)为y(t) 、y(t) 。y(t)之和；n21 2） 齐次性 当激励的输入项按某一倍数变化时，输出量也按同一倍数变化； 3） 频率保存性 系统在频率为的谐和函数激励下，

16、其响应也具有相同的频率，不会引起频率的转换，而只能改变相位和振幅。 线性系统适用于叠加原理，可使问题简化。这样可将系统分解为一个输出对应于一个输入来研究，然后将响应进行叠加即得系统总的响应。 二、频率响应函数 其响应也具有同频t激励时，线性振动系统受到谐和函数x(t)=xsin0因此，用振).y(t)=ysin(t+率的简谐波，但存在相位差，即0 和相角就可确定系统的传递特性。/幅比y x00 （）表示频率响应函数或传递函数用H（）的定义：该函数的模等于输出与输入的振幅比，虚部与实部H 之比等于相角的正切。即 （）（）A（）jB Hy 220? ?)?(B)H()?A( x0?)B( ?tg?

17、 ?)(A 注意：输出量并不一定就是振幅，是广义的幅值。 具有不同的意义时，H（）值也不同。y 0 可将上面输入和输的关系，应用复数表示法中的?tj?t?cossinet?j 出写为 ?tjext)?x(0 ?tj?ex)H)()x(t?y(t)H(0是系统对谐和输入的频第响应函数，但在随机输入所引起随然?)H(的随机振动响应中有十分重要的应用，它决定了系统的响应特性。 单自由度系统受单一激励时的频率响应函数（一） ）t F （ 求的方法 M Z?)H( 系统受到轨道不平顺Z(t)的激励 v K C 其动动方程为 ? MZ?Z?KZC?KZCZV 取Z（t）为单位振幅的谐和函数?tjeVt z

18、(t)= 则响应?tj?e)H( (t) Zz(t)代入上面方程 将 v?jCK? 得?)(H 12?jC?K?M 2MC，HG为求出的模 令EK，FC，K?)H( )()?jFG?EH(jFE?jF)(G?jH)(EG?FHE?则?)H( 122)jH?jH)(G?GjH(G?H?G 的模为： ?)H(1222222?)KEG?FHFG?EHCE?F(?(H?) ?1222222222?)?(K?M?HHG?G?GHC? ，频率比为，减振因素为D再进行下面代换：令系统的自振频率为P r,则有?KC P D?r MP2MP将上式分子分母各除以K ，经演算后得 22rD1?4 ? ?H)(122

19、22(1?r)?4Dr上式为车体振幅与线路波形振幅之比的扩大倍率。 （二）、单自由系统受多个激励时的频率响应函数 簧上部分还作用有垂除有轨不平顺产生的激励外，仍以上图为例， 向激振力)F(t? 系统的方程为ZMZ?ZC?KZ?F(t)?KZ?CVv作用的频率响应函数已求得，该系统的以下求?)H)(H()tF(21 0，代入上式得现令Z(t)?tje)F(tv1 ?)(H 22?jCK?M?2?jCK?M?为求其模，将上式写成?)(H)A()?jB? 2222?)M()?C(K? 222?)?K(?M(C) 于量有22? )A(B)?)?(H(?22222?)CM)?(?(K 1 ? )?H(2

20、222?)MK?()?C(当系统受到多个激励时，便会有多个频率响应函数，其中每一个都可按求的方法单独求出。 ?)(H2以上讨论的是系统输出位移的频率响应函数，对于输出的是振动速度和加速度时可如下处理； 若系统输出的是y(t)=ysin(t+)，输入的是x(t)=xsint，则00 2有 = ycos(t+) =ysin(t+)?)t(y(ty00 于是，振动速度和加速度的频率响应函数分别为 ?y0?)?(HH( ?yx0 2?y?20?)?H(H)?( ?yx0 三、系统响应的谱密度 随机过程理论表明：对于线性系统，如果输入的函数是平稳随机过程而且是各态历经的和呈正态分布的，则输出的振动响应也

21、是平稳的、各态历经的和呈正态分布的。 如单个输入函数x(t)的谱密度为S（），输出函数y(t)的相应谱密X度为S(),则有下列重要关系存在： y2）1 （ ?)H()S(S)? xy 当有两个输入函数时有： S()y?)S()?H(S()?H()H()HS(H)(?)SH()HH)XXX112X21x1212X22112 （2） 式中 分别为的复数共轭；?)HHH(),H(),)2112 分别为输入的谱密度； ?),(SS()tt),x(x(xx2121分别为输入的互谱密度。?),SS()t),x(x(txxxx212122 当有n个输入函数时，则相应的式子为： nn? （3）?)S(S?)H

22、H()(xrxsSyr1r?1s 对于单个输入的情况 有 ?)S(?(S)H)H)(x11y因复数和它的复共轭的乘积等于该复数模的平方，故有（1）式 2 ? )SS()?H(xy对于互不相关的各个输入，其互谱密度均为零，由式（3）可得 n2?） （4 ? )?(H()SS()xryr1r? 由3式与4式比较，互谱密度为零时，计算响应的谱密度要简单得多。 因此，只要互谱密度很小，在工程计算中往往略运河不计。 四、系统响应的均方值 若已知系统的响应谱密度，则其均方值可按下式求得：?)S(y ? （5） 2?d)y?SE(y? 对于单个输入，有 ?2 2? d()ES(y)?Hx? 对于多个互不相关

23、的输入，有 n?2? 2? d)(Hy(?)SExr?1?r即此时系统总的均方响应值为各个输入产生的响应均方值之总和。 如多个输入之间存在着相关关系时，就需用（3）式求出相应的谱密度，然后再用式（5）求出响应的均方值。 ?)(Sy 对于单个输入的响应加速度均方值有：?2 2?E)S(d?(Hy)?yx?2 44?dS)dS?(?(H()yyx? ） （6 ?S)d?(?y? 式中的 4?)?(SS?yy即导出得到，过程加速度的谱密度是原振动位移谱密度的倍。4? 同样有振动速度的谱密度是原振动位移谱密度的倍。2? 有此重要关系，就可从已知的输入谱密度通过以上关系式?)S(x计算出响应速度和加速度的均方值。而后者正是计算车辆响应和评定平稳性所必须的。 例 由上图系统为例计算其响应的均方值。 ?)(SF S这里仅考虑由的激励引起的响应。)F(t0 设的谱密度为常数，即S。 0 ?)S()(tF 0 F 输入谱密度 ?)H( 1 利用?)H( 22?jC?K?M2 ? )