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文档简介

1、3.3 随机变量的独立性 将事件独立性推广到 r.v.,设(X,Y )为二维 r.v. 若对任何,则称 r.v. X 和Y 相互独立,实数 x, y 都有,3.3,定义,由定义知,二维 r.v. ( X, Y ) 相互独立,X与Y 独立,即,连续型,二维随机变量 ( X, Y ) 相互独立, 则边缘分布完全确定联合分布,对一切 i , j 有,离散型,X与Y 独立,对任何 x ,y 有,二维连续 r.v. ( X,Y ) 相互独立,对任何 x,y 有,取,故,例1 已知 ( X, Y ) 的联合 d.f.为,(1),(2),讨论X ,Y 是否独立？,例1,解,(1) 由图知边缘 d.f. 为,

2、显然，,故 X ,Y 相互独立,(2) 由图知边缘 d.f. 为,显然，,故 X ,Y 不独立,判连续型 r.v. 相互独立的有关命题,设f (x,y)是连续二维 r.v. (X ,Y )的联合 d.f. r (x), g(y) 为非负可积函数, 且,则 X , Y 相互独立,且,利用此结果,不需计算即可得出(1)中的 r.v. X 与Y 是相互独立的.,再如, 服从矩形域(x,y)| axb, cyd上 均匀分布的二维 r.v.( X ,Y ),X ,Y 是独立, 且其边缘分布也是均匀分布,若,则X ,Y 是相互独立的,且其边缘分布为,若,则X ,Y 是相互独立的, 且其边缘分布为,对于分布

3、函数也有类似结果,设F (x, y)是二维连续 r.v. (X ,Y )的联合分布 函数, 则(X ,Y )相互独立的充要条件为,且,判独立的一个重要命题,设 X ,Y 为相互独立的 r.v. u(x),v(y) 为连续函数, 则 U=u ( X ) , V=v (Y ) 也 相互独立.,即,独立 r.v.的连续函数仍独立.,下面予以证明.,设 X 与Y 的 d.f. 分别为 f X(x), f Y (y), 则,因此，,事实上,若 X ,Y 为相互独立的 r.v.,则aX + b, cY + d 也相互独立；,X 2, Y 2 也相互独立；,随机变量相互独立的概念 可以推广到 n 维随机变量,若,则称 r.v. X 1, X 2 , , X n 相互独立,由命题知,若两随机变量相互独立,且又有相同 的分布, 不能

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